Préparation au bac blanc : correction

TES
AP n°8 : Corrigé
Etude de fonction
Partie A
x
.
x  5ln x
5  ln x  1
1. Montrer que pour tout x de l’intervalle [3 ;700] on a f '  x  
.
2
 x  5ln x 
On considère la fonction f définie sur [3 ;700] par f  x  
u ' v  uv '
u
avec u  x   x et v  x   x  5ln x , on a donc f ' 
.
v2
v
1
5
Pour tout x de [3 ;700], on a u '  x   1 , v '  x   1  5   1  , donc,
x
x
5


1  x  5ln x   x 1   x  5ln x  x  x  5
 x 
x  x  5ln x  x  5  5ln x  5 ,
f ' x 
2
2
2
2
 x  5ln x 
 x  5ln x 
 x  5ln x 
 x  5ln x 
f 
On a donc bien f '  x  
5  ln x  1
 x  5ln x 
2
.
2. Déterminer le sens de variation de la fonction f sur [3 ;700] et dresser le tableau de variation de la
fonction sur cet intervalle.
On étudie le signe de f '  x  :
Pour tout x de [3 ;700],  x  5ln x   0 et 5  0 donc f '  x  est du signe de ln x 1 sur [3 ;700].
ln x 1  0  ln x  1  x  e et ln x 1  0  ln x  1  x  e car la fonction ln est strictement
croissante sur 0; .
2
e  3 donc, pour tout x de [3 ;700], ln x 1  0 , on en déduit que f '  x   0 sur [3 ;700].
La fonction f est donc strictement croissante sur [3 ;700].
On peut dresser le tableau de variation de f :
x
Signe de f '  x 
Variations
de f
f  3 
3
,
3  5ln 3

3
700
+
f  700
f  3
f  3  0,353
0,5
f  700  
700
,
700  5ln 700
f  700   0,955
3. Montrer que sur l’intervalle [3 ;50] l’équation f  x   0,5 possède une unique solution  puis, à
l’aide de la calculatrice, donner une valeur approchée à l’entier supérieur par excès de  .
La fonction f est continue et strictement croissante sur l’intervalle [3 ;700] donc sur l’intervalle [3 ;50].
f  3  0,353 et f 50  0,719 donc 0 est compris entre f  3 et f  5 .
D’après le théorème des valeurs intermédiaires appliqué aux fonctions strictement monotones,
l’équation f  x   0,5 admet donc une unique solution  comprise entre 3 et 50.
TES AP n°8 : Corrigé
1
A l’aide de la calculatrice, on trouve f 12  0, 491 et f 13  0,503 .
Donc 12    13 et une valeur approchée à l’entier supérieur de  par excès est 13.
Partie B
1. En utilisant la partie A, déterminer le nombre de jours nécessaires à la vente de 50% de l’ensemble
des billets.
D’après l’énoncé, le nombre x de jours nécessaires à la vente de 50% de l’ensemble des billets est la
solution de l’équation f  x   0,5 .
D’après la question 3. De la partie A, la première valeur entière de x telle que f  x  dépasse 0,5 est 13.
Le nombre de jours nécessaires à la vente de 50% de l’ensemble des billets est donc égal à 13.
a. Si l’utilisateur de cet algorithme choisit 0,9 comme valeur de P, la valeur de sortie de l’algorithme
est 249. Que signifie ce résultat pour les organisateurs ?
Cet algorithme détermine le plus petit entier X supérieur ou égal à trois tel que f  X   P .
Donc le résultat 249 signifie que les organisateurs devront attendre 249 jours pour que 90% des billets
soient vendus.
b. Si l’utilisateur de cet algorithme choisit 0,5 comme valeur de P, quelle valeur de X apparaîtra à la
sortie de l’algorithme ?
D’après la réponse de la question 1., si l’utilisateur de cet algorithme choisit 0,5 comme valeur de P, la
valeur 13 apparaîtra à la sortie de l’algorithme.
TES AP n°8 : Corrigé
2
Probabilités
Traduction de l’énoncé en termes de probabilité :
40% des clients demandent une « couleur-soin » donc P  C   0, 4
Parmi ceux qui n’en veulent pas, 30% demandent un « effet coup de soleil » donc PC  M   0,3 .
24% des clients demandent les deux à la fois donc P  M  C   0, 24 .
1. Calculer la probabilité de M sachant C notée PC  M  .
PM C
0, 24
 0, 6 .
P C 
0, 4
2. Construire un arbre pondéré qui illustre la situation.
PC  M  

M
0,6
C
0,4
0,4
M
0,6
M
0,3
C
0,7
M
3. Calculer la probabilité que le client ne souhaite ni une « couleur-soin » ni un « effet coup de
soleil ».
On calcule P C  M  P C  PC M  0, 6  0, 7  0, 42 .


 
 
La probabilité que le client ne souhaite ni une « couleur-soin » ni un « effet coup de soleil » est égale
à 0,42.
4. Montrer que la probabilité de l’événement M est égale à 0,42.
En utilisant la formule des probabilités totales on a :
P  M   P  M  C   P M  C  0, 24  0, 6  0,3  0, 24  0,18  0, 42 .


5. Une « couleur-soin » coûte 35 euros et un « effet coup de soleil » coûte 40 euros.
TES AP n°8 : Corrigé
3
a. Recopier puis compléter sans justifier le tableau suivant donnant la loi de probabilité du gain en
euros du coloriste par client :
xi
75
40
35
0
pi
0,24
0,18
0,16
0,42
b. Donner l’espérance E de cette loi.
E  75  0, 24  40  0,18  35  0,16  0  0, 42  30,8 .
c. Combien le coloriste doit-il facturer la réalisation d’un « effet coup de soleil » pour que l’espérance
de gain par client augmente de 15% ?
Soit m le prix d’un « effet coup de soleil », l’espérance de la nouvelle loi de probabilité correspondant
au gain du coloriste est alors :
E '  35  m  0, 24  m  0,18  35  0,16  0  0, 42  14  0, 42m .
Dire que l’espérance de gain par client augment de 15% signifie que E '  1,15E  35, 42 .
On cherche donc m tel que 14  0, 42m  35, 42 .
21, 42
14  0, 42m  35, 42  0, 42m  21, 42  m 
 m  51 .
0, 42
Donc le coloriste doit facturer la réalisation d’un effet coup de soleil 51 € pour que l’espérance de
gain par client augmente de 15%.
6. Sur une journée, 5 clients se présentent. Calculer la probabilité que le salon de coiffure ait besoin
de faire au moins trois « effets coup de soleil ».

On considère l’épreuve de Bernoulli : un client se présente au salon de coiffure.
Cette épreuve a deux issues :
Le succès M « le client demande un effet coup de soleil » de probabilité p  0, 42 et l’échec
M de probabilité 1  p  0,58 .
 Cinq clients se présentent, donc on répète 5 fois de manière identique et indépendante ( les
clients ne s’influencent pas entre eux) cette épreuve de Bernoulli.
 Soit X la variable aléatoire qui compte le nombre de clients ayant demandé un « effet coup de
soleil » sur les cinq clients qui se présentent.
X suit la loi binomiale de paramètres n  5 et p  0, 42 .
5 
Pour tout k compris entre 0 et 5 on a donc P  X  k      0, 42k  0,585k .
k 
On cherche P  X  3  1  P  X  3  1  P  X  2 .
Avec la calculatrice, on obtient P  X  3  0,3525 .
La probabilité que le salon de coiffure ait besoin de faire au moins trois « effets coup de soleil » est
0,3525.
TES AP n°8 : Corrigé
4