Dut Génie Thermique et énergie E.N.S.E.T Rabat 1) Fonctions Fonctions HYPERBOLIQUES : Définition et Propriétés: Propriétés: On définit les fonctions cosinus hyperbolique et sinus hyperbolique sur IR par : ch( x) = e x + e− x 2 Exercice 1 : Montrer que : 1) ( ∀ x ∈ IR ) 2) ( ∀ x ∈ IR ) 3) ( ∀ x ∈ IR ) 4) ( ∀ x ∈ IR ) et sh( x) = e x − e− x 2 4) Mq : ( ∀ x ∈ [1, +∞ [ ) A rgch ( x ) = Ln ( x + x2 −1 ) 3) Fonction ARGSINUS HYPERBOLIQUE : Définition et Propriétés: Propriétés: Exercice 3 : ch ( − x ) = ch ( x ) ( ch est paire ) sh ( − x ) = − sh ( x ) ( sh est impaire ) ( ch ( x ) ) ' = sh ( x ) et ( sh ( x ) ) ' = ch ( x ) ch 2 ( x ) − sh 2 ( x ) = 1 2 2 ch ( x ) + sh ( x ) = ch (2 x ) sh (2 x ) = 2 sh ( x ) ch ( x ) 5) Constatons une certaine ressemblance entre les propriétés des fcts trigonométriques et fcts hyperboliques A titre d’ exemple vérifier que : ( ∀ x ∈ IR ) ( ∀ y ∈ IR ) 1) Montrer que la fct sh est une bijection de IR vers IR ( On notera sa fonction réciproque par A r g s h ) 2) Représenter graphiqument la fonction A r g s h . 1 3) Mq : ( ∀ x ∈ IR ) ( Argsh ( x ) ) ' = 2 x +1 4) Mq : ( ∀ x ∈ IR ) ( A rgsh ( x ) = Ln x + 1 + x 2 -------------------------------------------------------------------- ch ( x + y ) = ch ( x ) ch ( y ) + sh ( x ) sh ( y ) Cette formule ressemble à la formule trigonometrique : cos( x + y ) = cos( x ) cos( y ) − sin( x ) sin( y ) 4) Fonction Tangente hyperbolique hyperbolique et Fonction ARGTH : Définition et Propriétés: Propriétés: On définit la fonction tangente hyperbolique sur IR par : sh( x) e x − e− x th( x) = = e x + e− x ch( x) Pour en savoir plus écrire en fct de ch(x) et sh(x) les expressions de ch(x+y) , ch(x-y) , sh(x+y) et sh(x-y) Exercice 4 : Montrer que : Cette analogie résulte des définitions de ch, sh et du ix ix e + e−ix e − e− ix et sin( x) = fait que: cos( x) = 2 2i 1) ( ∀ x ∈ IR ) 5)Etudier les variations et représenter les courbes des deux fonctions ch et sh . 2) Fonction ARGCOSINUS HYPERBOLIQUE : Définition et Propriétés: Propriétés: Exercice 2 : On considère la fonction f définie sur [ 0, +∞[ par : ) 2) th ( − x ) = − th ( x ) ( th est impaire) lim th ( x ) = 1 x →+∞ et lim th ( x ) = − 1 x → −∞ 1 = 1 − th 2 ( x ) ch ( x ) 4) Montrer que la fct th est une bijection de IR vers ]−1,1[ ( On notera sa fct réciproque par A r g t h ) 5) Représenter graphiqument la fonction A r g t h . 1 6) Mq : ( ∀ x ∈ ]− 1,1[ ) ( Argth ( x ) ) ' = 1 − x2 1 1+ x 7) Mq : ( ∀ x ∈ ]− 1,1[ ) Argth ( x ) = Ln 2 1− x 3) ( ∀ x ∈ IR ) ( th ( x ) ) ' = 2 f ( x) = ch( x) (ie : restriction de ch à l’intervalle cité) 1) Montrer que f admet une fonction réciproque définie de [1, +∞[ vers [ 0, +∞[ ( On notera f −1 par A r g c h ) 2) Construire la courbe représentative de A r g c h . 1 3) Mq : ( ∀ x ∈ ]1, +∞ [ ) ( A rgch ( x ) ) ' = 2 x −1 L’histoire des fonctions trigonometriques est très ancienne alors que celle des fonctions hyperboliques est récente. Pour en savoir plus chercher dans les livres d’histoire des mathématiques ou sur internet …