cours de mathematiques algebre - ENSA`S

COURS DE MATHEMATIQUES
ALGEBRE
LAKHEL El Hassan
Universit´e Cadi Ayyad
Ecole Nationale des Sciences Appliqu´ees
Safi
www.ensasafi.ma
Ann´ee Universitaire : 2006-2007

Table des mati`eres
IALG` EBRE G´ EN´ ERALE 6
1G´ EN´ ERALIT´ ES - STRUCTURES ALG´ EBRIQUES 7
1.1 Ensenbles-Relations ............................... 7
1.1.1 Ensembles.................................. 7
1.1.2 Relation binaire sur un ensemble E................... 8
1.1.3 Applications et fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2 Lois de composition - Structures d’ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3 Groupesetsous-groupes.............................. 11
1.4 Morphismedegroupes............................... 13
1.5 Anneauxetcorps.................................. 14
1.6 EXERCICES..................................... 16
2LES POLYN ˆ OMES 19
2.1 Pr´esentation des polynˆomes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.1.1 D´efinitions et notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.1.2 Op´erations sur les polynˆomes : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.2 DivisionEuclidienne ................................ 21
2.2.1 Arithm´etiques sur les polynˆomes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.2.2 Algorithme d’Euclide. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.3 Fonctionpolynˆome ................................ 26
2.3.1 Polynˆomed´eriv´e .............................. 26
2.3.2 Formule de Taylor pour les polynˆomes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.4 Z´erosd’unpolynˆome................................ 27
2.4.1 Multiplicit´e d’une racine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.5 Polynˆomesirr´eductibles .............................. 29
2.6 D´ecomposition des polynˆomes en facteurs irr´eductibles . . . . . . . . . . . . 30
2.6.1 Factorisation des polynˆomes dans C[X] ................. 30
2.6.2 Factorisation des polynˆomes dans R[X] ................ 30
2.6.3 Annexe : Recherche des racines, quelques r´esultats et m´ethodes . . . . 32
2.7 EXERCICES..................................... 33
3FRACTIONS RATIONNELLES 36
3.1 D´efinitions et propri´et´es alg`ebriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.1.1 Fractions ratinnelles irr´eductibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.2 D´ecomposition en ´el´ements simples d’une fraction rationnelle . . . . . . . . . 38
3.2.1 Fractions rationnelles r´eguli`eres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.2.2 D´ecomposition en ´el´ements simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.2.3 D´ecomposition dans C(X)......................... 41
3.2.4 D´ecomposition dans R(X)......................... 41
3.3 Recherche des parties polaires relatives `a des facteurs de la forme (X−a)α.43
1

3.3.1 Division suivant les puissances croissantes . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.4 Recherche des parties polaires relatives `a des facteurs de la forme (X2+bX +c)α45
3.5 APPLICATIONS.................................. 46
3.6 EXERCICES .................................... 47
II ALG` EBRE LIN´ EAIRE 49
4ESPACES VECTORIELS ET APPLICATIONS LIN´ EAIRES 50
4.1 Structure d’espace vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
4.2 Sous-espacesvectoriels............................... 51
4.2.1 G´en´eralit´es ................................. 51
4.2.2 Sous-espace engendr´e par une partie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
4.3 Applicationslin´eaires................................ 54
4.3.1 G´en´eralit´es ................................. 54
4.3.2 Image et noyau d’une application lin´eaire . . . . . . . . . . . . . . . . 56
4.4 Op´erations sur les applications lin´eaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
4.4.1 Structure d’espace vectoriel de L(E, F )................. 56
4.4.2 Composition des applications lin´eaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
4.4.3 Le groupe lin´eaire (GL(E), o)....................... 57
4.5 Ind´ependancelin´eaire ............................... 57
4.6 Exercices ...................................... 60
5ESPACES VECTORIELS DE DIMENSION FINIE 62
5.1 D´efinition d’un espace vectoriel de dimension finie. Bases. . . . . . . . . . . . 62
5.1.1 Espace vectoriel engendr´e par une suite finie. Base . . . . . . . . . . . 62
5.1.2 Existencedebases ............................. 63
5.2 Dimension d’un espace vectoriel de dimension finie . . . . . . . . . . . . . . . 63
5.2.1 Le th´eor`eme de la dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
5.2.2 Rang d’une suite finie de vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
5.2.3 Espace vectoriel de dimension finie donn´ee n.............. 65
5.3 Sous-espaces d’un espace vectoriel de dimension finie . . . . . . . . . . . . . . 65
5.4 Applications lin´eaires d’un K-e.v. de dimension finie dans un Ke. v. . . . . . 66
6MATRICES ET SYST` EMES LIN´ EAIRES 72
6.1 G´en´eralit´es ..................................... 72
6.1.1 D´efinitions ................................. 72
6.1.2 Transpos´ee d’une matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
6.2 Op´erations sur les matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
6.2.1 L’espace vectoriel Mp,n(K) ........................ 74
6.2.2 Base canonique et dimension de Mp,n(K) ................ 74
6.2.3 Multiplication des matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
6.2.4 Rangd’unematrice ............................ 75
6.3 Matrice d’une application lin´eaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
6.4 Matrices carr´ees inversibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
6.5 Changementdebase ................................ 78
6.5.1 Action d’un changement de base sur les coordonn´ees d’un vecteur . . 79
6.5.2 Action d’un changement de base sur la matrice d’une application lin´eaire 80
6.6 Syst`emeslin´eaires ................................. 80
6.6.1 D´efinitions ................................. 80
6.6.2 Interpr´etation matricielle d’un syst`eme lin´eaire : . . . . . . . . . . . . 81
2

6.6.3 Rang d’un syst`eme lin´eaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
6.7 M´ethodedepivotdeGauss ............................ 82
6.8 Algorithme du pivot de Gauss : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
6.9 Exercices:Lesmatrices .............................. 87
7D´ ETERMINANTS 91
7.1 Le groupe sym´etrique Sn............................. 91
7.2 Formes miltilin´eaires altern´ees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
7.3 D´eterminant d’une suite de vecteurs dans une base . . . . . . . . . . . . . . 94
7.4 D´eterminant d’une matrice carr´ee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
7.5 Propri´et´es et calcul des d´eterminants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
7.6 Applications des d´eterminants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
7.6.1 Ind´ependance lin´eaire de nvecteurs dans un e.v. de dimension n . . . 97
7.6.2 D´eterminant d’un endomorphisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
7.6.3 Calcul de l’inverse d’une matrice carr´ee inversible . . . . . . . . . . . . 99
7.6.4 Calcul du rang d’une matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
7.7 Exercices ...................................... 101
8R´ EDUCTION DES ENDOMORPHISMES 104
8.1 Introduction..................................... 104
8.2 Vecteurs propres et valeurs propres d’un endomorphismes : . . . . . . . . . . 104
8.2.1 Calcul des valeurs propres. Polynˆome caract´eristique . . . . . . . . . . 105
8.2.2 Sous-espacespropres............................ 107
8.3 Diagonalisation................................... 108
8.4 G´en´eralit´es ..................................... 108
8.5 Caract´erisation des endomorphismes diagonalisables . . . . . . . . . . . . . . 109
8.6 Trigonalisation ................................... 111
8.7 Exercices ...................................... 113
9Examens de l’ann´ee universitaire 2005-2006 117
3

INTRODUCTION
Ce support de cours a pour objectif de faciliter le travail des ´etudiants. Il contient l’es-
sentiel du module d’alg`ebre, de la premi`ere ann´ee ENSAS que l’´etudiant doit connaˆıtre.
Dans le cadre de ce cours on cherche `a la fois d´evelopper de faon rigoureuse des concepts
et des m´ethodes et ´a d´egager des connaissances n´ecessaires `a la physique et aux sciences
ing´enieurs. Le programme d’alg`ebre est organis´e autour des concepts fondamentaux d’es-
pace vectoriel et d’application lin´eaire, et de leurs interventions en alg`ebre, en analyse et en
g´eom´etrie. La maˆıtrise de l’alg`ebre lin´eaire ´el´ementaire en dimension finie constitue un objectif
essentiel. C’est pour les ´el`eves la partie la plus difficile, car la plus abstraite et la plus neuve :
ils y rencontrent pour la premi`ere fois la notion de structure, qui s’int´eresse aux propri´et´es
des objets manipul´es et non leur nature. Elle n´ecessite un important effort d’abstraction et
demande une assez longue adaptation. La plupart des r´esultats sont d´emontrs, dans le but
d’habituer les ´el`eves `a tenir un raisonnement rigoureux, `a ne pas confondre d´emonstration et
affirmation, et aussi parce que les d´emonstrations permettent souvent de mettre en oeuvre et
d’illustrer les concepts introduits ou les propri´et´es pr´ec´edemment ´etablies.
En d´ebut d’ann´ee, on introduit la notion de loi de composition interne dans un ensemble,
l’´etude des structures de groupe, anneau, corps, se r´eduit aux d´efinitions (structure, sous-
structure, morphismes) et `a quelques propri´et´es ´el´ementaires des morphismes (composition,
noyau, isomorphismes). Survol du groupe des permutations d’ordre n (d´efinition d’une per-
mutation, d’une transposition, d´etermination pratique de la signature). Ensuite, nous allons
´etudier les polynˆomes et les fractions rationnelles.
L’´etude de l’alg`ebre lin´eaire constitue le coeur du cours d’alg`ebre ; elle est subdivis´ee en
six chapitres :
La deux`eme partie ´evoque la notion d’espace vectoriel. Notre but est d’introduire les
notions de base de l’alg`ebre lin´eaire et de d´emontrer rigoureusement les r´esultats principaux
de ce sujet. Les domaines suivants seront trait´es dans le premier chapitre de cette partie :
•Espace vectoriel et sous-espace vectoriel.
•Suite libre et suite g´en´eratrice.
•Application lin´eaire, endomorphisme, isomorphisme, automorphisme.
•Noyau et image d’une application lin´eaire.
•Espaces vectoriels de dimension finie.
Les chapitres cinq-huit introuduisent les matrices, les syst`emes d’´equations lin´eaires , les
d´eterminants et les r´eductions des matrices.
Le meilleur apprentissage de l’Alg`ebre Lin´eaire s’obtient par un travail r´egulier sur toute
l’ann´ee. Ce cours va te permettre de revoir rapidement ce qu’il te faut absolument savoir !
Mais ¸ca reste un aide-m´emoire et ne te dispense ni de cours, ni de faire les exercices. Chaque
fois qu’un exercice vous pose des probl`emes, revenez `a la partie du cours concern´ee, v´erifiez
que les d´efinitions et les th´eor`emes ont ´et´e bien compris et refaire les exemples et exercices
donn´es. Ces allers-retours entre le cours et les applications sont essentiels pour une bonne
compr´ehension. Pour certains th´eor`eme, la d´emonstration ne demande que quelques lignes,
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