Déterminer tous les nombres complexes z x iy = + ( x et y réels) tels

Déterminer tous les nombres complexes z = x + iy (x et y réels) tels
que Z = −i z soit un imaginaire pur.
z +i
Analyse
On peut transformer l’écriture de Z de façon à obtenir sa forme algébrique. On peut également
obtenir directement la partie réelle de Z à l’aide de la conjugaison.
Résolution
En guise de préambule, notons que le complexe Z est défini si, et seulement si, z + i ≠ 0 , c'està-dire z ≠ −i .
1ère approche : forme algébrique de Z
Avec z = x + iy , il vient :
Z=
( y + ix ) ⎣⎡ x − i (1 + y )⎦⎤
y + ix
−i z −i ( x − iy )
− y − ix
=
=
=−
=−
z +i
x + iy + i
x + i (1 + y )
x + i (1 + y )
⎡⎣ x + i (1 + y ) ⎤⎦ ⎡⎣ x − i (1 + y ) ⎤⎦
=−
xy + x (1 + y ) + i ⎡⎣ x 2 − y (1 + y ) ⎤⎦
x 2 + (1 + y )
2
=−
x ( 2 y + 1)
x 2 + (1 + y )
2
+i
x 2 − y (1 + y )
x 2 + (1 + y )
2
On a alors :
1
⎧
⎧⎪Re ( Z ) = 0
⎧⎪ x ( 2 y + 1) = 0
⎧ x = 0 ou 2 y + 1 = 0
⎪ x = 0 ou y = −
Z imaginaire pur ⇔ ⎨
⇔⎨
⇔⎨
⇔⎨
2
⎩ z ≠ −i
⎩⎪ z ≠ −i
⎩⎪ z ≠ −i
⎪⎩ z ≠ −i
Ainsi, Z sera un imaginaire pur si, et seulement si :
• Z est un imaginaire pur (cas x = 0 ) différent de −i .
1
• Ou la partie imaginaire de z vaut − .
2
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Janvier 2014
2ème approche : résolution directe
On a :
⎧1
⎧Z + Z = 0
⎪⎧Re ( Z ) = 0
⎪ (Z + Z ) = 0
⇔ ⎨2
⇔⎨
Z imaginaire pur ⇔ ⎨
⎪⎩ z ≠ −i
⎩ z ≠ −i
⎪⎩ z ≠ −i
⎧ −i z ⎛ −i z ⎞
⎧ −i z −i z
iz
⎧ −i z
+
=0
+
=0
+
=0
⎪
⎪
⎪
⇔ ⎨ z + i ⎝⎜ z + i ⎠⎟
⇔ ⎨z +i z +i
⇔ ⎨z +i z −i
⎪ z ≠ −i
⎪ z ≠ −i
⎪⎩ z ≠ −i
⎩
⎩
⎧−z ( z − i) + z ( z + i)
z
⎧ −z
=0
⎧⎪− z ( z − i ) + z ( z + i ) = 0
+
=0
⎪
⎪
⇔ ⎨z +i z −i
⇔ ⎨ ( z + i )( z − i )
⇔⎨
⎪⎩ z ≠ −i
⎪⎩ z ≠ −i
⎪ z ≠ −i
⎩
⎧⎪− ( x − iy )2 + ( x + iy )2 + i ( x − iy ) + i ( x + iy ) = 0
⎧− z 2 + i z + z 2 + iz = 0
⇔⎨
⇔⎨
⎩ z ≠ −i
⎩⎪ z ≠ −i
⎧⎪2 x ( 2 y + 1) = 0
⎧⎪ x ( 2 y + 1) = 0
⎧4ixy + 2ix = 0
⇔⎨
⇔⎨
⇔⎨
⎪⎩ z ≠ −i
⎪⎩ z ≠ −i
⎩ z ≠ −i
On retrouve les mêmes conditions que précédemment.
Résultat final
−i z
, avec z = x + iy (x et y réels) est un imaginaire pur
z +i
si, et seulement si, on a : Re ( z ) = x = 0 et Im ( z ) = y ≠ −1
Le complexe Z =
1
ou Im ( z ) = y = − .
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