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E.N.S.E.T Rabat
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Dut Génie Thermique et énergie
Dut Génie Thermique et énergie Dut Génie Thermique et énergie
Dut Génie Thermique et énergie
4) Mq :
[ [
( )
(
)
2
1, ( ) 1
x Argch x Ln x x
∀ ∈ +∞ = + −
3
33
3) Fonction ARGSINUS HYPERBOLIQUE :
) Fonction ARGSINUS HYPERBOLIQUE :) Fonction ARGSINUS HYPERBOLIQUE :
) Fonction ARGSINUS HYPERBOLIQUE :
Définition et Propriétés
Définition et PropriétésDéfinition et Propriétés
Définition et Propriétés:
::
:
Exercice
Exercice Exercice
Exercice 3
33
3 :
::
:
1) Montrer que la fct sh est une bijection de IR vers
IR ( On notera sa fonction réciproque par
A rg sh
)
2) Représenter graphiqument la fonction
A rg sh
.
3) Mq :
( ) ( )
2
1
( ) '
1
x IR Argsh x x ∀ ∈ =
+
4) Mq :
( )
(
)
2
( ) 1
x IR Argsh x Ln x x
∀ ∈ = + +
--------------------------------------------------------------------
4
44
4) Fonction Tangente hyperboli
) Fonction Tangente hyperboli) Fonction Tangente hyperboli
) Fonction Tangente hyperbolique et Fonction ARGTH :
que et Fonction ARGTH :que et Fonction ARGTH :
que et Fonction ARGTH :
Définition et Propriétés
Définition et PropriétésDéfinition et Propriétés
Définition et Propriétés:
::
:
On définit la fonction tangente hyperbolique sur IR
par :
( ) ( ) ( )
x x
x x
sh x
th x ch x
e e
e e
−
−
−
= = +
Exercice
Exercice Exercice
Exercice 4
44
4 :
::
:
Montrer que :
1)
(
)
( ) ( )
x IR th x th x
∀ ∈ − = −
( th est impaire)
2)
lim ( ) 1
x
th x
→+∞
=
et
lim ( ) 1
x
th x
→−∞
= −
3)
( ) ( )
2
2
1
( ) ' 1 ( )
( )
x IR th x th x
ch x
∀ ∈ = = −
4) Montrer que la fct th est une bijection de IR vers
]
[
1,1
− ( On notera sa fct réciproque par
A rg th
)
5) Représenter graphiqument la fonction
A rg th
.
6) Mq :
] [
( )
( )
2
1
1,1 ( ) '
1
x Argth x
x
∀ ∈ − =
−
7) Mq :
] [
( )
1
2
1
1,1 ( ) 1
x
x Argth x Ln
x
+
∀ ∈ − =
−
L’histoire des fonctions trigonometriques est très
ancienne alors que celle des fonctions hyperboliques est
récente. Pour en savoir plus chercher dans les livres
d’histoire des mathématiques ou sur internet …
1
11
1
) Fonction
) Fonction) Fonction
) Fonction
s
ss
s
HYPERBOLIQUES :
HYPERBOLIQUES :HYPERBOLIQUES :
HYPERBOLIQUES :
Définition et Propriétés
Définition et PropriétésDéfinition et Propriétés
Définition et Propriétés:
::
:
On définit les fonctions cosinus hyperbolique et sinus
hyperbolique sur IR par :
( ) 2
x x
ch x
e e
−
+
= et ( ) 2
x x
sh x
e e
−
−
=
Exercice 1
Exercice 1Exercice 1
Exercice 1 :
::
:
Montrer que :
1)
(
)
( ) ( )
x IR ch x ch x
∀ ∈ − =
( ch est paire )
2)
(
)
( ) ( )
x IR sh x sh x
∀ ∈ − = −
( sh est impaire )
3)
(
)
(
)
(
)
( ) ' ( ) ( ) ' ( )
x IR ch x sh x et sh x ch x
∀ ∈ = =
4)
( )
2 2
2 2
( ) ( ) 1
( ) ( ) (2 )
(2 ) 2 ( ) ( )
ch x sh x
x IR ch x sh x ch x
sh x sh x ch x
− =
∀ ∈ + =
=
5) Constatons une certaine ressemblance entre les
propriétés des fcts trigonométriques et fcts hyperboliques
A titre d’ exemple vérifier que :
(
)
(
)
x IR y IR
∀ ∈ ∀ ∈
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
ch x y ch x ch y sh x sh y
+ = +
Cette formule ressemble à la formule trigonometrique :
cos( ) cos( ) cos( ) sin( ) sin( )
x y x y x y
+ = −
Pour en savoir plus écrire en fct de ch(x) et sh(x) les
expressions de ch(x+y) , ch(x-y) , sh(x+y) et sh(x-y)
Cette analogie résulte des définitions de ch, sh et du
fait que: cos( ) 2
ix ix
x
e e
−
+
= et sin( ) 2
ix ix
xi
e e
−
−
=
5)Etudier les variations et représenter les courbes des
deux fonctions ch et sh .
2
22
2) Fonction ARGCOSINUS HYPERBOLIQUE :
) Fonction ARGCOSINUS HYPERBOLIQUE :) Fonction ARGCOSINUS HYPERBOLIQUE :
) Fonction ARGCOSINUS HYPERBOLIQUE :
Définition et Propriétés
Définition et PropriétésDéfinition et Propriétés
Définition et Propriétés:
::
:
Exercice
Exercice Exercice
Exercice 2
22
2 :
::
:
On considère la fonction f définie sur
[
[
0,
+∞
par :
( ) ( )
f x ch x
=
(ie : restriction de ch à l’intervalle cité)
1) Montrer que f admet une fonction réciproque définie
de
[
[
1,
+∞
vers
[
[
0,
+∞
( On notera
1
f
−
par
c
A rg h
)
2) Construire la courbe représentative de
c
A rg h
.
3) Mq :
] [
( )
( )
2
1
1, ( ) '
1
x Argch x x ∀ ∈ +∞ =
−