Résumé du cours Définitions Définition d’un nombre complexe. Définition 1 • On appelle nombre complexe un nombre de la forme z = a + i b où a et b sont deux réels et i un symbole tel que i2 = −1. • L’ensemble de tous les nombres complexes se note C Dans tout ce qui suit a et b seront deux réels. Partie réelle et imaginaire, forme algébrique. Définition 2 • Le réel a est appelé partie réelle du nombre complexe z = a + i b, on le note Re(z). • Le réel b est appelé partie imaginaire du nombre complexe z = a + i b, on le note Im(z). • L’écriture z = a + i b est appelée forme algébrique du complexe z. Nombre complexe imaginaire pur. Définition 3 • On appelle imaginaire pur un nombre complexe dont la partie réelle est nulle. • L’ensemble des nombres imaginaires purs se note i R. • z ∈ i R ⇔ Re(z) = 0 Nombres complexes conjugués. Définition 4 Soit le nombre complexes z = a + i b, on appelle conjugué de z le nombre complexe noté z et défini par : z = a +ib = a −ib z=z On remarque que Module d’un nombre complexe. Soit z = a + i b, on appelle module de z, le nombre réel positif noté | z | et défini par Définition 5 |z | = Soit p zz = p a2 + b2 zz = | z |2 Propriétés Égalité de deux nombres complexes. Deux nombres complexes sont égaux si et seulement si ils ont même partie réelle et même partie imaginaire : Propriété 1 z = z 0 ⇔ Re(z) = Re(z 0 ) et Im(z) = Im(z 0 ) En particulier z = 0 ⇔ Re(z) = Im(z) = 0 208 Sommaire chapitre 4 Francis C ORTADO Soit z = a + i b, alors : z + z = 2a = 2 Re(z) z − z = 2 i b = 2 i Im(z) Propriété 2 a = Re(z) = z +z 2 b = Im(z) = z −z 2i zz = a 2 + b 2 = | z |2 Propriété 3 Pour z 0 6= 0 on a z × z0 z = 0 z | z 0 |2 z + z0 = z + z0 z × z0 = z × z0 Propriété 4 zn = zn ³z´ z = z0 z0 µ ¶ 1 1 = z z ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ z + z0 ¯ 6 | z | + ¯ z0 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ z × z0 ¯ = | z | × ¯ z0 ¯ | z n | = | z |n ¯ z ¯ |z | ¯ ¯ ¯ 0 ¯= 0 |z | z ¯ ¯ ¯1¯ ¯ ¯= 1 ¯ z ¯ |z | Résolution dans C de l’équation à coefficients réels az 2 + bz + c = 0. Soit ∆ = b 2 − 4ac, alors : Propriété 5 • Si ∆ > 0, deux solutions réelles distinctes : p p −b + ∆ −b − ∆ z1 = et z 2 = 2a 2a • Si ∆ = 0, une solution double réelle : z 0 = − b 2a • Si ∆ < 0, deux solutions complexes conjuguées : p p −b + i −∆ −b − i −∆ z1 = et z 2 = z 1 = 2a 2a Aspect géométrique. ¡ − → ¢ Le plan est muni d’un repère orthonormé direct O, → e1, − e2 Affixe et point ¡ ¢image. A tout point M a, b on associe un unique complexe z M = a + i b appelé Définition 6 Francis C ORTADO affixe du point M. Réciproquement, a tout nombre complexe z = a + i b on associe un unique point M de coordonnées (a, b) appelé point image du complexe z = a + i b. Sommaire chapitre 4 209 ¡ ¢ On note M z le point d’affixe z, on écrira également Aff (M) = z M . Propriété 6 Le nombre complexe z est un nombre réel, si et seulement si son point image appartient à l’axe des abscisses. Le nombre complexe z est un imaginaire pur, si et seulement si son point image appartient à l’axe des ordonnées. ¡− ¢ − − L’affixe du vecteur → u (x, y) est le nombre complexe notée Aff → u ou Z→ u définit par Définition 7 Propriété 7 ¡− ¢ Aff → u = x +iy Soit M le point d’affixe z M , alors | z M | = OM Soient A et B deux points d’affixes respectives z A et z B alors Théorème 1 AB = | z B − z A | 210 Sommaire chapitre 4 Francis C ORTADO