Corrigé Série 10 - Résonance et frottements

Physique avancée I
21 octobre 2016
Prof. J.-Ph. Ansermet
Corrigé Série 10 - Résonance et frottements
1. Champ de bosses : le salaire de la peur
a) Le profil h (x) de la route est de la forme,
H
h (x) =
sin
2
2πx
L
,
(1)
où H est la hauteur de la bosse (i.e. entre un creux et un sommet) et L est la longueur de
la bosse.
Etant donné que le point de contact entre la roue et la route se déplace avec une vitesse
horizontale constante v, la position horizontale de ce point de contact est x = vt. Ainsi,
l’équation du mouvement de ce point h (t) est de la forme
H
2πvt
h (t) =
sin
.
(2)
2
L
b) Le mouvement horizontal a lieu à vitesse constante v. Il reste
donc à établir l’équation du mouvement selon l’axe vertical
Bilan des forces extérieures :
• Poids : P = M g = − M g ẑ,
• Force de rappel du ressort : F = − k (z − h (t)) ẑ où la
longueur du ressort à vide est négligée.
Loi du mouvement : Σ F ext = P + F = M a.
Selon l’axe ẑ, l’équation du mouvement est donc donnée par
− M g − k (z − h (t)) = M z̈ .
(3)
L’équation du point de contact (2) implique que l’équation du mouvement (3) peut être
réécrite comme,
H
M z̈ + kz + M g = k sin (ωt) ,
(4)
2
2πv
où ω =
.
L
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A l’aide du changement de variable
u=z+
Mg
k
⇒
ü = z̈ ,
(5)
H
sin (ωt) ,
2
(6)
l’équation différentielle (4) s’écrit comme,
M ü + k u = k
b) La solution de l’équation (6) est de la forme
u (t) = u0 sin (ωt) ,
(7)
comme indiqué dans l’énoncé. En substituant la solution (7) dans l’équation (6), on détermine
la forme de l’amplitude u0 des oscillations, i.e.
u0 =
H
2 .
2 1 − Mkω
(8)
Il y a trois comportements différents pour u0 correspondant à des limites particulières :
H
• Faibles amplitudes : lim u0 = .
ω→0
2
• Résonance :
lim
u
=
∞.
0
√
ω→ωr =
k/m
• Amplitude nulle : lim u0 = 0.
ω→∞
r
k
La pulsation de résonnace vaut ωr =
. Le régime de comfort maximal corespond aux
m
grandes pulsations, i.e. ω → ∞, et donc aux vitesses, i.e. v → ∞.
2. Excitation d’un oscillateur harmonique vertical
Référentiel, repère et système : On choisit comme
référentiel le tube dans lequel coulisse le piston et comme
repère l’axe de coordonnée vertical ez d’origine O dirigé
vers le bas. Le système est la masse m reliée au piston
(dont l’équation du mouvement est s(t) = s0 cos (ωt))
par un ressort de constante de rappel k et de longueur à
vide l0 .
a) Bilan des forces extérieures :
• Poids : P = m g = mg ez ,
• Force de rappel du
− k (z − l0 − s(t)) ez .
ressort
:
F
=
Loi du mouvement : Σ F ext = P + F = m a.
Selon l’axe ez , l’équation du mouvement est donc
donnée par
mg − k (z − l0 − s (t)) = mz̈ .
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b) A l’aide du changement de variable
mg
⇒ ü = z̈ ,
k
l’équation différentielle (9) peut être mise sous la forme,
u = z − l0 −
(10)
k
k
u (t) =
s (t) .
(11)
m
m
Par comparaison des équations (10) et (11) avec l’énoncé, on en déduit l’expression des
constantes c1 et c2 données dans l’énoncé, i.e.
− ku + ks = mü
c1 =
⇒
k
m
ü (t) +
et c2 = − l0 −
mg
.
k
(12)
c) Comme indiqué dans l’énoncé, en régime stationnaire, la solution de l’équation du mouvement (11) est de la forme
u (t) = u0 cos (ωt) ,
(13)
et le mouvement du piston est donné par,
s (t) = s0 cos (ωt) .
(14)
En substituant les solutions (13) et (14) dans l’équation du mouvement (11), on détermine
la forme de l’amplitude u0 des oscillations, i.e.
s0
(15)
u0 =
2 .
1 − mω
k
Il y a trois comportements différents pour u0 correspondant à des limites particulières :
A • Faibles amplitudes : lim u0 = s0 .
ω→0
• Résonance :
u0 = ∞.
lim
√
ω→ωr =
k/m
S0 • Amplitude nulle : lim u0 = 0.
ω→∞
La condition de résonance correspond à la divergence
de l’amplitude
A = u0 des oscillations.
q
Ainsi, la pulsation de résonnance vaut ωr =
k
.
m
3. Freinage d’un bloc
Référentiel, repère : On choisit comme référentiel
la surface et comme repère le repère cartésien
(O, ex , ez ).
Bilan
•
•
•
des forces extérieures :
Poids : P = m g = − mg ez ,
Réaction normale : N = N ez ,
Force de frottement cinétique : Ff
− µc N e x ,
=
Loi du mouvement : Σ F ext = P + N + Ff = m a.
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a) La loi vectorielle du mouvement s’ecrit alors en composantes polaires :
selon ex :
selon ez :
− µc N = mẍ ,
− mg + N = 0 .
(16)
(17)
L’équation (17) est une équation de contrainte qui donne l’expression de la norme N de la
réaction normale. L’équation (16) est l’équation du mouvement. En substituant l’équation
de contrainte (17) dans l’équation du mouvement (16) celle-ci se réduit à,
ẍ = − µc g .
(18)
En intégrant l’équation du mouvement (18) par rapport au temps tout en tenant compte
de la condition initiale ẋ (0) = v0 , on obtient une expression pour la vitesse, i.e.
ẋ (t) = − µc gt + v0 .
(19)
En intégrant l’expression (19) de la vitesse par rapport au temps tout en tenant compte de
la condition initiale x (0) = 0, on obtient l’équation horaire, i.e.
1
x (t) = − µc gt2 + v0 t .
2
Lorsque le bloc s’arrête, au temps t = tf , sa vitesse est nulle, i.e.
ẋ (tf ) = 0 .
(20)
(21)
Par conséquent, en imposant la condition d’arrêt (21) à l’expression (19) de la vitesse, on
en déduit le temps de freinage, i.e.
v0
tf =
.
(22)
µc g
En substituant le temps de freinage (22) dans l’équation horaire (20) on obtient la distance
de freinage, i.e.
v2
xf = 0 .
(23)
2µc g
b) La variation d’énergie cinétique ∆T lors du freinage correspondant à un déplacement ∆r =
∆x ex du bloc est due au travail de la force de frottement uniforme Ff = − µc mg ex , i.e.
Z
Z
∆T = W = Ff · dr = Ff · dr = Ff · ∆r = − µc mg ∆x ,
(24)
où N = mg sur une surface horizontale. Le signe négatif est dû au fait que la force de
frottement s’oppose au mouvement. La variation d’énergie cinétique et le déplacement lors
du freinage s’expriment respectivement comme,
∆T = T (tf ) − T (0) ,
∆x = x (tf ) − x (0) ,
(25)
(26)
et satisfont les conditions initiales,
1
T (0) = mv02
2
x (0) = 0
T (tf ) = 0 ,
(27)
x (tf ) = xf .
(28)
En substituant d’abord les conditions (27) et (28) dans les définitions (25) et (26), et en
substituant ensuite celles-ci dans l’expression de la variation d’énergie cinétique (24), on
obtient l’expresion pour la distance de freinage, i.e.
xf =
v02
.
2µc g
(29)
qui est identique à l’équation (23). La 2e méthode est nettement plus efficace !
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