Réduction des endomorphismes auto-adjoints

Réduction des endomorphismes auto-adjoints
Arnaud Girand
10 juillet 2012
Référence :
– [Gou94], p. 240–241
Tout ce qui suit est valable dans un espace hermitien, au prix de quelques substitutions dont
nous laissons l’entreprise au lecteur.
Proposition 1
Soit Eun espace euclidien.
Soit f∈ S(E).
Alors :
(i) Sp(f)⊂R;
(ii) Eadmet une base orthonormée formée de vecteurs propres de E.
Démonstration : On procède 1par récurrence sur la dimension de E. Plus précisément on sou-
haite montrer pour tout n≥0la propositions suivante :
P(n)pour tout espace euclidien Ede dimension net tout f∈ S(E)on a (i)et (ii)
–n=0. Trivial : une b.o.n de {0}est () qui est formée de vecteurs propres de l’endomorphisme
nul zéro–dimensionnel.
– Supposons P(n)pour n≥0. Soit Eun espace euclidien de dimension n+ 1 et f∈ S(E). On
peut alors définir une forme bilinéaire symétrique comme suit :
ϕ:E×E→R
(x, y)7→ hx, f(y)i
Notons φla forme quadratique associée à ϕ. Alors par compacité de la sphère Sde centre 0et de
rayon 1de Eet continuité (par dimension finie) de φ, il existe x0∈Stel que φ(x0) = λ:= supSφ.
Posons g:= λidE−fet ϕ1(x, y)7→ hx, g(y)i. Alors ϕ1définit une forme bilinéaires symétrique
positive (par définition de λ) et ϕ1(x0, x0) = 0. Comme x06= 0,ϕ1n’est pas définie donc possède
un noyau 2, i.e il existe x6= 0 tel que pour tout y∈E ϕ1(x, y) = 0, ce qui est équivalente à
(x6= 0) ∧(x∈Im(g)⊥).
De fait, Im(g)6=E, i.e gn’est pas surjectif. Par dimension finie, il n’est pas non plus injectif et
donc il existe un vecteur unitaire e1tel que g(e1) = 0 i.e f(e1) = λe1. De fait λ∈Sp(f)et comme
φest une forme quadratique λ∈R.
Posons à présent H:= he1i⊥. Alors comme he1iest stable par f,Hest stable par f∗=fet donc
finduit sur Hun endomorphisme fH∈ L(H). Par hypothèse de récurrence, comme dim(H)≤n
et que fHest symétrique, il existe une b.o.n (e2,...,en)de Hformée de vecteurs propres de fH,
donc de f, et Sp(fH)⊂R. De fait Sp(f) = {λ} ∪ Sp(fH)⊂Ret (e1,...,en)est une b.o.n de E
constituée de vecteurs propres de f, d’où le résultat.
Les deux corollaires qui suivent ne sont que reformulations du résultat.
Corollaire 1.1 (Version matricielle)
Soit M∈Sn(R).
Alors il existe P∈On(R)et D∈ Mn(R)diagonale tel que M=tP DP .
1. Hélas.
2. On dit aussi "est dégénérée", mais vous et moi sommes au dessus de ce genre d’attaques ad hominem, n’est-ce
pas ?
1

Corollaire 1.2
Soit Eun espace euclidien.
Soit φ, ψ deux formes quadratiques sur Etelles que ψsoit définie positive.
Alors il existe une base de E ψ–orthonormée dans laquelle la matrice de φest diagonale.
Corollaire 1.3 (Pseudo-réduction simultanée)
Soient M, N ∈Sn(R)telles que Msoit définie positive.
Alors il existe C∈GLn(R)telle que tCN C soit diagonale et que tCM C =In.
Démonstration : On applique le corollaire 1.2 à E:= Rn,φ: (X, Y )7→ tXN Y et ψ: (X, Y )7→ tXM Y
puis on traduit matriciellement.
On peut aussi citer le corollaire suivant :
Corollaire 1.4 (Racine carrée d’un endomorphisme auto–adjoint positif, [FGN10] p. 107)
Soit Eun espace euclidien.
Soit u∈ S+(E).
Alors il existe un unique h∈ S+(E)tel que u=h2. De plus, hest un polynôme en u.
Démonstration :
–Existence. Soit (ei)i∈[n]une base de diagonalisation de u, chaque eiétant associé à une valeur
propre λide u. Les λiétant réels positifs, on peut définir h:ei7→ √λiei, qui convient.
–Unicité. Soit k∈ S+(E)tel que k2=uet soit λune valeur propre de u, de sous–espace
propre associé Eλ. Alors kcommute avec udonc induit un endomorphisme ¯ k∈ S+(Eλ)
tel que ¯ k2=λidEλ. On a alors que ¯ kest diagonalisable de spectre réduit à {√λ}(car ses
valeurs propres doivent être positives) donc ¯ k=√λidEλ. Ainsi, si (ei)i∈[n]est une base de
diagonalisation de u, on a nécessairement k(ei) = √λiei=h(ei)pour tout i∈[n]. Ainsi,
k=h.
– Pour voir que hest un polynôme en u, il suffit de remarquer que par interpolation (de La-
grange par exemple) il existe un polynôme P∈R[X]tel que pour tout λ∈Sp(u),P(λ) = √λ.
P(u)coïncide alors avec hsur (ei)i∈[n]donc sur Etout entier.
Références
[FGN10] Serge Francinou, Hervé Gianella, and Serge Nicolas. Oraux X - ENS, Algèbre 3. Cassini,
2010.
[Gou94] Xavier Gourdon. Algèbre. Ellipses, 1994.
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