Partie II : Une équation fonctionnelle

MPSI 832 à rendre le 12 /12/2014
2013-2014 
Devoir maison n°5
Devoir maison n°5Devoir maison n°5
Devoir maison n°5
Problème
ProblèmeProblème
Problème
0. Montrer que ∃ (a,b) ∈ ℝ², ∀ x ∈ ℝ-{ ± 1},
x
1
b
x
1
a
x
1
12+
+
−
=
−
1. Montrer que th réalise une bijection de ℝ dans un intervalle I à préciser.
On rappelle que Argth est sa bijection réciproque.
2. Montrer que Argth est impaire.
3. Montrer que Argth est dérivable sur I et calculer sa dérivée.
4. Exprimer Argth à l’aide de fonctions usuelles .
Partie II
Partie IIPartie II
Partie II :
::
: Une équation fonctionnelle
Le but de cette partie est de déterminer les applications f définies sur ℝ, à valeurs
réelles et dérivables en 0 qui vérifient ∀x∈ℝ, f(2x) =
2
))x(f(1 )x(f2 +
5. Déterminer les applications constantes solutions du problème
6. Déterminer les valeurs possibles de f(0) si f est solution .
7. Montrer que, si f est solution, on a : ∀ x ∈ ℝ, -1 ≤ f(x) ≤ 1.
8. Montrer que si f est solution, - f est aussi solution.
9. Montrer que th est solution .
Dans les questions 10 à 14 on suppose que f est solution du problème posé, que f(0)=1
et que f n’est pas constante.
On considère ݔ
଴
∈ ℝ tel que f(ݔ
଴
) ≠ ݂(0) et l’on définit la suite (ݑ
௡
) par
∀ n ∈ ℕ,
ݑ
௡
= ݂ቀ
௫బ
ଶ೙
ቁ
10. Montrer que (un)
INn∈
est convergente et préciser sa limite.
11. Etablir une relation entre u 1n+ et un. En déduire que la suite (un) garde un signe
constant puis étudier sa monotonie suivant le signe de u
0
.
12. En utilisant les résultats des questions 10 et 11. aboutir à une contradiction.
13. Que peut-on dire si l’hypothèse « f(0) = 1 » est remplacée par « f(0) =-1 » ?
14. Conclusion ?
Dans les questions 15 à 19 on suppose que f est solution du problème posé et que f(0)=0.
Dans les questions 15 à 19 on suppose que f est solution du problème posé et que f(0)=0.Dans les questions 15 à 19 on suppose que f est solution du problème posé et que f(0)=0.
Dans les questions 15 à 19 on suppose que f est solution du problème posé et que f(0)=0.
15. En raisonnant par l’absurde et en considérant une suite du même type que celle
des questions 10 à 14 montrer que : ∀ x ∈ ℝ, f(x) ≠ 1 et f(x) ≠ -1.
On définit alors la fonction g par : ∀ x ∈ ℝ, g(x) = Argth (f(x))
16. Montrer que : ∀ x ∈ ℝ, g(2x) = 2g(x)
17. Montrer que g est dérivable en 0
18. Soit x ∈ ℝ*, on définit la suite (vn)
INn∈
par : : ∀ n ∈ ℕ, v
n
n
n
2
x
2
x
g
=
Montrer que : (vn)
INn ∈
converge et déterminer sa limite
19. Montrer que :
∃ a ∈ ℝ, ∀ x ∈ ℝ, g(x)=ax
20. Déterminer toutes les applications solutions du problème posé.