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Fonctions trigonométriques
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Corrections
Exercice 02
f(x) = 3 sin x - 5 cos x
donc f'(x) = 3 cos x - 5 x (-sin x) donc f'(x) = 3 cos x + 5 sin x .
Les fonctions sinus et cosinus étant dérivables sur IR ; f est dérivable sur IR .
g(x) = sin
2
x = sin x x sin x
En utilisant la formule de dérivation d'un produit, on obtient :
g'(x) = cos x x sin x + sin x x cos x donc g'(x) = 2 sin x cos x = sin 2x
La fonction sinus étant dérivable sur IR ; g est dérivable sur IR .
h(x) = sin x
x
En utilisant la formule de dérivation d'un quotient, on obtient :
h'(x) = (cos x)
x x - (sin x) x 1
x
2
donc h'(x) = x cos x - sin x
x
2
La fonction sinus étant dérivable sur IR ; h est dérivable sur IR
*
.
tan(x) = sin x
cos x
En utilisant la formule de dérivation d'un quotient, on obtient :
tan'(x) = (cos x)
x (cos x) - (sin x) x (-sin x)
cos
2
x = cos
2
x + sin
2
x
cos
2
x donc tan'(x) = 1 cos
2
x
Les fonctions sinus et cosinus étant dérivables sur IR ; la fonction tan est dérivable sur tout intervalle dans
lequel cos x ne s'annule pas
La fonction tan est dérivable sur tout intervalle de la forme - π
2 + kπ ; π 2 + kπ avec k ∈ ZZ .