NON NON NON - l`ISFEC d`Auvergne

Ensemble de nombres et approximations
I) Ensembles de nombres
Ensemble R des nombres réels
Ensemble des Nombres
irrationnels :
Ensemble des nombres rationnels :Q
Rationnels
décimaux :D
Rationnels non
décimaux :
Entiers
relatifs :
Décimaux
non entiers
Exemples
Positifs
,, 
Naturels
0,1,2,…
1,3
2/5
0,259999…
Exemples
négatifs
,, 
0,-1,-2,-
3
-1,3
-2/5
-
Ecriture
sous
forme de
fraction
NON
OUI
OUI
OUI
Ecriture
décimale
finie
NON
OUI
OUI
NON
Ecriture
décimale
infinie
périodique
NON
OUI
OUI
OUI
Ecriture
décimale
infinie
non
périodique
OUI
NON
NON
NON
Partie
décimale
non nulle
nulle
Non nulle
Non nulle
R et Q sont stables par la multiplication, la soustraction et l’addition.
ils sont stables par la division par un nombre différent de 0.
Z et D sont stables par la multiplication, la soustraction, l’addition. mais pas par la division.

II) partie entière et partie décimale d’un nombre réel
Définition
Soit x un nombre.
On appelle partie entière de x le nombre entier n tel que n≤x<n+1
La partie entière de x est généralement notée E(x).
Propriété
Un nombre x est entier si et seulement si il est égal à sa partie entière.
Remarque : Soit x un nombre. La partie entière de x est le plus grand entier inférieur où égal à x.
Définition
Soit x un nombre décimal positif. On note E(x) sa partie entière.
On appelle partie décimale de x le nombre décimal d défini par     
Propriété 1
Un nombre décimal positif est entier si et seulement si sa partie décimale est nulle.
Propriété 2
Un nombre décimal positif est égal à la somme de sa partie entière et de sa partie décimale.
III) Encadrement – intervalle :
Définitions
Soit x un nombre réel.
Donner un encadrement de x, c'est donner deux nombres réels a et b tels que     
Le réel positif    est l'amplitude de cet encadrement.
Définition :
L’intervalle [a ;b] est l’ensemble des nombres réels encadrés par a et b, a et b compris.
L’intervalle ]a ;b] est l’ensemble des nombres réels encadrés par a et b, a exclus et b compris.
L’intervalle [a ;b[ est l’ensemble des nombres réels encadrés par a et b, a compris et b exclus.
L’intervalle ]a ;b[ est l’ensemble des nombres réels encadrés par a et b, a exclus et b exclus.
IV) Valeur approchée de x à p près
Définition
Soit x et a deux nombres réels, et p un nombre réel strictement positif.
Le nombre a est une valeur approchée de x à p près, ou à la précision p, si et seulement si :
|    
c'est-à-dire si et seulement si :          .
Cela signifie que la distance entre x et a, c'est-à-dire l'erreur commise en remplaçant x par a, est inférieure à p.
Remarque
p est souvent de la forme où n est un entier naturel.
Définitions
Soit x et a deux nombres réels, et p un nombre réel strictement positif.
Le nombre a est une valeur approchée par défaut de x à p près, ou à la précision p, si et seulement si a
est une valeur approchée de x à p près inférieure à x, c'est-à-dire si et seulement si :

Définitions
Soit x et a deux nombres réels, et p un nombre réel strictement positif.
Le nombre a est une valeur approchée par excès de x à p près, ou à la précision p, si et seulement si a est une
valeur approchée de x à p près supérieure à x, c'est-à-dire si et seulement si :
V) Arrondi de x
Définitions
Soit x un nombre.
Si x est positif :
 l'arrondi (ou valeur arrondie) de x à l'unité est le nombre entier a tel que :         ;
 l'arrondi (ou valeur arrondie) de x au dixième est le nombre décimal a tel que 10a est entier et
        ;
 l'arrondi (ou valeur arrondie) de x au centième est le nombre décimal a tel que 100aest entier et
        ;;
 l'arrondi (ou valeur arrondie) de x au millième est le nombre décimal a tel que 1000aest entier et
Si x est négatif :
 l'arrondi (ou valeur arrondie) de x à l'unité est le nombre entier a tel que :         ;;
 l'arrondi (ou valeur arrondie) de x au dixième est le nombre décimal a tel que 10a est entier et
        ;
 l'arrondi (ou valeur arrondie) de x au centième est le nombre décimal a tel que 100aest entier et
 l'arrondi (ou valeur arrondie) de x au millième est le nombre décimal a tel que 1000aest entier et
Remarques
 L'arrondi de x à l'unité est une valeur approchée de x à 1 près ;
si x est positif, cette valeur approchée est par défaut lorsque la première décimale de x est 0, 1, 2, 3 ou 4, par
excès lorsque cette décimale est 5, 6, 7, 8 ou 9 ;
si x est négatif, cette valeur approchée est par excès lorsque la première décimale de x est 0, 1, 2, 3 ou 4, par
défaut lorsque cette décimale est 5, 6, 7, 8 ou 9.
 L'arrondi de x au dixième est une valeur approchée de x à 0,1 près ;
si x est positif, cette valeur approchée est par défaut lorsque la deuxième décimale de x est 0, 1, 2, 3 ou 4,
par excès lorsque cette décimale est 5, 6, 7, 8 ou 9 ;
si x est négatif, cette valeur approchée est par excès lorsque la deuxième décimale de x est 0, 1, 2, 3 ou 4,
par défaut lorsque cette décimale est 5, 6, 7, 8 ou 9.
 L'arrondi de x au centième est une valeur approchée de x à 0,01 près ;
si x est positif, cette valeur approchée est par défaut lorsque la troisième décimale de x est 0, 1, 2, 3 ou 4,
par excès lorsque cette décimale est 5, 6, 7, 8 ou 9 ;
si x est négatif, cette valeur approchée est par excès lorsque la troisième décimale de x est 0, 1, 2, 3 ou 4, par
défaut lorsque cette décimale est 5, 6, 7, 8 ou 9.
 L'arrondi de x au millième est une valeur approchée de x à 0,001 près ;
si x est positif, cette valeur approchée est par défaut lorsque la quatrième décimale de x est 0, 1, 2, 3 ou 4,
par excès lorsque cette décimale est 5, 6, 7, 8 ou 9 ;
si x est négatif, cette valeur approchée est par excès lorsque la quatrième décimale de x est 0, 1, 2, 3 ou 4,
par défaut lorsque cette décimale est 5, 6, 7, 8 ou 9.

Définition
Soit x un nombre réel et n un entier naturel.
 Si x est positif, on appelle arrondi (ou valeur arrondie) de x à  le nombre décimal a tel que  
est un entier et :             
 Si x est négatif, on appelle arrondi (ou valeur arrondie) de x à  le nombre décimal a tel que
  est un entier et :             
Remarque
 L'arrondi a de x à est une valeur approchée de x à près ;
si x est positif, cette valeur approchée est par défaut lorsque la (n+1) ième décimale de x est 0, 1, 2, 3 ou 4,
par excès lorsque cette décimale est 5, 6, 7, 8 ou 9 ;
si x est négatif, cette valeur approchée est par excès lorsque la (n+1) ième décimale de x est 0, 1, 2, 3 ou 4,
par défaut lorsque cette décimale est 5, 6, 7, 8 ou 9.
 Lorsque n=0, a est l'arrondi de x à l'unité ;
lorsque n=1, a est l'arrondi de x au dixième ;
 lorsque n=2, a est l'arrondi de x au centième ;
lorsque n=3, a est l'arrondi de x au millième…
VI) Troncature
Définitions
Soit x un nombre positif.
 La troncature de x à l'unité est le nombre entier t tel que :
t≤x<t+1 La troncature de x au dixième (ou à une décimale) est le nombre décimal t tel que 10t est
entier et :
t≤x<t+0,1.
 La troncature de x au centième (ou à deux décimales) est le nombre décimal t tel que 100t est entier
et :
t≤x<t+0,01.
 La troncature de x au millième (ou à trois décimales) est le nombre décimal t tel que 1000test entier
et :
t≤x<t+0,001
Remarques
 La troncature de x à l'unité est une valeur approchée de x à 1 près par défaut.
 La troncature de x au dixième est une valeur approchée de x à 0,1 près par défaut.
 La troncature de x au centième est une valeur approchée de x à 0,01 près par défaut.
 La troncature de x au millième est une valeur approchée de x à 0,001 près par défaut.
Définitions
Soit x un nombre négatif.
 La troncature de x à machin est le nombre entier -t tel que : t soit la troncature de –x à machin

Vrai ou faux
1.   
2. 1,414 est la troncature au millième de 
3. -1,414 est la troncature au millième de- 
4. l’arrondi au centième de est 1,41 VRAI
5. l’arrondi au centième de est -1,41
6. 1/3 
7. une valeur approchée de à 0,01 près est 1,4148
8. la valeur approchée de à 0,01 près est 1,4148
9. une valeur approchée de à 0,01 près est 
10. la valeur arrondie à 0,01 près de 1,414 est 