TS 2016 Cours 3 Ch4. ComplexesC 1. Nombres Complexes, Forme Algébrique, Opérations : (a) Retour aux Complexes, Forme Algébrique : i2 = −1 Un nombre complexe est de la forme z = a + ib, où a et b réels, a est la partie réelle, b la partie imaginaire de z. On note a = Re(z) et b = Im(z). C est l’ensemble des nombres complexes. (b) Représentation des nombres complexes : On oriente le plan orthonormé. 3 2 M b À chaque point M du plan correspond ses coordonnées (a; b), × 1 ou bien encore un nombre complexe appelé affixe de M où zM = a + ib. O −1 −1 1 2 a3 (c) Module d’un nombre complexe : Soit M un point du plan orienté muni d’un repère d’origine√O, d’affixe z = a + ib, on appelle module de z, on note |z| la distance OM . |z| = a2 + b2 (d) Nombres Complexes et Opérations : z = 3 + 2i et z ′ = −4 + 3i, Somme, Différence, Produit, Inverse, Quotient : Conjugué : z = ............... z ′ = ............... z + z′ = .............................................................. z − z′ = .............................................................. −4 × z = .............................................................. |z|2 = z × z, |z| = ..............., |z ′ | = ............... z×z = .............................................................. ⋆ |z × z ′ | = |z| × |z ′ | = ............... ′ 1 = z′ .............................................................. 1 z =z× ′ z′ z .............................................................. Propriétés du module et du conjugué : Pour tout z et z ′ 6= 0 de C, ⋆ z |z| ′ = ′ = ............... z |z | |z + z ′ | ≤ |z| + |z ′ | |z| = |z| M d’affixe z et M ′ d’affixe z sont symétriques par rapport à l’axe des abscisses. (e) Applications : . . . . Déterminer l’ensemble des points M du plan d’affixe z, tels que |z − 1| = 2, Déterminer l’ensemble des points M du plan d’affixe z, tels que |z + 2| = |z|, (puis |z + 2| = |2z| ). Montrer que pour tout z complexe, (3 − z)(−3 + z) est un réel pur. Résoudre dans C les équations (E1) z 2 + z + 1 = 0, puis (E2) 3z 2 − 6z + 3 = 0 et enfin (E3) 4z 2 − 3z + 1 = 0 1/ 3 TS 2016 Cours 3 Ch4. ComplexesC 2. Nombres Complexes, Forme Trigonométrique : (a) Retour aux Complexes, Forme Trigonométrique : i2 = −1 Un nombre complexe est de la forme z = |z| (cos(θ) + i sin(θ)), où |z| est le module de z, θ est l’argument de z. On note θ = arg (z). (b) Représentation des nombres complexes : 2 On oriente le plan orthonormé. × |z| 1 M arg(z) À chaque point M du plan correspond ses coordonnées (a; b), son affixe zM = a+ib. × −2 ou bien encore ses coordonnées polaires (|z|, θ) où z = |z| (cos(θ) + i sin(θ)) O −1 1 2 −1 −2 (c) Argument d’un nombre complexe : l’argument est donné, modulo 2π, à 2π près. Propriétés de l’argument et du conjugué : Pour tout z et z ′ 6= 0 de C ⋆ arg(z × z ′ ) = arg(z) + arg(z ′ ) comme ex × ey = ex+y arg(z n ) = narg(z) pour tout entier n comme (ex ) = en×x n arg(z) = −arg(z) arg arg z 1 z′ z′ = −arg(z ′ ) comme 1 = e−y ey = arg(z) − arg(z ′ ) comme ex = ex−y ey (d) Passage de la Forme Trigonométrique à la Forme Algébrique : √ 3 × 2 b √ 2 2 b b π π z = 3(cos( ) + i sin( )) 3 3 z= √ 3π 3π 2(cos( ) + i sin( )) 4 4 × z = cos( −5π −5π ) + i sin( ) 3 3 b = .................... 1 × 2 b b √ 3 2 1 2 = .................... × b √ 5π 5π z = 2 3(cos(− ) + i sin(− )) 6 6 b b = .................... √× 2 2 b = .................... b b b b b b (e) Passage de la Forme Algébrique à la Forme Trigonométrique : √ 3 3 3 = ........................................ z = +i 2 2 √ √ 5 2 5 2 z=− −i = ........................................ 2 2 √ = ........................................ z = 3−i 2/ 3 × b TS 2016 Cours 3 Ch4. ComplexesC 3. Nombre Complexe, Forme Exponentielle : (a) Présentation : Nous avons remarqué que les propriétés de l’argument d’un nombre complexe sont semblables aux propriétés de l’exponentielle, elles mêmes semblables aux propriétés des puissances. Rappelons ici que cos(x + y) = cos(x) cos(y) − sin(x) sin(y) et sin(x + y) = sin(x) cos(y) + sin(y) cos(x). Soit f la fonction définie sur R par f (θ) = cos(θ) + i sin(θ), Ainsi f (θ) est un complexe de module 1 et d’argument θ. On obtient d’une part f (θ+θ′ ) = cos(θ+θ′ )+i sin(θ+θ′ ) = (cos(θ) cos(θ′ ) − sin(θ) sin(θ′ ))+i (sin(θ) cos(θ′ ) + sin(θ′ ) cos(θ)) et d’autre part, f (θ) × f (θ′ ) = (cos(θ) + i sin(θ)) × (cos(θ′ ) + i sin(θ′ )) = (cos(θ) cos(θ′ ) − sin(θ) sin(θ′ )) + i (sin(θ) cos(θ′ ) + sin(θ′ ) cos(θ)) Ainsi, f (θ + θ′ ) = f (θ) × f (θ′ ) ce qui est la propriété de la fonction exponentielle dans R, De Plus f (0) = cos(0) + i sin(0) = 1, il convient alors de noter f (θ) = cos(θ) + i sin(θ) = eiθ (b) Définitions : . Tout nombre complexe de module 1, d’argument θ peut s’écrire sous la forme cos(θ) + i sin(θ) = eiθ . Tout nombre complexe z de module |z|, d’argument θ peut s’écrire |z|eiθ (c) Représentation et Lectures graphiques : Placer les points Mi d’affixes zi , z1 = ei 2 , z2 = eiπ , π z4 = e2iπ et z5 = ei z3 = ei 3π 2 2π 3 1 Donner les formes trigonométrique et algébrique des complexes zi . (d) Passer d’une forme à l’autre : Pour obtenir la forme exponentielle d’un nombre complexe, il faut connaître son module et son argument, Si z = |z| (cos(θ) + i sin(θ)), Alors z = |z|eiθ et z = |z| cos(θ) +i |z| sin(θ) = a + ib | {z } | {z } a b Si z = |z|e , Alors z = |z| (cos(θ) + i sin(θ)) et z = |z| cos(θ) +i |z| sin(θ) = a + ib | {z } | {z } iθ a b √ Si z = a + ib, Alors |z| = a2 + b2 , déterminer θ = arg(z), Ainsi z = |z| (cos(θ) + i sin(θ)) et z = |z|eiθ Application : Donner les formes exponentielles de z1 = −2i et z2 = 1 + i (e) Calculs avec la Forme Exponentielle : Pour tout θ et θ′ , ′ 1) eiθ × eiθ = eiθ+θ 2) eiθ n ′ = einθ pour tout n ∈ Z C’est beau : eiπ + 1 = 0 3/ 3 3) 1 = e−iθ = eiθ eiθ 4) eiθ i(θ−θ ′ ) ′ = e iθ e mais cela fait-il sens ?