TD_SQ20_P2016suite

SQ20 - Printemps 2016 http ://andre.turbergue.free.fr
SQ20 TD 5 - convergences et approximations
Convergences et
approximations
1 Pour s’entraîner
1
On considère une suite ( Xn )
n∈N
de variables aléatoires indépen-
dantes suivant la même loi de Bernoulli de paramètre p.
On définit la suite (Yk)k∈N∗de variables aléatoires par
∀k>0, Yk=Xk−1+Xk. On pose enfin Zn=1
n
n
X
k=1
Yk
1. Déterminer la loi de Yk, donner son espérance et sa variance.
2. Calculer l’espérance et la variance de Zn.
3. En utilisant l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev, étudier la conver-
gence en probabilité de la suite (Zn)n∈N∗.
Peut-on utiliser la loi faible des grands nombres ?
2
Soit X1,X2, ... , Xn des variables aléatoires mutuellement indé-
pendantes et de même loi N (0 , 1). On pose pour tout entier naturel
nÊ1, Tn=1
n
n
X
k=1
X2
k
Étudier la convergence en probabilité de la suite (Tn)n∈N∗
3?
Soit ( Ω,T,P ) un espace probabilisé et U une variable aléatoire
définie sur Ωsuivant une loi normale centrée réduite N(0,1).
On notera Φla fonction de répartition de U.
1. Montrer en utilisant l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev, que
pour tout x>0,
0<1−Φ(x)É1
2x2
2. Soit A∈R+∗. Transformer l’intégrale
ZA
0(1−Φ(x))
d x à l’aide
d’une intégration par parties.
3. En déduire l’existence et la valeur de l’intégrale généralisée
Z+∞
0(1−Φ(x))dx.
4
Une machine est chargée de conditionner automatiquement des
paquets de farine de 1 kg avec un écart type de 10 grammes. On modélise
la masse d’un paquet, exprimée en grammes, par une variable aléatoire
Xd’espérance µ=1000 et de variance σ2=100.
La loi de X est inconnue. Pour vérifier le fonctionnement de la ma-
chine, on prélève plusieurs échantillons de 40 paquets dont on mesure
la masse. Pour chaque échantillon, on note Xk la variable aléatoire qui
modélise la masse du kième paquet.
1. Que peut-on dire de la loi de Xk? Donner E(Xk) et V(Xk).
2. On désigne par Xn=1
n
n
X
k=1
Xk la variable aléatoire modélisant la
masse moyenne d’un paquet dans un échantillon de taille n=40.
Calculer E(Xn) et V(Xn).
Que peut-on dire de la loi de probabilité de Xn?
3. Calculer la probabilité pour que la masse moyenne d’un échan-
tillon de 40 paquets soit supérieure à 997 grammes ?
5
Au cours d’une épreuve, un événement a une probabilité 0 , 2 de se
réaliser.
1. On effectue n épreuves indépendantes. Si X est le nombre de fois
où l’événement se réalise, déterminer la loi de X , son espérance,
et sa variance.
2. On prend n=100. Calculer P(15 ÉXÉ25) à 10−3près :
(a) en utilisant la loi de X,
(b) en approchant la loi de Xpar une loi normale.
3. On prend n= 1000. Calculer P (170 ÉXÉ 230) par les méthodes
de la question précédente.
6?On lance une pièce de monnaie équilibrée.
On gagne 1 e si le résultat est Face, et on perd 1 e sinon. Majorer le
nombre de lancers à effectuer pour que l’on ait au moins une probabilité
0,95 de perdre au plus 20e.
On comparera les résultats obtenus par approximation de loi, et par l’in-
égalité de Bienaymé-Tchebychev.
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SQ20 TD 5 - convergences et approximations
7
On a mélangé 5 000 roulements d’une marque A avec 10 000
roulements de la marque B. On prélève au hasard 150 roulements.
Quelle est la probabilité pour que le nombre de roulements A soit
compris entre 45 et 60 ?
8
Soient U1,U2,... , U400 des variables aléatoires mutuellement in-
dépendantes, qui suivent toutes la même loi uniforme sur l’intervalle
[0, 2]. . On pose T=U1+U2+···+U400.
On cherche le nombre atel que P([T<a]) =5%.
Que vaut approximativement a?
9
Soit ( Xn )
n∈N∗
une suite de v.a.r. mutuellement indépendantes et
suivant la même loi de Poisson de paramètre 1. On pose Sn=
n
X
k=1
Xk
1. Quelle est la loi de Sn?
2. Expliciter P([SnÉn]).
3. En utilisant le théorème central limite, montrer que
n
X
k=0
nk
k!∼
(n→+∞)
en
2
10
Soit n un entier supérieur ou égal à 2. On considère n variables
aléatoires indépendantes X1,X2, ..., Xn suivant toutes la même loi
géométrique de paramètre poù p∈]0;1[.
On pose de plus Xn=X1+X2+···+Xn
n.
1. Déterminer l’espérance m et l’écart type σn de Xn en fonction de
pet de n.
2. Montrer que lim
n→+∞
P³0<Xn−mÉσn´ existe et exprimer sa va-
leur à l’aide de Z1
0e−t2/2 dt.
11
Une entreprise compte 300 employés. Chacun d’eux téléphone
en moyenne 6 minutes par heure. Quel est le nombre de lignes que
l’entreprise doit installer pour que la probabilité que toutes les lignes
soient utilisées au même instant, soit au plus égale à 0,025 ?
On notera n le nombre de lignes installées dans l’entreprise, X la var égale
au nombre d’employés qui téléphonent à un instant t fixé, et on commencera
au départ par calculer la probabilité qu’un employé donné soit en train de
téléphoner à un instant t.
2 Pour approfondir
12
On identifie R2 muni de sa structure euclidienne canonique au
plan de la géométrie usuelle. Soit A une partie de [0 , 1] × [0 , 1] d’aire a .
On admet que si X et Y sont deux variables aléatoires indépendantes
suivant la loi uniforme sur [0,1], la probabilité de l’événement
[(X,Y)∈A] est égale à a. Soit f: [0,1] −→[0,1] une fonction continue.
1. Soit X et Y deux variables aléatoires indépendantes suivant la
loi uniforme sur [0,1].
Quelle est la probabilité de l’événement [YÉf(X)] ?
2. Soit ( Xn )
n∈N∗
et ( Yn )
n∈N∗
deux suites indépendantes de variables
aléatoires indépendantes suivant la loi uniforme sur [0,1].
Pour tout n∈N∗ , on appelle Zn la variable de Bernoulli prenant
la valeur 1 si l’événement [YnÉf(Xn)] est réalisé, 0 sinon.
Pour tout n∈N∗, on pose Sn=Z1+Z2+···+Zn.
Quelle est la loi de Sn?
Quelle est la limite en loi de la variable S∗
n=Sn−E(Sn)
pV(Sn)?
Dans la suite de l’exercice, on suppose que n est assez grand pour
identifier la loi de S∗
nà cette loi limite.
Quelle loi assigne-t-on alors à Sn
n?
3. Soit Φla fonction de répartition de la loi N(0,1).
Déterminer P(¯¯S∗
n¯¯É1,96).
En déduire que Pµ¯¯¯¯
Sn
n−Z1
0f(t)dt¯¯¯¯É1
pn¶Ê0,95
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SQ20 TD 5 - convergences et approximations
13
Une cible est centrée sur l’origine d’un repère ( O,−→ i,−→ j ) ortho-
normé. Une fléchette est lancée sur cette cible, et on suppose que les
coordonnées d’impact X et Y suivent des lois normales centrées réduites
indépendantes. Soit Z la variable aléatoire qui mesure la distance du
point d’impact au centre de la cible.
1. Montrer que F ( z ) =(1−e−z2
2si zÊ0
0 si z<0
, où F est la fonction de
répartition de Z.
2. En déduire une densité fde Z, puis montrer que
E(Z)=rπ
2et V(Z)=4−π 2
3. On lance 150 flèches sur la cible (les lancers sont indépendants),
et on note M la distance moyenne des impacts au centre de la
cible. Déterminer la loi qui approche celle de M.
4. Calculer P(1 <M<1,2).
Pour quel intervalle Icentré sur l’espérance aura-t-on
P(M∈I)=0,9 ?
3 Pour travailler seul
14
Un dé régulier est lancé 3 000 fois. On cherche à déterminer la probabilité
de l’événement A: «on a obtenu 6 entre 450 et 550 fois».
On note Xla var égale au nombre de 6 obtenus.
1. Quelle est la loi exacte de X?
2. À l’aide de l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev, donner une minoration
de la probabilité de A.
3. Par quelle loi peut-on approcher la loi de X?
4. Calculer la probabilité demandée dans l’énoncé de deux façons : avec
correction de continuité et sans correction de continuité. Commenter les
résultats obtenus.
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SQ20 TD 6 - estimation ponctuelle
Estimation ponctuelle
1 Pour s’entraîner
15
Le responsable d’une entreprise a accumulé depuis des années les
résultats à un test d’aptitude à effectuer un certain travail. Il semble
plausible de supposer que les résultats au test d’aptitude sont distribués
suivant une loi normale de moyenne m= 150 et de variance σ2= 100. On
fait passer le test à 50 individus de l’entreprise. Quelle est la probabilité
que la moyenne de l’échantillon soit comprise entre 146 et 154 ?
16
Un atelier produit en grande série des pièces cylindriques. On
désigne par X la variable aléatoire associant à chaque pièce tirée au
hasard dans la production, son diamètre x , en mm. On suppose que X
suit la loi normale de moyenne 12,50 et d’écart-type 0,02.
1. Déterminer, à 10
−3
près, la probabilité que le diamètre d’une pièce,
prise au hasard dans la production, soit compris entre 12,45 et
12,55.
2. On note Xn la variable aléatoire mesurant la moyenne des dia-
mètres des n pièces d’un échantillon de taille n , pris au hasard
et avec remise dans la production. On note pn la probabilité que
cette moyenne appartienne à l’intervalle [12,495 ; 12,505].
Déterminer la taille minimale n de l’échantillon pour que la pro-
babilité pnsoit supérieure ou égale à 0,97.
17 Un boulanger fabrique des baguettes. On suppose que la variable
aléatoire X , qui à chaque baguette tirée au hasard associe sa masse en
gramme, suit la loi normale N(250; 10).
1. On prélève un échantillon de 50 baguettes (au hasard et avec
remise) et on note X la variable aléatoire qui mesure le poids
moyen des baguettes de l’échantillon. Quelle est la loi X?
Calculer la probabilité pour que la moyenne des poids des
baguettes de l’échantillon soit comprise entre 245 g et 255 g.
2. On se propose de prélever un échantillon de taille n . Déterminer n
pour que la moyenne des masses des baguettes de cet échantillon
ne s’écarte pas de 250 g de plus de 1 g, avec une probabilité de
95%.
18
Soit ( X1,X2,...,Xn ) un échantillon de taille n d’une variable aléa-
toire Xqui suit une loi de Poisson de paramètre λ.
1. On pose Xn=1
n
n
X
i=1
Xi. Montrer que Xn est un estimateur sans
biais et convergent de λ.
2. On pose Tn=2
n(n+1)
n
X
i=1
i Xi.
Montrer que Tnest un estimateur sans biais et convergent de λ.
3. Comparer les deux estimateurs précédents.
L’un est-il meilleur que l’autre ?
4. Soit (8 , 5 , 4 , 0 , 1 , 5 , 0 , 2 , 2 , 3) la réalisation d’un échantillon de taille
n=10 de X.
Calculer les deux estimations ponctuelles de λ qui correspondent
àXnet Tn. Laquelle retiendra-t-on ?
19
Un contrôle portant sur un emballage automatique de café fournit
les masses suivantes :
masse en g 247 248 249 250 251 252 253 254
nombre de paquets 2 6 8 13 11 5 3 2
1. Donner une estimation ponctuelle de la masse moyenne d’un
paquet, et une de l’écart-type.
2. En supposant la loi normale, déterminer à l’aide des estimations,
les pourcentages de paquets de masse supérieure à 250 g, de
masse comprise entre 249 et 251.
20
Pour un échantillon observé ( x1,x2,··· ,x100 ) d’une variable aléa-
toire X, on a obtenu
100
X
k=1
xk=2000 et 100
X
k=1
x2
k=41 062.
Proposer des estimations ponctuelles de l’espérance m=E ( X ) et de la
variance σ2=V(X).
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SQ20 - Printemps 2016 http ://andre.turbergue.free.fr
SQ20 TD 6 - estimation ponctuelle
21 Soit θun réel strictement positif.
On définit la fonction fsur Rpar f(t)=
2t
θ2si t∈[0, θ]
0 sinon
1. (a) Vérifier que fest une densité de probabilité.
(b) Soit X une variable aléatoire admettant f pour densité.
Calculer E(X) et V(X).
2. Soit ( X1,X2,...,Xn ) un échantillon de taille n de X . Déduire de
la question 1. un estimateur Tnsans biais et convergent de θ.
3. On pose Mn=max(X1,X2,..., Xn).
(a) Déterminer la loi de probabilité de Mn.
(b) L’estimateur Mn est-il sans biais ? En déduire un estimateur
sans biais d Mnde θ.
(c) L’estimateur d Mnest-il convergent ?
4. Comparer les estimateurs Tnet d Mn. Quel est le meillleur ?
22
On s’intéresse à la proportion p de personnes possédant un gPhone.
On tire au sort un échantillon ( X1,X2,··· ,Xn ) de taille n dans une
population très grande. À chaque personne interrogée, on associe la
variable aléatoire Xk=½1 possède un gPhone
0 sinon
1. Donner un estimateur Tn=f(X1,X2, ..., Xn) de p.
Étudier ses propriétés (biais, convergence).
2. On prend maintenant deux échantillons indépendants
( X1,X2, ..., Xn1 ) et ( X0
1,X0 2, ..., X0
n2
) de taille n1 et n2 ( n1<n2 ).
On note f1 et f2 les proportions de possesseurs de gPhone pour
les deux échantillons. On note F1 et F2 les estimateurs usuels de
la proportion psur chacun des deux échantillons.
Soit F=αF1+βF2(α>0, β>0) un estimateur de p.
(a)
Déterminer α et β pour que F soit un estimateur sans biais
de p. En déterminer la variance.
(b) Déterminer α et β pour que F soit un estimateur sans biais
de p, et de variance minimale.
(c) Application numérique : n1= 500, n2= 1000, f1= 0 , 3, et
f2=0,23.
2 Pour approfondir
23 Final 2015. Soit λun nombre réel strictement positif.
Partie A
On considère la fonction f définie sur R par f ( t ) =½eλ−tsi tÊλ
0 si t<λ
1. Montrer que fest une densité de probabilité.
On note Xune variable aléatoire réelle de densité f.
2. Déterminer la fonction de répartition Fde X.
3. On considère la variable aléatoire U=X−λ.
(a) Déterminer la fonction de répartition Gde U.
(b) En déduire que U est une variable à densité qui suit une loi
classique dont on précisera le paramètre.
Préciser son espérance et sa variance.
(c) En déduire l’espérance et la variance de X.
Partie B
Dans toute la suite, n désigne un entier naturel non nul et X1,X2, ..., Xn
des variables aléatoires mutuellement indépendantes de même loi que
X . On cherche à estimer le réel λ . Pour tout entier naturel non nul n ,
on pose
Sn=Xn−1=Ã1
n
n
X
k=1
Xk!−1 et Yn=min(X1,X2... , Xn)
1. (a) Montrer que Snest un estimateur sans biais de λ.
(b) Justifier que Snest un estimateur convergent de λ.
2. Démontrer que la fonction de répartition Fn de Yn est définie par
Fn(x)=½1−en(λ−x)si xÊλ
0 si x<λ
3. On considère la variable aléatoire Zn=Yn−λ.
page 5 UTBM