1. Soit k un corps commutatif. a) Montrer qu`il existe `a isomorphisme

1. Soit kun corps commutatif.
a) Montrer qu’il existe `a isomorphisme pr`es exactement une alg`ebre de Lie
Lr´esoluble non commutative de dimension 2 sur ket que cette alg`ebre a
une base (y, z) telle que [y, z] = z. Que peut-on dire d’une alg`ebre de Lie
nilpotente de dimension 2 ?
b) Dans l’alg`ebre de Lie sl2(k), on consid`ere la sous-alg`ebre Tdes matrices
triangulaires sup´erieures de trace nulle. ` A quelle condition sur ka-t-on
T'L?
c) Soit L1une alg`ebre de Lie r´esoluble de dimension 3 telle que l’alg`ebre
d´eriv´ee [L1, L1] soit ´egale `a L. On fixe un ´el´ement x∈L1qui n’est pas
dans Let une base (y, z) de Lcomme dans la question a). Montrer en
utilisant l’identit´e de Jacobi que [x, y] et [x, z] sont multiples scalaires de z.
En d´eduire une contradiction et conclure que l’alg`ebre d´eriv´ee d’une alg`ebre
r´esoluble de dimension 3 est toujours commutative.
2. Soit Lune alg`ebre de Lie de dimension finie sur un corps Kalg´ebriquement clos
et soit σun automorphisme de L. Pour λ∈Kon note Lλl’ensemble des ´el´ements
de Lannul´es par une puissance de σ−λId.
a) Montrer que pour tous λet µdans Ket tous xet ydans Lon a
(σ−λµ Id)[x, y] = [(σ−λId)(x), σ(y)] + [λx, (σ−µId)(y)].
En d´eduire que [Lλ, Lµ]⊂Lλµ.
b) Montrer que si λ∈Kn’est pas une racine de l’unit´e et si x∈Lλalors ad x
est nilpotent. En d´eduire que si aucune valeur propre de σn’est une racine
de l’unit´e alors Lest nilpotente.
3. Soit Lune alg`ebre de Lie semi-simple complexe de dimension finie. Soit Hune
sous-alg`ebre de Cartan et Wle groupe de Weyl.
a) Montrer que pour tout w∈Wil existe un automorphisme θde Ltel que
θ(h) = w(h) pour tout h∈H.
b) On fixe wet θcomme dans la question pr´ec´edente. Soit λun poids dominant
et S(λ) un L-module simple de poids λ. On fait agir Lsur le mˆeme espace
vectoriel S(λ) par x ? v =θ(x)v. Montrer qu’on d´efinit ainsi un L-module
simple S0. Quels sont les poids de Hdans S0?
c) Montrer que les L-modules S0et S(λ) sont isomorphes (utiliser que l’en-
semble des poids d’un module simple de dimension finie est invariant par
W). En d´eduire que pour tout w∈Wet tout poids µon a dim S(λ)µ=
dim S(λ)w(µ).
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