2. Nombres et calculs - Notion

Vivi – CRPE 2014 1
Nombres et calculs - notion : Les ensembles de nombres
1. Définitions :
Il existe différents ensembles de nombres :
2. Les nombres entiers
Définitions
On obtient les nombres entiers en ajoutant ou en retranchant des unités à zéros. On distingue :
- les entiers supérieurs à zéro, appelés entiers positifs ou « naturels »,
- les entiers inférieurs à zéro, appelés entiers négatifs.
L’ensemble ℤ des entiers positifs et négatifs est appelé ensemble des entiers relatifs.
3. Les nombres décimaux
Définitions
• Une fraction est un quotient de 2 nombres entiers, le diviseur du quotient (appelé
dénominateur de la fraction) étant non nul.
• Une fraction décimale est une fraction dont le dénominateur est une puissance de 10 (c’est-à-
dire 1 ; 10 ; 100 ; 1000 …).
• Un nombre est décimal s’il peut s’écrire sous la forme d’une fraction décimale.
Exemples :
L’écriture décimale d’un nombre décimal comporte une partie entière et une partie décimale
limitée.
4. Les nombres rationnels
a) définition d’un nombre rationnel
Lorsqu’un rationnel non décimal est donné par une écriture décimale, la partie décimale est
illimitée (infinie) et périodique à partir d’un certain rang (elle comporte un ensemble ordonné de
décimales qui se répètent à l’infini).
Exemple :
On souligne la partie périodique qui se répètent indéfiniment et on
met des points de suspension, souvent on répète une fois la période.
ℕ
Ensemble des entiers naturels
ℤ
Ensemble des entiers relatifs
Ensemble des décimaux
ℚ
Ensemble des rationnels
ℝ
Ensemble des réels

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b) Quelques propriétés et techniques utiles
1. Technique pour présenter un rationnel par une fraction irréductible.
On décompose le numérateur et le dénominateur en produit de facteurs premiers, de façon à
simplifier en une seule fois.
Exemple :
2. Techniques pour déterminer une écriture fractionnaire d’un rationnel à partir d’une
écriture décimal illimité périodique.
Exemple : Cherchons l’écriture fractionnaire du nombre rationnel a = 0,29…
Ici, la période est de longueur 2, on multiplie par 10².
100a = 29,29… D’où : 100a – a = 29, par conséquent 99a = 29.
On a alors :
4. Les nombres irrationnels
Un nombre est irrationnel s’il ne peut pas s’écrire sous la forme de fraction.
Exemples : √2 ; √3 ; π …
5. Valeur approchées, arrondi, troncature
a) Valeur approchée
On dit que a est une valeur approchée de x .
- Si a ⩽ x, on parle de valeur approchée par défaut,
- Si a ⩾ x, on parle de valeur approchée par excès.
Exemple :
3,1415 est une valeur approchée par défaut de π à 10
-4
près, et 3,1416 est une valeur
approchée par excès de π à 10
-4
près.
b) Arrondi
On dit que d est l’arrondi de x au centième le plus proche (ou à 2 chiffres) si d est le nombre à 2
chiffres après la virgule le plus proche de x .
Exemple :
3,1416 est l’arrondi de π au rang 4.
c) Troncature
La troncature au rang n est la valeur approchée décimale à 10
-n
près par défaut.
Exemple :
3,1415 est la troncature de π au rang 4.