L’ALG `
EBRE DE LIE DIFF ´
ERENTIELLE GRADU ´
EE D(A, η)ET SON HOMOLOGIE 3
Remarque 1.7.Par construction, on dispose d’une suite exacte courte de complexes
de chaˆ
ınes :
0→uCC −
•(A)→CC −
•(A)→C•(A)→0.
(En fait, de DG-Lie modules sur C•(A).)
2. L’OP ´
ERATEUR DE RINEHART
Tamarkin et Tsygan [TT05] introduisent l’op´
erateur (qu’ils attribuent `
a Rine-
hart) :
S:Ck(A)⊗Cn(A)→Cn−k+1(A)
d´
efini explicitement comme suit
Sx(a0⊗. . . ⊗an) :=
X
m,j
(−1)•⊗am+1 ⊗. . . ⊗an⊗a0⊗. . . ⊗aj⊗x(aj+1, . . . , aj+|x|+1)⊗aj+|x|+2 ⊗. . . ⊗am
o`
uSx:= S(x⊗ −)et la somme est prise sur les permutations cycliques pour
lesquelles a0apparaˆ
ıt `
a la gauche de x- explicitement j≥0et j+|x|+ 1 ≤m; le
signe est de Koszul.
L’op´
erateur Sxest de degr´
ecohomologique |x| − 1. (Le fait d’augmenter la lon-
gueur des tenseurs diminue le degr´
e cohomologique par 1.)
Notation 2.1.Pour x∈C•(A), soit
Ix:= ix+uSx∈End(CC −
•(A)),
qui est un op´
erateur lin´
eaire de degr´
ecohomologique |x|+ 1.
Proposition 2.2 (´
Equation (4.8)).Pour x∈C•(A),
[b+uB, Ix] + Idx =uLx.
D´emonstration. (Indications.) Il suffit de montrer que
[B, ix]+[b, Sx] = Lx−Sdx ∈End(C•(A)).
Ceci est un exercice amusant : en particulier, les signes ´
etant de Koszul, on peut
donner une d´
emonstration ‘diagrammatique’.
Remarque 2.3.Dans cet expos´
e, on n’a pas besoin du [Vd12, Lemma 4.2], qui inter-
viendra plus tard, dans la d´
emonstration du [Vd12, Theorem 10.2].
3. L’ALG `
EBRE DE LIE D(A, η)
Rappelons que, pour Mun DG-Lie module sur l’alg`
ebre de Lie diff´
erentielle
gradu´
ee g, on dispose de l’extension semi-directe (en consid´
erant Mcomme alg`
ebre
de Lie ab´
elienne) gnM, dont le complexe sous-jacent est g⊕Met le crochet
[(g1, m1),(g2, m2)] = ([g1, g2], g1m2−(−1)|g2||m1|g2m1)
(signe de Koszul). Munie de cette structure, gnMest une alg`
ebre de Lie diff´
erentielle
gradu´
ee.
Exemple 3.1. On peut appliquer cette construction `
ag:= C•(A)et M:= CC −
•(A),
ce qui nous fournit le produit semi-direct :
C•(A)nCC −
•(A).
Remarque 3.2.Si Mest un DG-Lie module sur g, alors ∀n∈Z,ΣnMest un DG-Lie
module sur g, donc on peut former
gnΣnM.