Partie II : Une équation fonctionnelle

MPSI 832
2013-2014 à rendre le 12 /12/2014
Devoir maison n°5
Problème
1
a
b
=
+
2
1− x 1+ x
1− x
1. Montrer que th réalise une bijection de ℝ dans un intervalle I à préciser.
On rappelle que Argth est sa bijection réciproque.
2. Montrer que Argth est impaire.
3. Montrer que Argth est dérivable sur I et calculer sa dérivée.
4. Exprimer Argth à l’aide de fonctions usuelles .
Partie II : Une équation fonctionnelle
Le but de cette partie est de déterminer les applications f définies sur ℝ, à valeurs
2f ( x )
réelles et dérivables en 0 qui vérifient ∀x∈ℝ, f(2x) =
1 + (f ( x )) 2
5. Déterminer les applications constantes solutions du problème
6. Déterminer les valeurs possibles de f(0) si f est solution .
7. Montrer que, si f est solution, on a : ∀x∈ℝ, -1 ≤ f(x) ≤ 1.
8. Montrer que si f est solution, - f est aussi solution.
9. Montrer que th est solution .
0. Montrer que ∃(a,b)∈ ℝ², ∀x∈ℝ-{±1},
Dans les questions 10 à 14 on suppose que f est solution du problème posé, que f(0)=1
et que f n’est pas constante.
On considère ‫ݔ‬଴ ∈ℝ tel que f(‫ݔ‬଴ ) ≠ ݂(0) et l’on définit la suite (‫ݑ‬௡ ) par ∀n∈ℕ,
௫
‫ݑ‬௡ = ݂ ቀଶ೙బ ቁ
10. Montrer que (u n ) n∈IN est convergente et préciser sa limite.
11. Etablir une relation entre u n+1 et u n . En déduire que la suite (u n ) garde un signe
constant puis étudier sa monotonie suivant le signe de u 0 .
12. En utilisant les résultats des questions 10 et 11. aboutir à une contradiction.
13. Que peut-on dire si l’hypothèse « f(0) = 1 » est remplacée par « f(0) =-1 » ?
14. Conclusion ?
Dans les questions 15 à 19 on suppose que f est solution du problème posé et que f(0)=0.
15. En raisonnant par l’absurde et en considérant une suite du même type que celle
des questions 10 à 14 montrer que : ∀x∈ℝ, f(x) ≠1 et f(x)≠-1.
On définit alors la fonction g par : ∀x∈ℝ, g(x) = Argth (f(x))
16. Montrer que : ∀x∈ℝ, g(2x) = 2g(x)
17. Montrer que g est dérivable en 0
 x 
g n 
2
18. Soit x∈ℝ*, on définit la suite (v n ) n∈IN par : :∀n∈ℕ, v n =  
x
2n
Montrer que : (v n ) n∈IN converge et déterminer sa limite
19. Montrer que : ∃ a∈ℝ, ∀x∈ℝ, g(x)=ax
20. Déterminer toutes les applications solutions du problème posé.