TS 2016 Cours 3 Ch4. ComplexesC 1. Nombres Complexes, Forme

TS 2016 Cours 3 Ch4. ComplexesC
1. Nombres Complexes, Forme Algébrique, Opérations :
(a) Retour aux Complexes, Forme Algébrique :i2=−1
Un nombre complexe est de la forme z=a+ib, où aet bréels, aest la partie réelle, bla partie imaginaire de z.
On note a=Re(z) et b=Im(z).
Cest l’ensemble des nombres complexes.
(b) Représentation des nombres complexes :
On oriente le plan orthonormé.
À chaque point Mdu plan correspond ses coordonnées (a;b),
ou bien encore un nombre complexe appelé affixe de Moù zM=a+ib.
1
2
3
−1123−1Oa
b×M
(c) Module d’un nombre complexe :
Soit Mun point du plan orienté muni d’un repère d’origine O, d’affixe z=a+ib,
on appelle module de z, on note |z|la distance OM.|z|=√a2+b2
(d) Nombres Complexes et Opérations :z= 3 + 2iet z′=−4 + 3i,
Somme, Différence, Produit, Inverse, Quotient :
z+z′= ..............................................................
z−z′= ..............................................................
−4×z= ..............................................................
z×z′= ..............................................................
1
z′= ..............................................................
z
z′=z×1 z′..............................................................
Conjugué : z=............... z′=...............
Propriétés du module et du conjugué :
Pour tout zet z′6= 0 de C,
|z|2=z×z,|z|=...............,|z′|=...............
⋆|z×z′|=|z| × |z′|=...............
⋆
z
z′=|z| |z′|=...............
|z+z′| ≤ |z|+|z′|
|z|=|z|
Md’affixe zet M′d’affixe zsont symétriques par rapport à l’axe des abscisses.
(e) Applications :
. Déterminer l’ensemble des points Mdu plan d’affixe z, tels que |z−1|= 2,
. Déterminer l’ensemble des points Mdu plan d’affixe z, tels que |z+ 2|=|z|, (puis |z+ 2|=|2z|).
. Montrer que pour tout zcomplexe, (3 −z)(−3 + z) est un réel pur.
. Résoudre dans Cles équations (E1) z2+z+ 1 = 0, puis (E2) 3z2−6z+ 3 = 0 et enfin (E3) 4z2−3z+ 1 = 0
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2. Nombres Complexes, Forme Trigonométrique :
(a) Retour aux Complexes, Forme Trigonométrique :i2=−1
Un nombre complexe est de la forme z=|z|(cos(θ) + isin(θ)), où |z|est le module de z,θest l’argument de z.
On note θ=arg (z).
(b) Représentation des nombres complexes :
On oriente le plan orthonormé.
À chaque point Mdu plan correspond ses coordonnées (a;b), son affixe zM=a+ib.
ou bien encore ses coordonnées polaires (|z|, θ) où z=|z|(cos(θ) + isin(θ))
1
2
−1
−2
1 2−1−2
|z|
arg(z)
×M
×
O
(c) Argument d’un nombre complexe : l’argument est donné, modulo 2π, à 2πprès.
Propriétés de l’argument et du conjugué : Pour tout zet z′6= 0 de C
arg(z×z′) = arg(z) + arg(z′) comme ex×ey=ex+y
⋆ arg(zn) = narg(z) pour tout entier ncomme (ex)n=en×x
arg(z) = −arg(z)
arg 1
z′=−arg(z′) comme 1 ey=e−y
arg z
z′=arg(z)−arg(z′) comme ex ey=ex−y
(d) Passage de la Forme Trigonométrique à la Forme Algébrique :
z= 3(cos(π
3) + isin(π 3)) = ....................
z=√2(cos(3π
4) + isin(3π 4)) = ....................
z= 2√3(cos(−5π
6) + isin(−5π 6)) = ....................
z= cos(−5π
3) + isin(−5π 3) = ....................
√3
2
√2
2
1
2
1
2
√2
2
√3
2
× ×
×
×
×
×
(e) Passage de la Forme Algébrique à la Forme Trigonométrique :
z=3
2+i3√3 2=........................................
z=−5√2
2−i5√2 2=........................................
z=√3−i=........................................
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3. Nombre Complexe, Forme Exponentielle :
(a) Présentation :
Nous avons remarqué que les propriétés de l’argument d’un nombre complexe sont semblables aux propriétés de l’expo-
nentielle, elles mêmes semblables aux propriétés des puissances.
Rappelons ici que cos(x+y) = cos(x) cos(y)−sin(x) sin(y) et sin(x+y) = sin(x) cos(y) + sin(y) cos(x).
Soit fla fonction définie sur Rpar f(θ) = cos(θ) + isin(θ), Ainsi f(θ) est un complexe de module 1 et d’argument θ.
On obtient d’une part f(θ+θ′) = cos(θ+θ′)+isin(θ+θ′) = (cos(θ) cos(θ′)−sin(θ) sin(θ′))+i(sin(θ) cos(θ′) + sin(θ′) cos(θ))
et d’autre part,
f(θ)×f(θ′) = (cos(θ) + isin(θ))×(cos(θ′) + isin(θ′)) = (cos(θ) cos(θ′)−sin(θ) sin(θ′))+i(sin(θ) cos(θ′) + sin(θ′) cos(θ))
Ainsi, f(θ+θ′) = f(θ)×f(θ′) ce qui est la propriété de la fonction exponentielle dans R,
De Plus f(0) = cos(0) + isin(0) = 1, il convient alors de noter f(θ) = cos(θ) + isin(θ) = eiθ
(b) Définitions :
. Tout nombre complexe de module 1, d’argument θpeut s’écrire sous la forme cos(θ) + isin(θ) = eiθ
. Tout nombre complexe zde module |z|, d’argument θpeut s’écrire |z|eiθ
(c) Représentation et Lectures graphiques :
Placer les points Mid’affixes zi,
z1=eiπ
2,z2=eiπ,z3=ei3π 2
z4=e2iπ et z5=ei2π
3
Donner les formes trigonométrique et algébrique des complexes zi
.
1
(d) Passer d’une forme à l’autre :
Pour obtenir la forme exponentielle d’un nombre complexe, il faut connaître son module et son argument,
Si z=|z|(cos(θ) + isin(θ)), Alors z=|z|eiθ et z=|z|cos(θ)
|{z }
a
+i|z|sin(θ)
|{z }
b
=a+ib
Si z=|z|eiθ, Alors z=|z|(cos(θ) + isin(θ)) et z=|z|cos(θ)
|{z }
a
+i|z|sin(θ)
|{z }
b
=a+ib
Si z=a+ib, Alors |z|=√a2+b2, déterminer θ=arg(z), Ainsi z=|z|(cos(θ) + isin(θ)) et z=|z|eiθ
Application : Donner les formes exponentielles de z1=−2iet z2= 1 + i
(e) Calculs avec la Forme Exponentielle : Pour tout θet θ′,
1) eiθ ×eiθ′=eiθ+θ′3) 1
eiθ =e−iθ =eiθ
2) eiθn=einθ pour tout n∈Z4) eiθ
eiθ′=ei(θ−θ′)
C’est beau : eiπ + 1 = 0 mais cela fait-il sens ?
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