I ] FORME ALGEBRIQUE D’UN NOMBRE COMPLEXE 1°) Présentation des nombres complexes THEOREME (Admis) Il existe un ensemble contenant et vérifiant : est muni d’une addition et d’une multiplication qui prolongent celles de et suivant les mêmes règles de calcul. Il existe un élément i de tel que i² = - 1 Tout élément de s’écrit de manière unique sous la forme z = a + ib (où a et b ). REMARQUE : En particulier : z z’ = 0 z = 0 ou z’ = 0 VOCABULAIRE : est l’ensemble des nombres complexes z = a + ib : a est la partie réelle de z notée Re(z) b est la partie imaginaire de z notée Im(z) Re(z) et Im(z) sont des réels. Si b = Im(z) = 0, z est dit réel (on retrouve ainsi ) Si a = Re(z) = 0 , z est dit imaginaire pur (z = ib, avec b ), l’ensemble des imaginaires purs est noté i. l’écriture a + ib est appelé forme algébrique du complexe z. EXERCICE 1 : Soient a et b deux réels et z = (3a – 2b) + i(a² + b² - 1). A quelle condition sur a et b, z est il réel ? Imaginaire pur ? EGALITE DE 2 NOMBRES COMPLEXES La dernière assertion du théorème nous permet de dire : deux nombres complexes sont égaux si et seulement si ils ont la même partie réelle et la même partie imaginaire. z = a + ib et z’ = a’ + ib’ avec a, b, a’ et b’ des réels z = z’ a = a’ et b = b’ 2°) Somme et Produit z = a + ib et z’ = a’ + ib’ avec a, b, a’ et b’ des réels, k un réel z + z’ = (a + a’) + i(b + b’) z = ka + i(kb) zz’ = (aa’ – bb’) + i(ab’ + ba’) On en déduit ave z’ = - 1 : - z = - a – ib D’où z – z’ = (a – a’) + i(b – b’) EXERCICE 2 : On pose z1 = 2 – 3i et z2 = 4 – i Déterminer la forme algébrique des nombres : A = 2z1 – 3z2, B = z1z2, C = z1² et D = z13 EXERCICE 3: Calculer i3, i4,i5 ,i6 En déduire un résultat général pour in (on pourra séparer plusieurs cas) CHAPITRE 4 : Nombres Complexes 1ère Partie Page 1/2 3°) Conjugaison DEFINITION : Soit z un nombre complexe : z = a + ib, a et b réels. On appelle conjugué de z le nombre complexe noté z (lire « z barre ») , et défini par z = a – ib. PROPRIETES : 1 z =z 2 zz= z 3 z i z = - z 4 z - z = 2ib 5 z + z = 2a 6 si z = a + ib alors z z = a² + b² REMARQUES : La somme d’un complexe et de son conjugué est un réel.(prop 5) Prop 1 et prop 2 nous permettent de caractériser un réel ou un imaginaire pur. 4°) Inverse et quotient Soit z = a + ib avec a et b non simultanément nuls Tout nombre complexe z, non nul, admet un inverse noté 1 z 1 , le quotient est défini par z ( avec z’ 0) z z’ z’ REMARQUES : Le produit d’un complexe et de son conjugué est un réel positif. (prop 6 du conjugué) Cette propriété nous permettra de déterminer des formes algébriques. 1 z En effet, pour obtenir la forme algébrique de ou de il suffira de multiplier numérateur et dénominateur par z z’ le conjugué du dénominateur. EXERCICE 4 : Mettre forme algébrique les nombres complexes suivants : 1 1 1–i ; et i 3 – 4i 1+i PROPRIETES (conjugaison et opérations) : Pour tous nombres complexes z et z’, et tout entier n : z + z’ = z + z’ zz’ = z z’ -z =- z zn = z n Pour z’ 0 1 = 1 z’ z’ z = z z’ z’ CHAPITRE 4 : Nombres Complexes 1ère Partie Page 2/2