Leçon 28. Alg`ebre et Géométrie. Déterminants : applications en Alg

Le¸con 28. Alg`ebre et G´eom´etrie.
D´eterminants : applications en Alg`ebre et G´eom´etrie.
Agr´egation 2000-2001
10 f´evrier 2003
Table des mati`eres
1 Introduction 1
2 G´en´eralit´es. 1
2.1 Cas des modules. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
2.2 Casdescorps....................................... 2
3 Autres applications diverses. 3
3.1 En g´eom´etrie euclidienne : distances. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
3.2 En alg`ebre commutative : R´esultant de deux polynˆomes. . . . . . . . . . . . . . . 3
4 Bibliographie sommaire. 4
1 Introduction
Les d´eterminants constituent un outil de choix pour l’appr´ehension concr`ete de probl`emes
abstraits en alg`ebre lin´eaire ou commutative et en g´eom´etrie. Leurs fondations s’ancrent dans
l’alg`ebre lin´eaire du d´ebut du 20`eme si`ecle et on les rencontre dans quasiment toutes les branches
des math´ematiques. De l’alg`ebre commutative `a la physique math´ematique.
2 G´en´eralit´es.
La notion premi`ere de d´eterminants s’applique en alg`ebre lin´eaire ´el´ementaire soit aux
vecteurs, soit aux applications lin´eaires. Elle d´epend alors essentiellement du choix d’une base.
2.1 Cas des modules.
On se donne n∈N,n≥1, Aun anneau commutatif et Eun A-module libre de rang n.
Soit (e1, . . . , en) une base de Eet (e∗
1, . . . , e∗
n) la base duale associ´ee. Soit ξl’application :
Enξ −→ A
(x1, . . . , xn)7−→ Y
1≤j≤ne∗
j|xj
ξest une forme n−lin´eaire et on a la :
D´efinition. 2.1 Le d´eterminant de Edans la base e= (e1, . . . , en)est l’antisym´etris´ee de ξ
not´e d´eteet d´efini par :
d´ete=X
σ∈Sn
(σ)σ(ξ).
1

2 G ´ EN ´ ERALIT ´ ES. 2
Plus explicitement :
d´ete(x1, . . . , xn) = X
σ∈Sn
(σ)σ(ξ)(x1, . . . , xn)avec σ(ξ)(x1, . . . , xn) = ξ(xσ(1) , . . . , xσ(n)).
Th´eor`eme. 2.1 Soit p∈N, p ≥1, on note Ap(E)le A−module des formes p−altern´ees
sur E, on a le r´esultat suivant :
– Si p > n alors Ap(E)est nul.
– Si p=nle A−module An(E)est libre de rang un et admet pour base le vecteur d´ete. Toute
forme n−lin´eaire altern´ee de E,f, s’´ecrit de mani`ere unique, f=f(e1, . . . , en)d´ete.
On suppose d´efinie la notion de d´eterminants de matrices `a carr´ees `a coefficients dans
A, l’ensemble de ces matrices carr´ees est not´e Mn(A) et on peut alors ´enoncer :
Propri´et´e. 2.1
– Si Met Nsont dans Mn(A)alors d´et(MN) = d´et(M)d´et(N).
–Mest inversible si et seulement si d´et(M)est une unit´e de A.
– Si Mest inversible et si on note Com(M)la comatrice de Mpuis Mtsa matrice trans-
pos´ee, on a :
M−1=(d´et(M))−1Comt(M).
On note Mnp(A) l’ensemble des matrices `a coefficients dans Aconstitu´ees de nlignes et p
colonnes. Si Mest dans Mnp(A), si Θ ⊆[1 . . . n] et Ω ⊆[1 . . . p], ont toutes deux k´el´ements
avec k≤min(n, p), on d´esigne par M|ΘΩ la matrice extraite de Mde lignes dans Θ et colonnes
dans Ω.
Propri´et´e. 2.2 Formule de Binet-Cauchy.(in Adkins-Weintraub). On se donne :
1. M∈ Mnp(A),Θ⊆[1 . . . n].
2. N∈ Mpq(A),Ω⊆[1 . . . q]avec |Θ|=|Ω|=k≤min(n, p, q).
Alors :
d´et(MN|ΘΩ) = X
Γ⊆[1...p],|Γ|=k.
d´et(M|ΘΓ)d´et(N|ΓΩ).
Application : Invariance 1par conjugaison du pgcd des mineurs d’une matrice `a coefficients
dans un anneau principal, A. Ceci permet de bien d´efinir les invariants d’un sous module libre
L, d’un module libre Mde rang fini sur A. Plus pr´ecisement, soit rle rang de Let kentier avec
1≤k≤r. Soit fla matrice de l’inclusion de Ldans Mpar rapport `a deux bases Bet B0, de L
et Mrespectivement. Soit δk(f) le pgcd des mineurs d’ordre kde falors :
1. Les δk(f) ne d´ependent pas du choix des bases de Let Met on les note maintenant δk.
2. Avec a1=δ1et ak=δk
δk−1pour 2 ≤k≤r,a1|a2|. . . |arsont les facteurs invariants de L.
2.2 Cas des corps.
Ce qui a ´et´e ´enonc´e pr´ec´edemment est valable pour les espaces vectoriels r´eels de
dimensions finies. On a alors une application interessante des d´eterminants puiqu’alg´ebrico-
g´eom´etrique dans le cas des espaces euclidiens de dimensions finies :
1C’est une question que je me suis pos´ee en maˆıtrise et que cette formule a permis de r´esoudre, j’avais rencontr´ee
cette derni`ere dans le trait´e, d´esormais classique de Gantmatcher, sur les matrices, appliqu´ee aux matrices `a
coefficients dans un corps, et la d´emonstration propos´ee m’apparut s’´etendre au cas qui nous interesse, ce qui se
confirma `a la lecture du livre d’Adkins-Weintraub. Voil`a pour la petite histoire.

3 AUTRES APPLICATIONS DIVERSES. 3
Application : D´eterminants de Gram. (Arnaudi`es, Fraysse). Soit Eun espace euclidien de
dimension finie n, de produit scalaire h.|.iet x= (x1, . . . , xp) un p−uplet de vecteurs de E
alors le d´eterminant de Gram de xest d’efinie par
G(x) = d´et [hxi|xji]1≤i, j ≤p.
Et on a la propri´et´e importante suivante : xest libre si et seulement si G(x) est non nul.
3 Autres applications diverses.
3.1 En g´eom´etrie euclidienne : distances.
Sous les mˆemes hypoth`eses et avec les mˆemes notations que ce qui pr´ec`ede, si Vd´esigne
un sous-espace de Ede dimension p≥1, muni d’une base e= (e1, ..., ep) et si vest un ´el´ement
de E, la distance d, de v`a Vest donn´ee par :
d2=G(e, v)
G(e).
3.2 En alg`ebre commutative : R´esultant de deux polynˆomes.
On se donne deux polynˆomes, Pet Q, `a coefficients dans un corps K, de degr´es respectifs
met nnon nuls :
P=amXm+. . . +a2X2+a1X+a0
Q=bnXn+. . . +b2X2+b1X+b0
Le r´esultant de Pet Qest le polynˆome en les coefficients (a0, . . . an, b0, . . . , bm) donn´e par
le d´eterminant (m+n)×(m+n) suivant :
Res(P, Q) =
a0. . . am
a0. . . am
...n fois ...
a0. . . am
b0. . . bn
...m fois ...
b0. . . bn
La raison principale qui motive l’existence du r´esultant est qu’il permet de savoir si deux
polynˆomes ont au moins un facteur commun, quand on l’applique `a un polynˆome et son polynˆome
d´eriv´e, on a un moyen de savoir si celui ci admet des racines multiples ou pas.
Th´eor`eme. 3.1 Si Pet Qsont deux polynˆomes de termes constants non nuls, `a coefficients
dans un corps Kalg´ebriquement clos alors ils admettent un facteur commun si et seulement si
leurs r´esultants est nul.
P et Q ont un f acteur commun. ⇔Res(P, Q) = 0
Autres pistes pour des applications des d´eterminants : wronskiens en th´eorie des ´equations
diff´erentielles lin´eaires, Jacobiens et calcul de volumes et surfaces en g´eom´etrie diff´erentielle.

4 BIBLIOGRAPHIE SOMMAIRE. 4
4 Bibliographie sommaire.
– Serge LANG. Algebra. Addison Weisley. 1993.
– William ADKINS, Steven Weintraub. Algebra. An introduction via module theory. Springer.
Graduate Texts in Mathematics 135. 1995.
– Jean Marie Arnaudi`es et Henry Fraysse. Cours de math´ematiques. Dunod. 1992.
– Patrice Tauvel. Math´ematiques G´en´erales pour l’Agr´egation. Masson. 1996.