Résumé du cours

Résumé du cours
Définitions
Définition d’un nombre complexe.
• On appelle nombre complexe un nombre de la forme z=a+iboù aet bsont deux réels et
i un symbole tel que i2=−1.
• L’ensemble de tous les nombres complexes se note C
Définition 1
Dans tout ce qui suit aet bseront deux réels.
Partie réelle et imaginaire, forme algébrique.
• Le réel aest appelé partie réelle du nombre complexe z=a+ib,
on le note Re(z).
• Le réel best appelé partie imaginaire du nombre complexe z=a+ib,
on le note Im(z).
• L’écriture z=a+ibest appelée forme algébrique du complexe z.
Définition 2
Nombre complexe imaginaire pur.
• On appelle imaginaire pur un nombre complexe dont la partie réelle est nulle.
• L’ensemble des nombres imaginaires purs se note iR.
•z∈iR⇔Re(z)=0
Définition 3
Nombres complexes conjugués.
Soit le nombre complexes z=a+ib, on appelle conjugué de zle nombre complexe noté zet
défini par :
z=a+ib=a−ib
On remarque que z=z
Définition 4
Module d’un nombre complexe.
Soit z=a+ib, on appelle module de z, le nombre réel positif noté |z|et défini par
|z|=pzz =pa2+b2
Soit zz =|z|2
Définition 5
Propriétés
Égalité de deux nombres complexes.
Deux nombres complexes sont égaux si et seulement si ils ont même partie réelle et même
partie imaginaire :
z=z0⇔Re(z)=Re(z0) et Im(z)=Im(z0)
En particulier
z=0⇔Re(z)=Im(z)=0
Propriété 1
208 Sommaire chapitre 4 Francis CORTADO

Soit z=a+ib, alors :
z+z=2a=2Re(z)z−z=2ib=2i Im(z)
a=Re(z)=z+z
2b=Im(z)=z−z 2i
Propriété 2
zz =a2+b2=|z|2
Pour z06=0 on a
z
z0=z×z0
|z0|2
Propriété 3
z+z0=z+z0¯¯z+z0¯¯6|z|+¯¯z0¯¯
z×z0=z×z0¯¯z×z0¯¯=|z|ׯ¯z0¯¯
zn=zn|zn|=|z|n
³z
z0´=z
z0¯¯¯z
z0¯¯¯=|z|
|z0|
µ1
z¶=1 z¯¯¯¯
1
z¯¯¯¯=1
|z|
Propriété 4
Résolution dans Cde l’équation à coefficients réels az2+bz +c=0.
Soit ∆=b2−4ac, alors :
• Si ∆>0, deux solutions réelles distinctes :
z1=−b+p∆
2aet z2=−b−p∆ 2a
• Si ∆=0, une solution double réelle : z0=− b
2a
• Si ∆<0, deux solutions complexes conjuguées :
z1=−b+ip−∆
2aet z2=z1=−b−ip−∆ 2a
Propriété 5
Aspect géométrique.
Le plan est muni d’un repère orthonormé direct ¡O,−→ e1,−→ e2¢
Affixe et point image.
A tout point M¡a,b¢on associe un unique complexe zM=a+ibappelé
affixe du point M. Réciproquement, a tout nombre complexe z=a+ibon associe un unique
point M de coordonnées (a,b) appelé point image du complexe z=a+ib.
Définition 6
Francis CORTADO Sommaire chapitre 4 209

On note M¡z¢le point d’affixe z, on écrira également Aff(M)=zM.
Le nombre complexe zest un nombre réel, si et seulement si son point image appartient à
l’axe des abscisses.
Le nombre complexe zest un imaginaire pur, si et seulement si son point image appartient à
l’axe des ordonnées.
Propriété 6
L’affixe du vecteur −→ u(x,y) est le nombre complexe notée Aff¡−→ u¢ou Z−→
udéfinit par
Aff¡−→ u¢=x+iy
Définition 7
Soit M le point d’affixe zM, alors
|zM|=OM
Propriété 7
Soient A et B deux points d’affixes respectives zAet zBalors
AB =|zB−zA|
Théorème 1
210 Sommaire chapitre 4 Francis CORTADO