Leçon 28. Alg`ebre et Géométrie. Déterminants : applications en Alg

Leçon 28. Algèbre et Géométrie.
Déterminants : applications en Algèbre et Géométrie.
Agrégation 2000-2001
10 février 2003
Table des matières
1 Introduction
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2 Généralités.
2.1 Cas des modules. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Cas des corps. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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1
2
3 Autres applications diverses.
3.1 En géométrie euclidienne : distances. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 En algèbre commutative : Résultant de deux polynômes. . . . . . . . . . . . . . .
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3
4 Bibliographie sommaire.
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1
Introduction
Les déterminants constituent un outil de choix pour l’appréhension concrète de problèmes
abstraits en algèbre linéaire ou commutative et en géométrie. Leurs fondations s’ancrent dans
l’algèbre linéaire du début du 20ème siècle et on les rencontre dans quasiment toutes les branches
des mathématiques. De l’algèbre commutative à la physique mathématique.
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Généralités.
La notion première de déterminants s’applique en algèbre linéaire élémentaire soit aux
vecteurs, soit aux applications linéaires. Elle dépend alors essentiellement du choix d’une base.
2.1
Cas des modules.
On se donne n ∈ N, n ≥ 1, A un anneau commutatif et E un A-module libre de rang n.
Soit (e1 , . . . , en ) une base de E et (e∗1 , . . . , e∗n ) la base duale associée. Soit ξ l’application :
ξ
E n −→ A
Y (x1 , . . . , xn ) 7−→
e∗j |xj
1≤j≤n
ξ est une forme n − linéaire et on a la :
Définition. 2.1 Le déterminant de E dans la base e = (e1 , . . . , en ) est l’antisymétrisée de ξ
noté déte et défini par :
X
(σ)σ(ξ).
déte =
σ∈S
1n
2
GÉNÉRALITÉS.
2
Plus explicitement :
déte (x1 , . . . , xn ) =
X
(σ)σ(ξ)(x1 , . . . , xn ) avec σ(ξ)(x1 , . . . , xn ) = ξ(xσ(1) , . . . , xσ(n) ).
σ ∈ Sn
Théorème. 2.1 Soit p ∈ N, p ≥ 1, on note Ap (E) le A − module des formes p − alternées
sur E, on a le résultat suivant :
– Si p > n alors Ap (E) est nul.
– Si p = n le A−module An (E) est libre de rang un et admet pour base le vecteur déte . Toute
forme n − linéaire alternée de E, f , s’écrit de manière unique, f = f (e1 , . . . , en )déte .
On suppose définie la notion de déterminants de matrices à carrées à coefficients dans
A, l’ensemble de ces matrices carrées est noté Mn (A) et on peut alors énoncer :
Propriété. 2.1
– Si M et N sont dans Mn (A) alors dét(M N ) = dét(M )dét(N ).
– M est inversible si et seulement si dét(M ) est une unité de A.
– Si M est inversible et si on note Com(M ) la comatrice de M puis M t sa matrice transposée, on a :
M −1 = (dét(M ))−1 Comt (M ).
On note Mnp (A) l’ensemble des matrices à coefficients dans A constituées de n lignes et p
colonnes. Si M est dans Mnp (A), si Θ ⊆ [1 . . . n] et Ω ⊆ [1 . . . p], ont toutes deux k éléments
avec k ≤ min(n, p), on désigne par M |ΘΩ la matrice extraite de M de lignes dans Θ et colonnes
dans Ω.
Propriété. 2.2 Formule de Binet-Cauchy.(in Adkins-Weintraub). On se donne :
1. M ∈ Mnp (A), Θ ⊆ [1 . . . n] .
2. N ∈ Mpq (A), Ω ⊆ [1 . . . q] avec |Θ| = |Ω| = k ≤ min(n, p, q).
Alors :
dét(M N |ΘΩ ) =
X
dét(M |ΘΓ )dét(N |ΓΩ ).
Γ⊆ [1...p], |Γ|=k.
Application : Invariance 1 par conjugaison du pgcd des mineurs d’une matrice à coefficients
dans un anneau principal, A. Ceci permet de bien définir les invariants d’un sous module libre
L, d’un module libre M de rang fini sur A. Plus précisement, soit r le rang de L et k entier avec
0
1 ≤ k ≤ r. Soit f la matrice de l’inclusion de L dans M par rapport à deux bases B et B , de L
et M respectivement. Soit δk (f) le pgcd des mineurs d’ordre k de f alors :
1. Les δk (f) ne dépendent pas du choix des bases de L et M et on les note maintenant δk .
2. Avec a1 = δ1 et ak =
2.2
δk
δk−1
pour 2 ≤ k ≤ r, a1 |a2 | . . . |ar sont les facteurs invariants de L.
Cas des corps.
Ce qui a été énoncé précédemment est valable pour les espaces vectoriels réels de
dimensions finies. On a alors une application interessante des déterminants puiqu’algébricogéométrique dans le cas des espaces euclidiens de dimensions finies :
1
C’est une question que je me suis posée en maı̂trise et que cette formule a permis de résoudre, j’avais rencontrée
cette dernière dans le traité, désormais classique de Gantmatcher, sur les matrices, appliquée aux matrices à
coefficients dans un corps, et la démonstration proposée m’apparut s’étendre au cas qui nous interesse, ce qui se
confirma à la lecture du livre d’Adkins-Weintraub. Voilà pour la petite histoire.
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AUTRES APPLICATIONS DIVERSES.
3
Application : Déterminants de Gram. (Arnaudiès, Fraysse). Soit E un espace euclidien de
dimension finie n, de produit scalaire h.|.i et x = (x1 , . . . , xp ) un p − uplet de vecteurs de E
alors le déterminant de Gram de x est d’efinie par
G(x) = dét [hxi |xj i]1≤ i, j ≤p .
Et on a la propriété importante suivante : x est libre si et seulement si G(x) est non nul.
3
3.1
Autres applications diverses.
En géométrie euclidienne : distances.
Sous les mêmes hypothèses et avec les mêmes notations que ce qui précède, si V désigne
un sous-espace de E de dimension p ≥ 1, muni d’une base e = (e1 , ..., ep ) et si v est un élément
de E, la distance d, de v à V est donnée par :
d2 =
3.2
G(e, v)
.
G(e)
En algèbre commutative : Résultant de deux polynômes.
On se donne deux polynômes, P et Q, à coefficients dans un corps K, de degrés respectifs
m et n non nuls :
P = am X m + . . . + a2 X 2 + a1 X + a0
Q = b n X n + . . . + b 2 X 2 + b 1 X + b0
Le résultant de P et Q est le polynôme en les coefficients (a0 , . . . an , b0 , . . . , bm ) donné par
le déterminant (m + n) × (m + n) suivant :
a0 . . .
a0
am
...
..
.
Res(P, Q) =
b0
...
bn
..
. m f ois
b0
am
.
n f ois . .
a0
. . . am
..
.
...
bn
La raison principale qui motive l’existence du résultant est qu’il permet de savoir si deux
polynômes ont au moins un facteur commun, quand on l’applique à un polynôme et son polynôme
dérivé, on a un moyen de savoir si celui ci admet des racines multiples ou pas.
Théorème. 3.1 Si P et Q sont deux polynômes de termes constants non nuls, à coefficients
dans un corps K algébriquement clos alors ils admettent un facteur commun si et seulement si
leurs résultants est nul.
P et Q ont un f acteur commun. ⇔ Res(P, Q) = 0
Autres pistes pour des applications des déterminants : wronskiens en théorie des équations
différentielles linéaires, Jacobiens et calcul de volumes et surfaces en géométrie différentielle.
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BIBLIOGRAPHIE SOMMAIRE.
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Bibliographie sommaire.
– Serge LANG. Algebra. Addison Weisley. 1993.
– William ADKINS, Steven Weintraub. Algebra. An introduction via module theory. Springer.
Graduate Texts in Mathematics 135. 1995.
– Jean Marie Arnaudiès et Henry Fraysse. Cours de mathématiques. Dunod. 1992.
– Patrice Tauvel. Mathématiques Générales pour l’Agrégation. Masson. 1996.