Exercices : nombre complexe

Exercices : nombre complexe - Calcul
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Partie r´eelle et imaginaire d’un nombre complexe
Trouver la partie r´eelle et imaginaire des nombres complexes suivants :
a) −2i+ 5 b) −3 c) 2id) i(−4−i) e) (1 −3i)2
Trouver la partie r´eelle et imaginaire des nombres complexes suivants :
a) 1
ib) 2−i 3−2ic) 2−i 4d) 1 + i+i2+i3
Questions de cours
Soit zun nombre complexe quelconque.
a) z+zest-il r´eel ou imaginaire pur ? Justifier.
b) z−zest-il r´eel ou imaginaire pur ? Justifier.
c) zz est-il r´eel ou imaginaire pur ? Justifier.
d) (z−2i)(z+ 2i) est-il r´eel ou imaginaire pur ? Justifier.
e) 1
z+1 zest-il r´eel ou imaginaire pur ? Justifier.
´
Ecrire un quotient sous forme alg´ebrique
´
Ecrire les nombres complexes suivants sous forme alg´ebrique :
a) 2
1−ib) i−3 1+2ic) 1 + 1 id) (2 −i)(3 + 2i) 4e) (2 −i)2 3 + i
Conjugu´e d’un nombre complexe - D´emonstrations de cours - ROC
a) D´emontrer que z=z
b) D´emontrer que z1+z2=z1+z2
c) D´emontrer que z1×z2=z1×z2
d) D´emontrer que si z26= 0, z1
z2=z1 z2
e) D´emontrer que zn= (z)no`u nest un entier naturel.
Soit zun nombre complexe quelconque. On pose z=x+iy o`u xet ysont r´eels.
D´eterminer les parties r´eelles et imaginaires des nombres complexes suivants en fonction de xet y.
a) 2z+ib) zz c) iz d) (z−1)(z+i)
Inverse d’un nombre complexe
D´eterminer les inverses des nombres suivants. On donnera le r´esultat sous forme alg´ebrique.
a) 2 −ib) i
2−3ic) 2 −i(4 −2i) d) (1 −2i)(2 + 3i)
D’apr`es sujet de Bac
Soit zun nombre complexe diff´erent de i. On pose z=x+iy o`u xet ysont r´eels.
On note z0=z+i
z−i. On appelle X et Y respectivement la partie r´eelle et imaginaire de z0.
D´eterminer X et Y en fonction de xet y.
Soit zun nombre complexe non nul. On pose z=x+iy o`u xet ysont r´eels.
On note z0=z−1
iz . On appelle X et Y respectivement la partie r´eelle et imaginaire de z0.
D´eterminer X et Y en fonction de xet y.
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