I ] FORME ALGEBRIQUE D`UN NOMBRE COMPLEXE

CHAPITRE 4 : Nombres Complexes 1ère Partie Page 1/2
I ] FORME ALGEBRIQUE D’UN NOMBRE COMPLEXE
1°) Présentation des nombres complexes
THEOREME (Admis)
Il existe un ensemble  contenant  et vérifiant :
  est muni d’une addition et d’une multiplication qui prolongent celles de  et suivant les mêmes règles
de calcul.
 Il existe un élément i de  tel que i² = - 1
 Tout élément de  s’écrit de manière unique sous la forme z = a + ib (où a   et b  ).
REMARQUE :
En particulier : z z’ = 0  z = 0 ou z’ = 0
VOCABULAIRE :
  est l’ensemble des nombres complexes
 z = a + ib : a est la partie réelle de z notée Re(z)
b est la partie imaginaire de z notée Im(z)
Re(z) et Im(z) sont des réels.
Si b = Im(z) = 0, z est dit réel (on retrouve ainsi   )
Si a = Re(z) = 0 , z est dit imaginaire pur (z = ib, avec b  ), l’ensemble des imaginaires purs est noté i.
 l’écriture a + ib est appelé forme algébrique du complexe z.
EXERCICE 1 :
Soient a et b deux réels et z = (3a – 2b) + i(a² + b² - 1).
A quelle condition sur a et b, z est il réel ? Imaginaire pur ?
EGALITE DE 2 NOMBRES COMPLEXES
La dernière assertion du théorème nous permet de dire : deux nombres complexes sont égaux si et seulement si
ils ont la même partie réelle et la même partie imaginaire.
z = a + ib et z’ = a’ + ib’ avec a, b, a’ et b’ des réels
z = z’  a = a’ et b = b’
2°) Somme et Produit
z = a + ib et z’ = a’ + ib’ avec a, b, a’ et b’ des réels, k un réel
 z + z’ = (a + a’) + i(b + b’)
 z = ka + i(kb)
 zz’ = (aa’ – bb’) + i(ab’ + ba’)
On en déduit ave z’ = - 1 : - z = - a – ib
D’où z – z’ = (a – a’) + i(b – b’)
EXERCICE 2 :
On pose z1 = 2 – 3i et z2 = 4 – i
Déterminer la forme algébrique des nombres : A = 2z1 – 3z2, B = z1z2, C = z1² et D = z13
EXERCICE 3:
Calculer i3, i4,i5 ,i6
En déduire un résultat général pour in (on pourra séparer plusieurs cas)

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3°) Conjugaison
DEFINITION :
Soit z un nombre complexe : z = a + ib, a et b réels.
On appelle conjugué de z le nombre complexe noté z (lire « z barre ») , et défini par z = a – ib.
PROPRIETES :
1 z = z
2 z    z = z
3 z  i  z = - z
4 z - z = 2ib
5 z + z = 2a
6 si z = a + ib alors z z = a² + b²
REMARQUES :
 La somme d’un complexe et de son conjugué est un réel.(prop 5)
 Prop 1 et prop 2 nous permettent de caractériser un réel ou un imaginaire pur.
4°) Inverse et quotient
Soit z = a + ib avec a et b non simultanément nuls
Tout nombre complexe z, non nul, admet un inverse noté 1
z , le quotient z z’ est défini par z  1 z’ ( avec z’  0)
REMARQUES :
Le produit d’un complexe et de son conjugué est un réel positif. (prop 6 du conjugué)
Cette propriété nous permettra de déterminer des formes algébriques.
En effet, pour obtenir la forme algébrique de 1
z ou de z z’ il suffira de multiplier numérateur et dénominateur par
le conjugué du dénominateur.
EXERCICE 4 :
Mettre forme algébrique les nombres complexes suivants : 1
i ; 1 3 – 4i et 1 – i 1 + i
PROPRIETES (conjugaison et opérations) :
Pour tous nombres complexes z et z’, et tout entier n :
 z + z’ = z + z’
 - z = - z
 zz’ = z  z’
 zn=
n
z
Pour z’  0
1
z’ = 1
z’
z
z’ = z
z’