STRUCTURES BV EN THÉORIE TOPOLOGIQUE DES LACETS

STRUCTURES BV EN TH´ EORIE TOPOLOGIQUE DES
LACETS.
DAVID CHATAUR, LUC MENICHI
Produit d’intersection, loop produit et th´ eories de champs
quantiques topologiques (D. Chataur)
Soit Mune vari´et´e ferm´ee orient´ee, H∗(M, F) l’homologie singuli`ere de
M`a coefficients dans un corps Fest une alg`ebre de Frobenius commutative
ou TQFT (Topological quantum field theory). Le produit est donn´e par le
produit d’intersection et cette structure est une incarnation de la dualit´e de
Poincar.
Pour l’espace des lacets libres LM=C0(S1, M) de la vari´et´e M, l’espace
des applications continues du cercle dans M, l’homologie singuli`ere est une
alg`ebre pour le loop produit de Chas-Sullivan. La structure de TQFT laisse
place `a une structure de HCFT (Homological conformal field theory). On
obtient en particulier une structure BV sur l’homologie de LM.
Cohomologie de Hochschild et Topologie des cordes (L.
Menichi)
Soit Mune vari´et´e ferm´ee simplement connexe. D’apr`es Chas et Sullivan,
H∗(LM, F) l’homologie singuli`ere des lacets libres sur M`a coefficients dans
un corps Fest une alg`ebre de Batalin-Vilkovisky.
Soit Aune alg`ebre (gradu´ee diff´erentielle). La cohomologie de Hochschild
de A,HH∗(A, A), est une alg`ebre de Gerstenhaber. Si Aest une alg`ebre
sym`etrique de Frobenius (dans la cat´egorie d´eriv´ee), cette structure d’alg`ebre
de Gerstenhaber s’´etend en une structure d’algebre de Batalin-Vilkovisky.
Par exemple, si A= ΩDR(M), l’alg`ebre des formes diff´erentielles sur M,
F´elix, Thomas, Vigu´e-Poirrier et Chen ont montr´e que H∗(LM, R) est iso-
morphe `a HH∗(ΩDR(M),ΩDR(M)) comme alg`ebres de Batalin-Vilkovisky.
Si A=S∗(M), l’alg`ebre des cochaˆınes singuli`eres sur M`a coefficients dans
un corps Fpde caract´eristique p, existe-t-il un tel isomorphisme de Batalin-
Vilkovisky H∗(LM, Fp)∼
=HH∗(S∗(M), S∗(M)) ?
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