Préparation au bac blanc : correction

TES AP n°8 : Corrigé
1
TES AP n°8 : Corrigé
Etude de fonction
Partie A
On considère la fonction f définie sur [3 ;700] par
5ln
x
fx xx
.
1. Montrer que pour tout x de l’intervalle [3 ;700] on a
2
5 ln 1
'5ln
x
fx xx
.
u
fv
avec
u x x
et
5lnv x x x
, on a donc
2
''
'u v uv fv
.
Pour tout x de [3 ;700], on a
'1ux
,
15
' 1 5 1vx xx
, donc,
2 2 2 2
55
1 5ln 1 5ln 5ln 5 5ln 5
'5ln 5ln 5ln 5ln
x x x x x x x x x x x
xx
fx x x x x x x x x
,
On a donc bien
2
5 ln 1
'5ln
x
fx xx
.
2. Déterminer le sens de variation de la fonction f sur [3 ;700] et dresser le tableau de variation de la
fonction sur cet intervalle.
On étudie le signe de
'fx
:
Pour tout x de [3 ;700],
2
5ln 0xx
et
50
donc
'fx
est du signe de
ln 1x
sur [3 ;700].
ln 1 0 ln 1x x x e     
et
ln 1 0 ln 1x x x e     
car la fonction ln est strictement
croissante sur
0;
.
3e
donc, pour tout x de [3 ;700],
ln 1 0x
, on en déduit que
'0fx
sur [3 ;700].
La fonction f est donc strictement croissante sur [3 ;700].
On peut dresser le tableau de variation de f :
3
3 , 3 0,353
3 5ln3
ff
700
700 , 700 0,955
700 5ln700
ff
3. Montrer que sur l’intervalle [3 ;50] l’équation
0,5fx
possède une unique solution puis, à
l’aide de la calculatrice, donner une valeur approchée à l’entier supérieur par excès de .
La fonction f est continue et strictement croissante sur l’intervalle [3 ;700] donc sur l’intervalle [3 ;50].
3 0,353f
et
50 0,719f
donc 0 est compris entre
3f
et
5f
.
D’après le théorème des valeurs intermédiaires appliqué aux fonctions strictement monotones,
l’équation
0,5fx
admet donc une unique solution comprise entre 3 et 50.
x
3  700
Signe de
'fx
+
Variations
de f
700f
0,5
3f

TES AP n°8 : Corrigé
2
A l’aide de la calculatrice, on trouve
12 0,491f
et
13 0,503f
.
Donc
12 13
et une valeur approchée à l’entier supérieur de par excès est 13.
Partie B
1. En utilisant la partie A, déterminer le nombre de jours nécessaires à la vente de 50% de l’ensemble
des billets.
D’après l’énoncé, le nombre x de jours nécessaires à la vente de 50% de l’ensemble des billets est la
solution de l’équation
0,5fx
.
D’après la question 3. De la partie A, la première valeur entière de x telle que
fx
dépasse 0,5 est 13.
Le nombre de jours nécessaires à la vente de 50% de l’ensemble des billets est donc égal à 13.
a. Si l’utilisateur de cet algorithme choisit 0,9 comme valeur de P, la valeur de sortie de l’algorithme
est 249. Que signifie ce résultat pour les organisateurs ?
Cet algorithme détermine le plus petit entier X supérieur ou égal à trois tel que
f X P
.
Donc le résultat 249 signifie que les organisateurs devront attendre 249 jours pour que 90% des billets
soient vendus.
b. Si l’utilisateur de cet algorithme choisit 0,5 comme valeur de P, quelle valeur de X apparaîtra à la
sortie de l’algorithme ?
D’après la réponse de la question 1., si l’utilisateur de cet algorithme choisit 0,5 comme valeur de P, la
valeur 13 apparaîtra à la sortie de l’algorithme.

TES AP n°8 : Corrigé
3
Probabilités
Traduction de l’énoncé en termes de probabilité :
40% des clients demandent une « couleur-soin » donc
0,4PC
Parmi ceux qui n’en veulent pas, 30% demandent un « effet coup de soleil » donc
0,3
C
PM
.
24% des clients demandent les deux à la fois donc
0,24P M C
.
1. Calculer la probabilité de M sachant C notée
C
PM
.
0,24 0,6
0,4
CP M C
PM PC
.
2. Construire un arbre pondéré qui illustre la situation.
3. Calculer la probabilité que le client ne souhaite ni une « couleur-soin » ni un « effet coup de
soleil ».
On calcule
0,6 0,7 0,42
C
P C M P C P M     
.
La probabilité que le client ne souhaite ni une « couleur-soin » ni un « effet coup de soleil » est égale
à 0,42.
4. Montrer que la probabilité de l’événement M est égale à 0,42.
En utilisant la formule des probabilités totales on a :
0,24 0,6 0,3 0,24 0,18 0,42P M P M C P M C         
.
5. Une « couleur-soin » coûte 35 euros et un « effet coup de soleil » coûte 40 euros.
C
0,4
M
0,6
M
0,4
C
0,6 M
0,3
M
0,7

TES AP n°8 : Corrigé
4
a. Recopier puis compléter sans justifier le tableau suivant donnant la loi de probabilité du gain en
euros du coloriste par client :
i
x
75
40
35
0
i
p
0,24
0,18
0,16
0,42
b. Donner l’espérance E de cette loi.
75 0,24 40 0,18 35 0,16 0 0,42 30,8E        
.
c. Combien le coloriste doit-il facturer la réalisation d’un « effet coup de soleil » pour que l’espérance
de gain par client augmente de 15% ?
Soit m le prix d’un « effet coup de soleil », l’espérance de la nouvelle loi de probabilité correspondant
au gain du coloriste est alors :
' 35 0,24 0,18 35 0,16 0 0,42 14 0,42E m m m          
.
Dire que l’espérance de gain par client augment de 15% signifie que
' 1,15 35,42EE
.
On cherche donc m tel que
14 0,42 35,42m
.
21,42
14 0,42 35,42 0,42 21,42 51
0,42
m m m m       
.
Donc le coloriste doit facturer la réalisation d’un effet coup de soleil 51 € pour que l’espérance de
gain par client augmente de 15%.
6. Sur une journée, 5 clients se présentent. Calculer la probabilité que le salon de coiffure ait besoin
de faire au moins trois « effets coup de soleil ».
 On considère l’épreuve de Bernoulli : un client se présente au salon de coiffure.
Cette épreuve a deux issues :
Le succès M « le client demande un effet coup de soleil » de probabilité
0,42p
et l’échec
M
de probabilité
1 0,58p
.
 Cinq clients se présentent, donc on répète 5 fois de manière identique et indépendante ( les
clients ne s’influencent pas entre eux) cette épreuve de Bernoulli.
 Soit X la variable aléatoire qui compte le nombre de clients ayant demandé un « effet coup de
soleil » sur les cinq clients qui se présentent.
X suit la loi binomiale de paramètres
5n
et
0,42p
.
Pour tout k compris entre 0 et 5 on a donc
5
50,42 0,58
kk
P X k k
.
On cherche
3 1 3 1 2P X P X P X      
.
Avec la calculatrice, on obtient
3 0,3525PX
.
La probabilité que le salon de coiffure ait besoin de faire au moins trois « effets coup de soleil » est
0,3525.