Géométrie différentielle 2

M1-2006
G´eom´etrie diff´erentielle 2
Notes de cours
J.-P. Labesse
I. Pr´ eliminaires alg´ ebriques
Dans tout ce qui suit le corps de base kde tous les espaces vectoriels sera Rou C. Soit
Vun espace vectoriel de dimension finie non note V∗son dual. On d´esignera par f(v) ou
bien < f |v > l’´evaluation d’une forme lin´eaire f∈V∗sur un vecteur v∈V.
I.1 – Alg`ebres.
On dit qu’un espace vectoriel Aest muni d’une structure d’alg`ebre si on s’est donn´e une
application bilin´eaire A×A→A
(a, b)7→ a∗b .
On dit que c’est une alg`ebre associative si la loi de produit ∗est associative.
I.2 – Alg`ebres de Lie.
On dit qu’une alg`ebre (A, ∗) est une alg`ebre de Lie si la loi est anti-sym´etrique
a∗a= 0
et v´erifie l’identit´e de Jacobi
(a∗b)∗c+ (b∗c)∗a+ (c∗a)∗b= 0 .
Il est usuel de noter par un crochet [a, b] plutot que a∗ble produit dans une alg`ebre de
Lie. Si Aest une alg`ebre associative pour un produit not´e ◦on d´efinit sur Aune structure
d’alg`ebre de Lie en posant
[a, b] = a◦b−b◦a.
I.3 – D´erivations d’une alg`ebre.
On appelle d´erivation d’une alg`ebre (A, ∗) la donn´ee d’une application lin´eaire
D:A→A
Fichier Geodiff-2-05, compilation le 17-2-2006– 475

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qui v´erifie l’identit´e de Leibnitz :
D(a∗b) = (Da)∗b+a∗(Db).
L’ensemble Der(A) des d´erivations de Aest de fa¸con naturelle un espace vectoriel. Le
compos´e D1◦D2de deux d´erivations n’en est pas une en g´en´eral. On laisse au lecteur le
soin de v´erifier que le crochet de deux d´erivations
[D1, D2] = D1◦D2−D2◦D1
en est une. L’ensemble Der(A) des d´erivations d’une alg`ebre est ainsi muni d’une structure
d’alg`ebre de Lie. Dans une alg`ebre de Lie Al’identit´e de Jacobi peut ˆetre vue comme
exprimant le fait que l’application
Da:x7→ [a, x]
est une d´erivation de A; elle montre aussi que a7→ Daest un homomorphisme d’alg`ebre
de Lie de Adans Der(A).
I.4 – Modules.
Soit Aune algebre associative ; un A-module est un espace vectoriel Mmuni d’une appli-
cation bilin´eaire
A×M→M
(f, s)7→ f s
et telle que de plus on ait une relation d’associativit´e :
f(gs) = (fg)s
pour tous fet gdans Aet s∈M. Il est dit de type fini si il admet un ensemble fini
g´en´erateur : c’est un quotient de Anavec nentier. Un module est dit libre de type fini si
il est isomorphe `a An.
On appelle d´erivation d’un module Msur une alg`ebre Ala donn´ee d’une d´erivation D
de Aet d’une application lin´eaire
˜
D:M→M
qui v´erifie l’identit´e de Leibnitz :
˜
D(fs) = (Df)s+a(˜ Ds).
Produit tensoriel. Soient Vet Wdeux espaces vectoriels de dimension finie. Le produit
tensoriel de V∗et W∗est un espace vectoriel not´e V∗⊗W∗: c’est l’espace des applications

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bilin´eaires de V×Wdans le corps de base k. Il est muni d’une application bilin´eaire
canonique b:V∗×W∗→V∗⊗W∗:
(f, g)7→ f⊗g
en posant
(f⊗g)(v, w) = f(v)g(w).
Le produit tensoriel a la propri´et´e caract´eristique suivante : toute application bilin´eaire
φ:V∗×W∗→E
de V∗×W∗dans un espace vectoriel Ese factorise de mani`ere unique, par V∗⊗W∗
c’est-`a-dire qu’il existe une unique application lin´eaire
˜
φ:V∗⊗W∗→E
telle que
φ=b◦˜ φ
La v´erification de ce fait est laiss´e en exercice.
Alg`ebre tensorielle. Soit Vun vectoriel de dimension finie. la construction pr´ec´edente
peut s’it´erer et on obtient une alg`ebre gradu´ee associative, non commutative si dim(V)>1,
appel´ee alg`ebre tensorielle de V∗
T(V∗) = k⊕V∗⊕(V∗⊗V∗)⊕(V∗⊗V∗⊗V∗)⊕. . .
L’alg`ebre tensorielle T(V∗) admet deux quotients remarquables : l’alg`ebre sym´etrique et
l’alg`ebre ext´erieure. L’alg`ebre sym´etrique S(V∗) est l’alg`ebre des fonctions polynomiales
sur V, c’est-`a-dire l’alg`ebre des fonctions sur Vengendr´e par les formes lin´eaires. C’est le
quotient de T(V∗) par l’id´eal bilat`ere engendr´e par les tenseurs x⊗y−y⊗x.
I.5 – Alg`ebre ext´erieure.
On note ∧pV∗(ou Ap(V)) l’espace vectoriel des formes p-lin´eaires altern´ees sur V; c’est
un espace de dimension (n
p). On dispose d’une application p-lin´eaire altern´ee de V∗×. . . V ∗
dans ∧pV∗not´ee
(f1, . . . , fp)7→ f1∧f2∧. . . ∧fp
o`u ω=f1∧f2∧. . . ∧fpest l’application p-lin´eaire altern´ee sur Vpd´efinie par
ω(v1, . . . , vp) = det < fi|vj> .

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On d´efinit une application bilin´eaire de ∧pV∗× ∧qV∗dans ∧rV∗avec r=p+q: si ωet
ηsont des formes pet qlin´eaires altern´ees respectivement, on d´efinit une forme r-lin´eaire
altern´ee ω∧ηen posant
(ω∧η)(v1, . . . , vr) = X
σ∈(Sp×Sq)\Sr
ω(vσ(1), . . . , vσ(p))η(vσ(p+1), . . . , vσ(r))
o`u Srest le groupe des permutations de rlettres. La somme directe
^V∗=
i=n
M
i=0
∧pV∗
est ainsi munie d’une structure d’alg`ebre gradu´ee associative, que l’on appelle alg`ebre
ext´erieure de V∗. C’est le quotient de T(V∗) par l’id´eal bilat`ere engendr´e par les tenseurs
x⊗x. La sous-alg`ebre des sommes d’´el´ements de degr´e pair est commutative.
I.6 – Espace euclidien.
On appelle espace euclidien (de dimension finie) la donn´ee d’un vectoriel r´eel de dimension
finie Emuni d’un d’un produit scalaire. On notera gla forme bilin´eaire sym´etrique non
d´egen´er´ee qui d´efinit le produit scalaire. Le produit scalaire permet d’identifier Eet son
dual E∗: `a v∈Eon associe la forme lin´eaire
w7→ g(v, w)
et on pose
g(v, w) =< v |w > .
R´eciproquement on peut voir un espace euclidien comme un espace vectoriel Emuni d’un
isomorphisme avec son dual :
E→E∗
tel qu’avec cet isomorphisme la forme quadratique
v7→< v |v >
soit d´efinie positive.
Compte tenu de l’identification entre Eet E∗on dispose donc des espaces E⊗E,∧pEetc...
Les formes bilin´eaires sym´etriques d´eduites de gsur les diverses puissances tensorielles de
E, sur l’alg`ebre sym´etrique etc, seront le plus souvent encore not´ees g. Par exemple sur la
puissance ext´erieure p-i`eme de Eon a le produit scalaire suivant :
g(v1∧. . . ∧vp, w1∧. . . ∧wp) = det (g(vi, wj))

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Remarque – On prendra soin de distinguer le produit exterieur (associatif) du “produit
vectoriel”. Ce dernier est d´efini seulement pour un espace euclidien Eorient´e de dime-
nion 3. Il n’est pas associatif mais il v´erifie l’identit´e de Jacobi. Rappelons que le produit
vectoriel peut ˆetre d´efini comme suit : `a deux vecteurs vet won associe le vecteur de
v×w∈Etel que
u∧v∧w=< v ×w|u > (e1∧e2∧e3)
les ei´etant une base orthonormale directe. Le scalaire < v ×w|u > est aussi appel´e le
produit mixte ; ce n’est autre que la valeur du d´eterminant des trois vecteurs u,vet w
exprim´es dans une base orthonorm´ee directe.
On peut montrer que l’espace euclidien Eorient´e de dimension 3, est naturellement iso-
morphe `a l’alg`ebre de Lie du groupe orthogonal en dimension 3 et qu’avec cette identifica-
tion le produit vectoriel n’est autre que le crochet de l’alg`ebre de Lie du groupe orthogonal
en dimension 3.