PanaMaths [1 - 2] Janvier 2014
Déterminer tous les nombres complexes zxiy
+ (x et y réels) tels
que iz
Zzi
−
=+ soit un imaginaire pur.
Analyse
On peut transformer l’écriture de Z de façon à obtenir sa forme algébrique. On peut également
obtenir directement la partie réelle de Z à l’aide de la conjugaison.
Résolution
En guise de préambule, notons que le complexe Z est défini si, et seulement si, 0zi+≠ , c'est-
à-dire zi≠− .
1ère approche : forme algébrique de Z
Avec zxiy=+ , il vient :
() ()
(
() ()
() ()
()
()
()
()
()
22
222
222
1
11 11
11
21 1
111
yixxi y
ix iy
iz y ix y ix
Zzi xiyi xi y xi y
iyxiy
xy x y i x y y xy x y y
i
xy xyxy
+−+
⎤
−−
−−−+
⎦
== = =− =−
+++++ ++ ++ −+
⎤⎡ ⎤
⎦⎣ ⎦
⎡⎤
+++ −+ +−+
⎣⎦
=− =− +
++ ++ ++
On a alors :
() ( )
1
Re 0 2 1 0 0ou2 1 0 0ou
imaginaire pur 2
Zxy xy xy
Zzi
zi zi zi
⎧
=+=
⎧⎧ =+===−
⎧
⎪⎪ ⎪
⇔⇔ ⇔ ⇔
⎨⎨ ⎨ ⎨
≠−
≠− ≠−
⎪⎪ ⎩
⎩⎩ ⎪≠−
⎩
Ainsi, Z sera un imaginaire pur si, et seulement si :
• Z est un imaginaire pur (cas 0x
) différent de i
.
• Ou la partie imaginaire de z vaut 1
2
.