NON NON NON - l`ISFEC d`Auvergne

Ensemble de nombres et approximations
I)
Ensembles de nombres
Ensemble R des nombres réels
Ensemble des nombres rationnels :Q
Rationnels
Ensemble des Nombres
décimaux :D
Rationnels non
irrationnels :
décimaux :
Entiers
Décimaux
relatifs : non entiers
Naturels
0,1,2,…
Exemples
Positifs
,
1,3
2/5
,
0,259999…
Exemples
négatifs
Ecriture
sous
forme de
fraction
Ecriture
décimale
finie
Ecriture
décimale
infinie
périodique
Ecriture
décimale
infinie
non
périodique
Partie
décimale
0,-1,-2,3
,
,
-1,3
-2/5
-
OUI
OUI
OUI
NON
OUI
OUI
NON
NON
OUI
OUI
OUI
OUI
NON
NON
NON
non nulle
nulle
Non nulle
Non nulle
NON
R et Q sont stables par la multiplication, la soustraction et l’addition.
ils sont stables par la division par un nombre différent de 0.
Z et D sont stables par la multiplication, la soustraction, l’addition. mais pas par la division.
II)
partie entière et partie décimale d’un nombre réel
Définition
Soit x un nombre.
On appelle partie entière de x le nombre entier n tel que n≤x<n+1
La partie entière de x est généralement notée E(x).
Propriété
Un nombre x est entier si et seulement si il est égal à sa partie entière.
Remarque : Soit x un nombre. La partie entière de x est le plus grand entier inférieur où égal à x.
Définition
Soit x un nombre décimal positif. On note E(x) sa partie entière.
On appelle partie décimale de x le nombre décimal d défini par
Propriété 1
Un nombre décimal positif est entier si et seulement si sa partie décimale est nulle.
Propriété 2
Un nombre décimal positif est égal à la somme de sa partie entière et de sa partie décimale.
III)
Encadrement – intervalle :
Définitions
Soit x un nombre réel.
Donner un encadrement de x, c'est donner deux nombres réels a et b tels que
Le réel positif
est l'amplitude de cet encadrement.
Définition :
L’intervalle [a ;b] est l’ensemble des nombres réels encadrés par a et b, a et b compris.
L’intervalle ]a ;b] est l’ensemble des nombres réels encadrés par a et b, a exclus et b compris.
L’intervalle [a ;b[ est l’ensemble des nombres réels encadrés par a et b, a compris et b exclus.
L’intervalle ]a ;b[ est l’ensemble des nombres réels encadrés par a et b, a exclus et b exclus.
IV)
Valeur approchée de x à p près
Définition
Soit x et a deux nombres réels, et p un nombre réel strictement positif.
Le nombre a est une valeur approchée de x à p près, ou à la précision p, si et seulement si :
|
c'est-à-dire si et seulement si :
.
Cela signifie que la distance entre x et a, c'est-à-dire l'erreur commise en remplaçant x par a, est inférieure à p.
Remarque
p est souvent de la forme
où n est un entier naturel.
Définitions
Soit x et a deux nombres réels, et p un nombre réel strictement positif.
Le nombre a est une valeur approchée par défaut de x à p près, ou à la précision p, si et seulement si a
est une valeur approchée de x à p près inférieure à x, c'est-à-dire si et seulement si :
Définitions
Soit x et a deux nombres réels, et p un nombre réel strictement positif.
Le nombre a est une valeur approchée par excès de x à p près, ou à la précision p, si et seulement si a est une
valeur approchée de x à p près supérieure à x, c'est-à-dire si et seulement si :
V)
Arrondi de x
Définitions
Soit x un nombre.
Si x est positif :

l'arrondi (ou valeur arrondie) de x à l'unité est le nombre entier a tel que :

l'arrondi (ou valeur arrondie) de x au dixième est le nombre décimal a tel que 10a
est entier et
;
l'arrondi (ou valeur arrondie) de x au centième est le nombre décimal a tel que 100aest entier et
;;
l'arrondi (ou valeur arrondie) de x au millième est le nombre décimal a tel que 1000aest entier et


;
Si x est négatif :

l'arrondi (ou valeur arrondie) de x à l'unité est le nombre entier a tel que :


l'arrondi (ou valeur arrondie) de x au dixième est le nombre décimal a tel que 10a
est entier et
;
l'arrondi (ou valeur arrondie) de x au centième est le nombre décimal a tel que 100aest entier et

l'arrondi (ou valeur arrondie) de x au millième est le nombre décimal a tel que 1000aest entier et
;;
Remarques




L'arrondi de x à l'unité est une valeur approchée de x à 1 près ;
si x est positif, cette valeur approchée est par défaut lorsque la première décimale de x est 0, 1, 2, 3 ou 4, par
excès lorsque cette décimale est 5, 6, 7, 8 ou 9 ;
si x est négatif, cette valeur approchée est par excès lorsque la première décimale de x est 0, 1, 2, 3 ou 4, par
défaut lorsque cette décimale est 5, 6, 7, 8 ou 9.
L'arrondi de x au dixième est une valeur approchée de x à 0,1 près ;
si x est positif, cette valeur approchée est par défaut lorsque la deuxième décimale de x est 0, 1, 2, 3 ou 4,
par excès lorsque cette décimale est 5, 6, 7, 8 ou 9 ;
si x est négatif, cette valeur approchée est par excès lorsque la deuxième décimale de x est 0, 1, 2, 3 ou 4,
par défaut lorsque cette décimale est 5, 6, 7, 8 ou 9.
L'arrondi de x au centième est une valeur approchée de x à 0,01 près ;
si x est positif, cette valeur approchée est par défaut lorsque la troisième décimale de x est 0, 1, 2, 3 ou 4,
par excès lorsque cette décimale est 5, 6, 7, 8 ou 9 ;
si x est négatif, cette valeur approchée est par excès lorsque la troisième décimale de x est 0, 1, 2, 3 ou 4, par
défaut lorsque cette décimale est 5, 6, 7, 8 ou 9.
L'arrondi de x au millième est une valeur approchée de x à 0,001 près ;
si x est positif, cette valeur approchée est par défaut lorsque la quatrième décimale de x est 0, 1, 2, 3 ou 4,
par excès lorsque cette décimale est 5, 6, 7, 8 ou 9 ;
si x est négatif, cette valeur approchée est par excès lorsque la quatrième décimale de x est 0, 1, 2, 3 ou 4,
par défaut lorsque cette décimale est 5, 6, 7, 8 ou 9.
Définition
Soit x un nombre réel et n un entier naturel.
 Si x est positif, on appelle arrondi (ou valeur arrondie) de x à
est un entier et :





Si x est négatif, on appelle arrondi (ou valeur arrondie) de x à
est un entier et :
le nombre décimal a tel que
le nombre décimal a tel que
Remarque
L'arrondi a de x à
est une valeur approchée de x à
près ;
si x est positif, cette valeur approchée est par défaut lorsque la (n+1) ième décimale de x est 0, 1, 2, 3 ou 4,
par excès lorsque cette décimale est 5, 6, 7, 8 ou 9 ;
si x est négatif, cette valeur approchée est par excès lorsque la (n+1) ième décimale de x est 0, 1, 2, 3 ou 4,
par défaut lorsque cette décimale est 5, 6, 7, 8 ou 9.
Lorsque n=0, a est l'arrondi de x à l'unité ;
lorsque n=1, a est l'arrondi de x au dixième ;
lorsque n=2, a est l'arrondi de x au centième ;
lorsque n=3, a est l'arrondi de x au millième…
VI)
Troncature
Définitions
Soit x un nombre positif.

La troncature de x à l'unité est le nombre entier t tel que :
t≤x<t+1 La troncature de x au dixième (ou à une décimale) est le nombre décimal t tel que 10t est
entier et :
t≤x<t+0,1.

La troncature de x au centième (ou à deux décimales) est le nombre décimal t tel que 100t est entier
et :
t≤x<t+0,01.

La troncature de x au millième (ou à trois décimales) est le nombre décimal t tel que 1000test entier
et :
t≤x<t+0,001
Remarques




La troncature de x à l'unité est une valeur approchée de x à 1 près par défaut.
La troncature de x au dixième est une valeur approchée de x à 0,1 près par défaut.
La troncature de x au centième est une valeur approchée de x à 0,01 près par défaut.
La troncature de x au millième est une valeur approchée de x à 0,001 près par défaut.
Définitions
Soit x un nombre négatif.

La troncature de x à machin est le nombre entier -t tel que : t soit la troncature de –x à machin
Vrai ou faux
1.
2. 1,414 est la troncature au millième de
3. -1,414 est la troncature au millième de4. l’arrondi au centième de
est 1,41 VRAI
5. l’arrondi au centième de
6. 1/3
est -1,41
7. une valeur approchée de
8. la valeur approchée de
9. une valeur approchée de
à 0,01 près est 1,4148
à 0,01 près est 1,4148
à 0,01 près est
10. la valeur arrondie à 0,01 près de 1,414 est