Espaces préhilbertiens réels

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 28 décembre 2016 Enoncés 1
Espaces préhilbertiens réels
Produit scalaire
Exercice 1 [ 03480 ] [Correction]
On note E=R[X] et on considère l’application ϕ:E×E→Rdonnée par
ϕ(P,Q)=Z+∞
0
P(t)Q(t) e−tdt
(a) Justifier que l’application ϕest bien définie de E×Evers R.
(b) Montrer que l’application ϕdéfinit un produit scalaire sur E.
(c) Pour p,q∈N, calculer ϕ(Xp,Xq).
(d) Orthonormaliser par le procédé de Gram-Schmidt la famille (1,X,X2).
Exercice 2 [ 03322 ] [Correction]
Soient aun vecteur unitaire d’un espace préhilbertien réel E,kun réel et ϕ:E×E→R
l’application déterminée par
ϕ(x,y)=hx,yi+khx,aihy,ai
Donner une condition nécessaire et suffisante pour que ϕsoit un produit scalaire.
Exercice 3 [ 04092 ] [Correction]
Soit E=C1([0 ; 1],R). Pour f,g∈E, on pose
ϕ(f,g)=Z1
0
f0(t)g0(t) dt+f(1)g(0) +f(0)g(1)
Montrer que ϕdéfinit un produit scalaire sur E.
Calculs dans un espace préhilbertien réel
Exercice 4 [ 00505 ] [Correction]
Démontrer que la boule unité fermée Bd’un espace préhilbertien réel est strictement
convexe i.e. que pour tout x,y∈Bdifférents et tout t∈]0 ; 1[, k(1 −t)x+tyk<1.
Exercice 5 [ 00511 ] [Correction]
On munit E=C([a;b],R)du produit scalaire défini par
(f|g)=Zb
a
f(t)g(t) dt
En exploitant le théorème d’approximation uniforme de Weierstrass, établir que
l’orthogonal du sous-espace vectoriel Fde Eformé des fonctions polynomiales est réduit
à{0}.
Exercice 6 [ 00513 ] [Correction]
Soit Eun espace préhilbertien réel.
(a) Établir que pour tout sous-espace vectoriel Fde E,¯ F⊂F⊥⊥.
Désormais, on suppose E=R[X] muni du produit scalaire défini par
(P|Q)=Z1
−1
P(t)Q(t) dt
(b) Montrer que
H=(P∈R[X]|Z1
−1|t|P(t) dt=0)
est un hyperplan fermé de E.
(c) Soit Q∈H⊥. Établir que pour tout P∈R[X],
Z1
−1
P(t)Q(t) dt= Z1
−1|t|P(t) dt! Z1 −1
Q(t) dt!
(d) Établir que H⊥={0}et conclure qu’ici l’inclusion ¯ H⊂H⊥⊥ est stricte.
Exercice 7 [ 03318 ] [Correction]
Soient x1,...,xndes vecteurs d’un espace préhilbertien réel E.
On suppose qu’il existe M∈Rtel que
∀(ε1, . . . , εn)∈{1,−1}n,
n
X
k=1
εkxk
≤M
Montrer n
X
k=1kxkk2≤M2
Diffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 28 décembre 2016 Enoncés 2
Exercice 8 [ 03321 ] [Correction]
On munit l’espace E=C([0 ; 1],R) du produit scalaire
hf,gi=Z1
0
f(x)g(x) dx
Pour f∈E, on note Fla primitive de fqui s’annule en 0
∀x∈[0 ; 1],F(x)=Zx
0
f(t) dt
et on considère l’endomorphisme vde Edéterminé par v(f)=F.
(a) Déterminer un endomorphisme v∗vérifiant
∀f,g∈E,hv(f),gi=hf,v∗(g)i
(b) Déterminer les valeurs propres de l’endomorphisme v∗◦v.
Exercice 9 [ 03325 ] [Correction]
Soit Fun sous-espace vectoriel d’un espace préhilbertien réel E. Établir
F⊥=¯ F⊥
Exercice 10 [ 00351 ] [Correction]
Soient e=(ei)1≤i≤net f=(fj)1≤j≤ndeux bases orthonormales d’un espace euclidien E.
Soit u∈ L(E). On pose
A=
n
X
i=1
n
X
j=1fi|u(ej)2
Montrer que Ane dépend pas des bases orthonormales choisies
Exercice 11 [ 03979 ] [Correction]
Soient a,bdeux vecteurs unitaires d’un espace euclidien E.
Déterminer le maximum sur la boule unité fermée de f:x7→ (a|x) (b|x)
Représentation d’une forme linéaire
Exercice 12 [ 02666 ] [Correction]
Soit n∈N.
(a) Montrer l’existence et l’unicité de A∈Rn[X] tel que
∀P∈Rn[X],P(0) =Z1
0
A(t)P(t) dt
(b) Établir que Aest de degré n.
Exercice 13 [ 03024 ] [Correction]
On définit sur R[X] le produit scalaire
hP,Qi=Z1
0
P(t)Q(t) dt
Existe-t-il A∈R[X] tel que
∀P∈R[X],P(0) =hA,Pi?
Exercice 14 [ 01573 ] [Correction]
Soit E=R[X].
(a) Montrer que ϕ(P,Q)=R1
0P(t)Q(t) dtdéfinit un produit scalaire sur E.
(b) Soit θ:E→Rla forme linéaire définie par θ(P)=P(0).
Montrer qu’il n’existe pas de polynôme Qtel que pour tout P∈Eon ait
θ(P)=ϕ(P,Q).
Polynômes orthogonaux
Exercice 15 [ 03079 ] [Correction]
On définit
Qn(X)=1
2nn!(X2−1)n(n)
(a) Soit n≥1. Montrer que Qnpossède nracines simples dans ]−1 ; 1[.
(b) Montrer que
Qn=Xn+(X2−1)Rn(X)
avec Rn∈R[X]. En déduire Qn(1) et Qn(−1).
Diffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 28 décembre 2016 Enoncés 3
(c) On pose, pour (P,Q)∈R[X]2,
hP,Qi=Z1
−1
P(t)Q(t) dt
Montrer que Qnest orthogonal à Rn−1[X].
(d) Calculer kQnk2.
Exercice 16 [ 03657 ] [Correction]
On munit R[X] du produit scalaire
hP,Qi=Z1
−1
P(t)Q(t) dt
(a) Établir l’existence et l’unicité d’une suite de polynômes (Pn) formée de polynômes
deux à deux orthogonaux avec chaque Pnde degré net de coefficient dominant 1.
(b) Étudier la parité des polynômes Pn.
(c) Prouver que pour chaque n≥1, le polynôme Pn+1−XPnest élément de l’orthogonal
àRn−2[X].
(d) En déduire alors qu’il existe λn∈Rtel que
Pn+1=XPn+λnPn−1
Exercice 17 [ 01332 ] [Correction]
Soient n∈N∗,E=Rn[X] et
h,i: (P,Q)∈E27→ hP,Qi=Z+∞
0
P(t)Q(t)e−tdt
(a) Justifier la définition de h,iet montrer qu’il s’agit d’un produit scalaire.
On pose F={P∈E,P(0) =0}. On cherche à déterminer d(1,F). On note
(P0,...,Pn) l’orthonormalisée de Schmidt de (1,X,...,Xn).
(b) Calculer Pk(0)2.
(c) Déterminer une base de F⊥que l’on exprimera dans la base (P0,...,Pn). En déduire
d(1,F⊥) et d(1,F).
Exercice 18 [ 04133 ] [Correction]
Sur l’espace vectoriel E=C0([0 ; 1],R) on définit le produit scalaire
∀f,g∈E,(f|g)=Z1
0
f(t)g(t) dt
(a) Montrer qu’il existe une famille (Pn)n∈Nde polynômes vérifiant
∀n∈N,deg Pn=net ∀m,n∈N,(Pm|Pn)=
1 si m=n
0 sinon
(b) On fixe ndans Net on admet que le polynôme Pnadmet exactement nracines
distinctes dans l’intervalles ]0 ; 1[ que l’on énumère : ω1, . . . , ωn. On pose, pour tout
f∈E,
E(f)=Z1
0
f(t) dt−
n
X
k=1
λkf(ωk)
avec les λkréels à déterminer. Montrer qu’il est possible de choisir les λkde manière
à ce que, pour tout polynôme Pde degré strictement inférieur à n, on ait E(P)=0.
(c) Pour les λkchoisis ci-dessus, montrer que l’on a en fait E(P)=0 pour tout polynôme
Pde degré strictement inférieur à 2n.
(d) Commentaire ?
Familles obtusangles
Exercice 19 [ 03157 ] [Correction]
Soit F=(x1,...,xn) une famille de n≥2 vecteurs d’un espace préhilbertien réel.
On suppose
∀1≤i,j≤n,xi|xj<0
Montrer que toute sous famille de n−1 vecteurs de Fest libre.
Exercice 20 [ 01574 ] [Correction]
[Famille obtusangle] Soit x1,x2, ..., xn+2des vecteurs d’un espace vectoriel euclidien Ede
dimension n∈N∗. Montrer qu’il est impossible que
∀1≤i,j≤n+2,xi|xj<0
Exercice 21 [ 00520 ] [Correction]
Soient x1,x2, ..., xn+2des vecteurs d’un espace vectoriel euclidien Ede dimension n∈N∗.
Montrer qu’il est impossible que
∀i,j,xi|xj<0
On pourra commencer par les cas n=1 et n=2
Diffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 28 décembre 2016 Enoncés 4
Éléments propres d’endomorphismes euclidiens
Exercice 22 [ 00517 ] [Correction]
Soit aun vecteur normé d’un espace vectoriel euclidien E. Pour tout α∈R, on considère
l’endomorphisme
fα:x7→ x+α(a|x)a
(a) Préciser la composée fα◦fβ. Quelles sont les fαbijectives ?
(b) Déterminer les éléments propres de fα.
Exercice 23 [ 00518 ] [Correction]
Soient a,bdeux vecteurs unitaires d’un espace vectoriel euclidien Eet fl’application de
Evers Edonnée par
f:x7→ x−(a|x)b
(a) À quelle condition la fonction fest-elle bijective ?
(b) Exprimer f−1(x) lorsque c’est le cas.
(c) À quelle condition l’endomorphisme fest-il diagonalisable ?
Projections orthogonales
Exercice 24 [ 01595 ] [Correction]
Soit pune projection d’un espace vectoriel euclidien E.
Montrer que la projection pest orthogonale si, et seulement si,
∀x∈E,
p(x) ≤kxk
Exercice 25 [ 03924 ] [Correction]
Soit pun projecteur d’un espace euclidien Evérifiant
∀x∈E,hp(x),xi≥0
Montrer que pest un projecteur orthogonal.
Exercice 26 [ 00524 ] [Correction]
Soient Eun espace vectoriel euclidien de dimension nmuni d’une base orthonormée eet
Fun sous-espace vectoriel de Emuni d’une base orthonormée (x1,...,xp). Montrer que
la matrice de pFdans la base eest
p
X
k=1
XktXk
où Xkest la colonne des coordonnées du vecteur xkdans e.
Exercice 27 [ 03766 ] [Correction]
On pose E=C1([0 ; 1],R) et
∀f,g∈E,hf,gi=Z1
0
f(t)g(t) dt+Z1
0
f0(t)g0(t) dt
(a) Montrer que h., .idéfinit un produit scalaire sur E.
(b) On pose
V={f∈E|f(0) =f(1) =0}et W=nf∈E|fest C2et f00 =fo
Montrer que Vet Wsont supplémentaires et orthogonaux.
Exprimer la projection orthogonale sur W.
(c) Soient α, β ∈Ret
Eα,β ={f∈E|f(0) =αet f(1) =β}
Calculer
inf
f∈Eα,β Z1
0f(t)2+f0(t)2dt
Exercice 28 [ 00529 ] [Correction]
On définit une application ϕ:R[X]×R[X]→Rpar
ϕ(P,Q)=Z+∞
0
P(t)Q(t) e−tdt
(a) Montrer que ϕdéfinit un produit scalaire sur R[X].
(b) Calculer ϕ(Xp,Xq).
(c) Déterminer
inf
(a,b)∈R2Z+∞
0
e−t(t2−(at +b))2dt
Exercice 29 [ 02735 ] [Correction]
Calculer
inf (Z1
0
t2(ln t−at −b)2dt,(a,b)∈R2)
Diffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 28 décembre 2016 Enoncés 5
Familles totales
Exercice 30 [ 00530 ] [Correction]
[Formule de Parseval] On suppose que (en)n∈Nest une famille orthonormale totale d’un
espace préhilbertien E. Montrer que pour tout x∈E,
kxk2=
+∞
X
n=0(en|x)
2
Produit scalaire et transposition matricielle
Exercice 31 [ 03937 ] [Correction]
Soit A∈ Mn(R). Comparer d’une part les espaces
ker Aet ker(tAA)
et d’autre part les espaces
Im Aet Im(AtA)
Exercice 32 [ 03935 ] [Correction]
Soient A∈ Mn(R) vérifiant A2=0.
(a) Établir
ker(tA+A)=ker(A)∩ker(tA)
(b) En déduire
tA+A∈GLn(R)⇐⇒ Im A=ker A
Exercice 33 [ 03936 ] [Correction]
Soit A∈ Mn(R) vérifiant
∀X∈ Mn,1(R),kAXk≤kXk
où k.kdésigne la norme euclidienne usuelle sur l’espace des colonnes.
Établir
∀X∈ Mn,1(R),
tAX
≤kXk
Exercice 34 [ 03938 ] [Correction]
Soit A∈ Mn(R) vérifiant
∀X∈ Mn,1(R),kAXk≤kXk
où k.kdésigne la norme euclidienne usuelle sur l’espace des colonnes.
(a) Établir
∀X∈ Mn,1(R),
tAX
≤kXk
(b) Soit X∈ Mn,1(R). Montrer que si AX =Xalors tAX =X
(c) Établir
Mn,1(R)=ker(A−In)⊕Im(A−In)
Exercice 35 [ 00354 ] [Correction]
Soit A∈ Mn(R). Établir
rg(tAA)=rg A
Diffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD