Ordre et inéquation (5)

Ordre et inéquation (17)
I.
Notations
Symbole
Signification
ab
a est strictement
inférieur à b
ab
a est strictement
supérieur à b
ab
a est inférieur
ou égal à b
ab
a est supérieur
ou égal à b
1
II.
Encadrements, troncatures et arrondis
 = 3,141 59… (le nombre pi, voir la calculatrice)
Le nombre « pi » n’est pas un nombre décimal car on ne peut
pas l’écrire en entier avec une virgule.
Par contre, on peut l’encadrer entre 2 nombres décimaux.
pi
0
Valeur approchée à 1
près par défaut de .
(la valeur la plus
proche de )
1
2
3
4
1
3<<4
Encadrement à 1 près ou à
l’unité
amplitude
Valeur approchée à
1 près par excès
de 
Les troncatures sont les valeurs approchées par défaut.
Troncature à l’unité de  = 3
2
L’arrondi d’un nombre à un certain rang est la valeur approchée la
plus proche à ce rang.
Arrondi à l’unité de  = 3 (entier le plus proche)
De même : encadrement à 0,001 près ou au millième de 
3,141 <  < 3,142
Valeur approchée à
0,001 près par défaut
de .
Valeur approchée à
0,001 près par excès
de .
Troncature au 1/1000e de  = 3,141
Arrondi au 1/1000e de  = 3,142
Il faut alors regarder la 4e décimale de .
 = 3,1415…
Si ce chiffre est 5,6,7,8 ou 9, on arrondit à la valeur
supérieure, sinon à la valeur inférieure.
3
III.
Comparaison de deux nombres
Pour comparer 2 nombres relatifs, il suffit de connaître le signe de
leur différence et réciproquement.
Si a – b > 0 alors a > b
Si a – b < 0 alors a < b
Si a – b = 0 alors a = b
Exemple 1
Comparons les 2 nombres  8 et  6
 8 – ( 6) =  8 + 6
=2
 8 – ( 6) < 0 donc  8 <  6
Exemple 2
8
6
Comparer les fractions :  et 
9
7
8
6
8   6

 
 est négatif donc :  < 
9
 9  7
7
4
IV.
Propriétés des inégalités
1. Ordre et addition (ou soustraction)
On peut ajouter un nombre positif ou négatif aux 2 membres
d’une inégalité sans en changer le sens.
Soient a, b et k des nombres relatifs.
Si a > b alors a + k > b + k et a – k > b – k
Si a < b alors a + k < b + k et a – k < b – k
Exemple :
x–8<5
x–8+8<5+8
x<5+8
x < 13
solutions
0
13
x
5
2. Ordre et multiplication (ou division)
On peut multiplier ou diviser par un nombre positif les 2
membres d’une inégalité sans en changer le sens.
Si a > b alors a  k > b  k et a ÷ k > b ÷ k
Si a < b alors a  k < b  k et a ÷ k < b ÷ k
(avec k positif)
Exemple :
2x + 3 > 7
2x + 3 – 3 > 7 – 3
2x > 4
2x > 4
2 2
x>2
REMARQUE
5>2
En multipliant les 2 membres de l’inéquation par -1 par exemple,
on obtient :
-5 < -2
6
Le sens de l’inéquation change en multipliant ou en divisant par
un nombre négatif…
Si a > b alors a  k < b  k si k est négatif
-2x > 6
-2x 6
<
-2 -2
x < -3
solutions
-3
0
x
Si on a -2x  6, alors x  -3
solutions
-3
0
x
7