Sommaire de la séquence 8

Sommaire de la séquence 8
Séance 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
J’étudie.des.triangles.rectangles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Séance 2 .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Je.découvre.le.sinus,.la.tangente. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Séance 3 .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
J’utilise.le.sinus.pour.déterminer.un.angle. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Séance 4 .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
J’effectue.des.exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Séance 5 .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Je.cherche.des.valeurs.exactes.de.sinus.et.de.cosinus. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Séance 6 .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
J’étudie.une.relation.entre.le.sinus.et.le.cosinus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Séance 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Je.cherche.à.savoir.si.le.sinus.d’un.angle.peut.être.égal.à.son.cosinus. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Séance 8
Je.trouve.une.meilleure.méthode.pour.faire.une.construction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Séance 9 .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
J’effectue.des.exercices.de.synthèse. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Objectifs
Ë Connaître.la.définition.du.sinus,.de.la.tangente
Ë Connaître.des.relations.liant.sinus,.cosinus.et.tangente
Ë Savoir.résoudre.des.problèmes.à.l’aide.de.la.trigonométrie
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Cned, Mathématiques 3e –
167
Séquence 8
Séance 1
J’étudie des triangles rectangles
Avant de commencer cette séance, lis attentivement les objectifs de la séquence n°8.
Effectue ensuite le test ci-dessous directement sur ton livret en cochant la ou les bonnes réponses.
JE RÉVISE LES ACQUIS DE LA 4e
1- Le triangle ABC est inscrit dans un cercle de
diamètre [BC]. Le triangle ABC est donc :
 isocèle en A
 équilatéral
 rectangle en A
 rectangle en B
2-
Le cosinus de l’angle
E
d’un triangle EFG
rectangle en G est :
EG
EF
EF
EG
FG
EF
EF
FG
3- Quel est l’arrondi au dixième du cosinus de
50° ?
 0,64
 50
 0,6
 0,5
4- Quel angle a pour cosinus 0,6 ? (donne son
arrondi au dixième de degré près)
 53°
 54°
 1°
 53,1°
Prends une nouvelle page de ton cahier de cours et de ton cahier d’exercices puis écris :
« SÉQUENCE 8 : TRIGONOMÉTRIE ».
Effectue l’exercice suivant dans ton cahier d’exercices. Une fois l’exercice terminé, n’oublie pas de te
reporter à son corrigé et de lire attentivement les deux parties : « Ce que tu devais faire » et « les
commentaires du professeur ».
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168
Séquence 8
EXERCICE 1
Les lettres M, N et P symbolisent trois ports de pêche
d’îles du Pacifique. Ces trois ports se trouvent sur un
même cercle représenté en pointillé sur le schéma ci-
contre. Son centre O est le milieu de [PN].
Problème : donner une valeur approchée de l’angle
ɵ
P
au centième de degré près.
1- Essaie de résoudre le problème pendant 10 minutes.
Si tu n’as pas réussi à résoudre le problème, effectue les questions suivantes.
2- Essaie de faire une figure à l’échelle sur laquelle un centimètre représente un km, et déduis-en à
l’aide d’un instrument de mesure une solution approchée du problème.
Si tu possèdes un ordinateur, essaie de construire une figure dynamique et fais mesurer l’angle
ɵ
P
.
Arrives-tu à construire les figures ?
Si tu n’as pas réussi à construire les figures, ce n’est pas grave, passe à la question suivante.
3- Démontre que le triangle MNP est rectangle en M.
A l’aide de cette information supplémentaire, tu peux, si tu n’as pas réussi à construire les figures
dans la question 2, les construire maintenant.
4- Calcule PN.
5- Calcule l’arrondi au centième de degré de l’angle
ɵ
P
puis réponds au problème posé.
Aide : utilise le cosinus de cet angle !
6- Prends une calculatrice et tape tan–1 (4/3). Que remarques-tu ?
Tape ensuite sin–1 (4/5). Que remarques-tu cette fois ?
Effectue l’exercice de la page suivante dans ton cahier d’exercices.
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Cned, Mathématiques 3e –
169
Séquence 8
EXERCICE 2
1- Crée à l’aide d’un logiciel de géométrie dynamique deux
demi-droites [AB’) et [AC’), un point B sur [AB’), puis la
perpendiculaire à [AB’) passant par le point B, qui coupe [AC’)
en C.
Ensuite, fais afficher les quotients
AB
AC
,
BC
AC
et
BC
AB
.
Aide : Si tu n’arrives pas à construire la figure dynamique,
ouvre le fichier sequence8exercice2 à l’aide de Geogebra.
Déplace le point C sur la demi-droite [AC’). Que remarques-tu ?
2- Déplace ensuite la demi-droite [AC’) de façon à changer l’angle
B'AC'
, puis déplace à nouveau le
point C sur la demi-droite [AC’). Que remarques-tu ?
3- De quoi semble dépendre uniquement le quotient
AB
AC
? le quotient
BC
AC
? le quotient
BC
AB
?
4- Nous allons démontrer les constatations faites dans la
question 3.
On étudie la figure ci-contre.
● Démontre que l’on a :
AB AC
AN AM
= puis déduis-en :
AB AN
AC AM
=.
● Démontre que l’on a :
BC AC
MN AM
= puis déduis-en :
BC MN
AC AM
=.
● Démontre que :
BC MN
AB AN
=.
Pour terminer cette séance, reporte-toi à la fiche de calcul mental n° 9, à la fin de ce livret.
Découpe une partie de la feuille selon les pointillés verticaux, puis replie-la le long des
pointillés horizontaux afin de cacher les solutions.
Effectue ensuite la série 1 de cette fiche. Pour cela, lis les calculs proposés, calcule le
résultat de tête puis écris les réponses sur une feuille de brouillon.
Une fois la série 1 terminée, reporte-toi aux solutions.
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170
Séquence 8
Séance 2
Je découvre le sinus, la tangente
Lis attentivement le paragraphe ci-dessous puis recopie-le dans ton cahier de cours.
JE RETIENS
Définition :
Dans un triangle rectangle, les rapports
AB
AC
,
BC
AC
et
BC
AB
ne
dépendent que de la mesure de l’angle
A
.
Par définition :
AB
AC
=
longueur du côté adjacent à l'an
longueur de l'hypoté
gle A
nuse =
cos A
On lit : « cosinus de
A
».
BC
AC
=
longueur du côté opposé à l'ang
longueur de l'hypoté
le A
nuse =
sin A
On lit : « sinus de
A
».
BC
AB
=
lon
lon
gue
gueur d
ur du cô
u côté opposé à
té adjacent à l
l'angl
'an
e A
gle A
=
tan A
On lit : « tangente de
A
».
Remarques :
● le sinus, cosinus et tangente n’ont pas d’unité.
● le mot « SOHCAHTOA » permet de retenir les formules précédentes : « SOH » rappelle que le
Sinus d’un angle aigu d’un triangle rectangle est égal à la longueur du côté Opposé divisée par la
longueur de l’Hypoténuse, « CAH » rappelle …
Effectue l’exercice ci-dessous dans ton cahier d’exercices
EXERCICE 3
Les deux triangles KLM et RST ci-dessous
sont des triangles rectangles. Calcule :
a) ●
sin M
●
cosM
●
tan M
b) ●
sin R
●
cosR
●
tan R
Tu donneras l’arrondi de
cos R
et
tan R
au centième.
Rends-toi aux pages calculatrice à la fin de ce cours. Tu verras comment déterminer un angle dont on
connaît le sinus, ou un angle dont on connait la tangente.
Effectue l’exercice ci-dessous dans ton cahier d’exercices
EXERCICE 4
Clément affirme que le sinus d’un angle aigu d’un triangle rectangle est plus petit que 1. Qu’en
penses-tu ?
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