Déterminer tous les nombres complexes z x iy = + ( x et y réels) tels

PanaMaths [1 - 2] Janvier 2014
Déterminer tous les nombres complexes zxiy
=
+ (x et y réels) tels
que iz
Zzi
−
=+ soit un imaginaire pur.
Analyse
On peut transformer l’écriture de Z de façon à obtenir sa forme algébrique. On peut également
obtenir directement la partie réelle de Z à l’aide de la conjugaison.
Résolution
En guise de préambule, notons que le complexe Z est défini si, et seulement si, 0zi+≠ , c'est-
à-dire zi≠− .
1ère approche : forme algébrique de Z
Avec zxiy=+ , il vient :
(
)
() ()
(
)
(
)
() ()
() ()
()
()
()
()
()
22
222
222
1
11 11
11
21 1
111
yixxi y
ix iy
iz y ix y ix
Zzi xiyi xi y xi y
x
iyxiy
xy x y i x y y xy x y y
i
xy xyxy
+−+
⎡
⎤
−−
−−−+
⎣
⎦
== = =− =−
+++++ ++ ++ −+
⎡
⎤⎡ ⎤
⎣
⎦⎣ ⎦
⎡⎤
+++ −+ +−+
⎣⎦
=− =− +
++ ++ ++
On a alors :
() ( )
1
Re 0 2 1 0 0ou2 1 0 0ou
imaginaire pur 2
Zxy xy xy
Zzi
zi zi zi
⎧
=+=
⎧⎧ =+===−
⎧
⎪⎪ ⎪
⇔⇔ ⇔ ⇔
⎨⎨ ⎨ ⎨
≠−
≠− ≠−
⎪⎪ ⎩
⎩⎩ ⎪≠−
⎩
Ainsi, Z sera un imaginaire pur si, et seulement si :
• Z est un imaginaire pur (cas 0x
=
) différent de i
−
.
• Ou la partie imaginaire de z vaut 1
2
−
.

PanaMaths [2 - 2] Janvier 2014
2ème approche : résolution directe
On a :
()
()
()()
()
() ()()
1
Re 0 00
imaginaire pur 2
0
00
0
0
ZZZ ZZ
Zzi
zi zi
iz iz
iz iz iz iz zi zi
zi zi zi zi zi
zi
zi
zz i zz i
zz zz i zz i
zizi
zi zi
zi zi
⎧
=
⎧⎧
+= +=
⎪⎪
⇔⇔ ⇔
⎨⎨ ⎨
≠−
≠−
⎪⎩
⎩⎪≠−
⎩
⎧⎧−
−− −− ⎧
⎛⎞ +=
+= +=
⎪⎪⎪
⎜⎟
⇔⇔⇔
+−
++ +
⎨⎨⎨
+
⎝⎠
⎪⎪⎪
≠−
≠−
≠− ⎩
⎩
⎩
⎧− − + +
−
⎧=−−++
+=
⎪⎪
⇔⇔+−⇔
+−
⎨⎨
⎪⎪
≠−
⎩≠−
⎩
()()()()
() ()
22
22
0
00
22 1 0 2 1 0
420
zi
zizziz x iy x iy i x iy i x iy
zi zi
xy xy
ixy ix
zi zi zi
=
⎧
⎪
⎨≠−
⎪
⎩
⎧
⎧−+++=
−
−+++−++=
⎪
⇔⇔
⎨⎨
≠− ≠−
⎪
⎩⎩
+= +=
⎧⎧
+=
⎧⎪⎪
⇔⇔ ⇔
⎨⎨ ⎨
≠− ≠− ≠−
⎪⎪
⎩⎩⎩
On retrouve les mêmes conditions que précédemment.
Résultat final
Le complexe iz
Zzi
−
=+, avec zxiy
=
+ (x et y réels) est un imaginaire pur
si, et seulement si, on a :
(
)
Re 0zx
=
= et
(
)
Im 1zy
=
≠−
ou
()
1
Im 2
zy
=
=− .