Lycée Berthollet PCSI2 2016-17 Correction du devoir numéro 3

Lycée Berthollet PCSI2 2016-17
Correction du devoir numéro 3
Exercice 1 Trigonométrie hyperbolique.
Soient aet bdans R.
1. Exprimer à l’aide de la fonction exponentielle cha·chb, sh a·shb, sh a·chbet ch a·shb,
puis en déduire des expressions de ch(a+b)et sh(a+b)en fonction de ch a, sh a, ch bet sh b.
cha·ch b=Çea+e−a
2å eb+e−b 2!=ea+b+ea−b+e−a+b+e−a−b 4,
sha·sh b=Çea−e−a
2å eb−e−b 2!=ea+b−ea−b−e−a+b+e−a−b 4,
sha·ch b=Çea−e−a
2å eb+e−b 2!=ea+b+ea−b−e−a+b−e−a−b 4,
cha·sh b=Çea+e−a
2å eb−e−b 2!=ea+b−ea−b+e−a+b−e−a−b 4.
Par somme des deux premières égalités,
cha·ch b+sha·sh b=2ea+b+2e−a−b
4=ch(a+b)
et par somme des deux dernières égalités,
sha·ch b+cha·sh b=2ea+b−2e−a−b
4=sh(a+b),
ce qui donne finalement
ch(a+b) = ch a·chb+sh a·shbet sh (a+b) = sha·ch b+shb·ch a.
2. En déduire une expression de th(a+b)en fonction uniquement de th(a)et th (b).
th(a+b) = sh(a+b)
ch(a+b)=sh a·chb+sh b·cha cha·ch b+sha·sh b
et en divisant numérateur et dénominateur par ch a·ch b, on obtient
th(a+b) = tha+th b
1+tha·th b

3. Pour p,q∈R, exprimer sh p−shqsous la forme 2 fÄp+q
2ägÄp−q 2ä, où fet gsont des fonc-
tions trigonométriques hyerboliques à déterminer.
sh p−shq=sh Åp+q
2+p−q 2ã−sh Åp+q 2−p−q 2ã
=Åsh Åp+q
2ã·ch Åp−q 2ã+sh Åp−q 2ã·ch Åp+q 2ãã
−Åsh Åp+q
2ã·ch Åp−q 2ã−sh Åp−q 2ã·ch Åp+q 2ãã
donc
sh p−shq=2ch Åp+q
2ã·sh Åp−q 2ã.
Exercice 2 Calculs de dérivées.
Déterminer soigneusement les domaines de dérivation, puis calculer les dérivées des fonctions
suivantes :
1. f1:x7−→ exp1−2x+3x2
4x3−5x4;
Remarquons que pour x∈R, 4x3−5x4=−5x3Äx−4
5ä, quantité qui est nulle si et seulement
si x∈¶0,4
5©. La fonction rationnelle x7−→ 1−2x+3x2
4x3−5x4a donc comme domaine de définition R\
¶0,4
5©.
La fonction f1est la composée d’une fonction rationnelle (dérivable sur tout intervalle inclus
dans son domaine de définition) et de la fonction exponentielle (dérivable sur l’intervalle R, qui
contient automatiquement l’ensemble image de la fonction rationnelle précédente), donc f1est
dérivable sur tout intervalle inclus dans D0f1=R\¶0,4
5©.
En utilisant les règles de dérivation d’une composée, d’un quotient et des polynômes, on
obtient, pour x∈R\¶0,4
5©:
f0
1(x) = 6f1(x)·−2+6x−7x2+5x3
x4(4−5x)2
2. f2:x7−→ (lnx)x;
On met la fonction f2sous forme exponentielle, i.e. f2:x7−→ exp(xlnlnx). On sait que ln
est définie et dérivable sur Dln =R?
+. La fonction composée ln◦ln est donc définie et dérivable
sur tout intervalle inclus dans {x∈Dln |ln x∈Dln}=¶x∈R?
+|lnx>0©=]1,+∞[. Par produit
avec une fonction polynôme, dérivable sur R, puis composition avec la fonction exponentielle,
dérivable sur R, la fonction f2est dérivable sur D0f2=]1,+∞[.
2

En utilisant les règles de dérivation des composées, d’un produit, de l’exponentielle et du
logarithme, on obtient, pour x>1 :
f0
2(x) = (lnx)xÇln lnx+1
lnxå
3. f3:x7−→ ln ex−1
ex+1(exprimer la dérivée avec les fonctions trigonométriques hyperboliques) ;
En notant g:y7−→ y−1
y+1, on a f3=ln◦g◦exp. La fonction exp étant dérivable sur Ret gétant
dérivable sur tout intervalle inclus dans son domaine de définition Dg=R\{−1}(en tant
que fonction rationnelle), la composée g◦exp est dérivable sur tout intervalle inclus dans son
domaine de définition, qui est ¶x∈Dexp |ex∈Dg©={x∈R|ex6=−1}=R.
Par composition avec la fonction ln, définie et dérivable sur R?
+, la fonction f3est dérivable
sur tout intervalle inclus dans son domaine de définition, qui est ¶x∈R|ex−1
ex+1>0©. Or, pour
x∈R,ex−1
ex+1est du signe de ex−1, c’est-à-dire strictement positif si et seulement si x>0.
Ainsi, la fonction f3est dérivable sur D0f3=R?
+.
Pour dériver, une première méthode serait de transformer d’abord f3ce qui donne
∀x>0,f3(x) = lnth x
2
puis dériver et simplifier en utilisant la trigonométrie hyperbolique.
Il semble plus simple d’appliquer ici la seconde méthode : dériver d’abord et transformer
ensuite. En utilisant les règles de dérivation d’une composée, d’un quotient, du logarithme et de
l’exponentielle, on obtient, pour x>0 :
f0
3(x) = ex+1
ex−1·ex(ex+1)−(ex−1)ex (ex+1)2=2ex e2x−1=2 ex−e−x
donc
f0
3(x) = 1
shx
4. f4:x7−→ Arctan (x) + Arctan Ä1
xä(qu’en déduisez-vous ?).
La fonction inverse étant dérivable sur tout intervalle inclus dans son domaine de définition
R?en tant que fonction rationnelle et la fonction Arctan étant dérivable sur R, la composée
x7−→ Arctan Ä1
xäest dérivable sur R?
−et sur R? +.
Par somme avec la fonction Arctan , dérivable sur R,f4est dérivable sur tout intervalle
inclus dans D0f4=R?.
D’après les règles de dérivation d’une composée, puis d’une somme, on obtient, pour x6=0 :
f0
4(x) = 1
1+x2+1
1+Ä1
xä2·Ç−1
x2å=1 1+x2−1 x2+1
donc
3

∀x∈R?,f0
4(x) = 0.
On en déduit que f4est constante sur tout intervalle inclus dans R?, donc elle est constante
sur R?
−et constante sur R? +. En x=1, on obtient f4(1) = Arctan (1) + Arctan (1) = 2·π
4=π 2.
Par imparité évidente de f4, on obtient finalement, en notant sgn la fonction signe, qui associe
à tout réel non nul xle nombre sgn(x) = x
|x|∈{±1}(et à 0 le nombre sgn(0) = 0, ce qui ne sert
pas ici...),
∀x∈R?,Arctan (x) + Arctan Ç1
xå=sgn(x)·π 2.
Exercice 3 Fonction réciproque de th.
1. Montrer que la fonction th admet une fonction réciproque dérivable, qu’on notera Argth et
dont on précisera l’ensemble de définition DArgth .
La fonction th est dérivable sur l’intervalle Ret sa dérivée th 0=1
ch2est strictement positive
en tout point de R, donc le théorème des fonctions réciproques, version dérivable, assure que
th admet une fonction réciproque th −1, qu’on note classiquement Argth, qui est définie et
dérivable sur l’intervalle image
DArgth =th(R) =] −1,1[.
Comme th est strictement croissante, on sait de plus que Argth l’est aussi.
2. Montrer que pour tout x∈DArgth , Argth 0(x) = 1
1−x2. Retrouver ainsi les variations de
Argth et donner ses limites aux bornes de DArgth .
Le théorème précédent donne aussi une formule pour la dérivée de la fonction réciproque :
Argth0=1
th0◦Argth . Or th 0=1−th 2, donc, pour x∈]−1,1[,
Argth0(x) = 1
1−th2(Argth(x)) =1
1−x2.
Pour x∈]−1,1[, 1−x2>0, et on retrouve ainsi que la fonction Argth est strictement croissante.
Comme lim
x→−∞th(x) = −1+, on a lim
x→−1+Argth(x) = −∞et de même lim
x→1−Argth(x) = +∞.
3. Trouver deux réels aet btels que, pour tout x∈R\ {−1,1},
1
1−x2=a x+1+b x−1.
On trouve a=1
2, par exemple en multipliant l’égalité par x+1 et en faisant tendre xvers −1.
Par un raisonnement analogue, on trouve b=−1
2.Quelle que soit la méthode employée, il est
4

facile vérifier par le calcul que les valeurs sont les bonnes (pourquoi s’en priver ?).
4. On rappelle qu’une primitive d’une fonction fest une fonction Fdérivable telle que F0=f.
Trouver une primitive de x7−→ 1
x+1et une primitive de x7−→ 1 x−1.
Une primitive sur R\{−1}de x7−→ 1
x+1est la fonction x7−→ ln(|x+1|).
Une primitive sur R\{+1}de x7−→ 1
x−1est la fonction x7−→ ln(|x−1|).
5. En déduire une expression de Argth à l’aide de la fonction ln.
Sur l’intervalle ]−1,1[, la fonction
x7−→ 1
2ln(|x+1|)−1 2ln(|x−1|) = 1 2ln(x+1)−1 2ln(1−x) = 1 2lnÇ1+x 1−xå.
est donc une primitive de x7−→ 1
1−x2.
Comme deux primitives d’une même fonction sur un intervalle diffèrent d’une constante, il
existe C∈Rtel que
∀x∈]−1,1[,Argth(x) = 1
2lnÇ1+x 1−xå+C.
En prenant x=0, on trouve C=0, donc
∀x∈]−1,1[,Argth(x) = 1
2lnÇ1+x 1−xå.
Remarquons au passage que x7−→ 1
2lnÇ
1+x
1−xåest une primitive de x7−→ 1 1−x2sur R\{±1}
5