Colle du 26 Février 2014

Colle du 26 Fevrier MP*1 Lycée du Parc
Arnaud Demarais
February 26, 2014
Exercice 4.1 (facile)
Soit G un groupe Montrer que G ne peut s’écrire comme H[H0où H et H’ seraient des sous groupes stricts.
Correction 4.1
Supposons par l’absurde que G=H[H0avec H et H’ des sous groupes stricts
Soit x2H\H0et y2H0\H
Alors le produit xy est dans H ou H’.
Si par exemple xy 2Halors y2Hce qui est absurde.
Exercice 4.2 (Moyen+)
Soit E un ensemble fini non vide muni d’une loi associative * et qui vérifie l’hypothèse de la simplification1.
Montrer que E est un groupe.
Correction 4.2
Montrons que E possède un élément neutre.
Soit x2E. Comme E est fini 9n, n02Ndifférents tels que xn=xn0
Suposons n0<net notons e=xnn0
Alors 8y2E,onaxny=xn0ydonc ey =yet de même ye =y
Montrons que tout élément de E est inversible.
Soit x2Edifférent de e.Demêmequ’auparavant9n, n02Ndifférents tels que xn=xn0.Maisdeplusnn02
car x est différent de e.
xnn01est donc un inverse de x.
Exercice 4.6 (Moyen quotients ENS ULC)
Soit p premier 3.
1) Quel est le nombre de carrés dans Z/pZ
2) Montrer que x6=0est un carré ,xp1
2=1
3) Soit p un diviseur premier de (n!)2+1.Montrerquep>net p⌘1[4]
1xy =xz )y=z
1

Correction 4.6
1)
Notons C l’ensemble des carrés de Z/pZ⇤.
Considérons l’application :
:(Z/pZ⇤!C
x7! x2
Alors est un morphisme de groupes multiplicatifs surjectif. Intéressons nous à son noyau :
x2=1,x=±1
Donc C est en bijection avec (Z/pZ)/{±1}
Donc C est de cardinal p1
2.
En ajoutant 0 on trouve p+1
2carrés dans Z/pZ.
2)
Les carrés sont inclus dans le noyeau de et pour des raisons de cardinal les carrés sont exactement le noyeau de
3)
Par l’absurde si pnalors p|n!et donc p|1c’est impossible
On a donc p>n
De plus (n!)2=1dans Z/pZdonc -1 est un carré et donc 1p1
2=1d’après les questions précédentes
Donc p1
2est pair et donc p⌘1[4].
Exercice 4.3 (Dur ENS ULC)
Soit G un groupe fini commutatif. On note n=pgcdxi2Go(xi)où o(x) désigne l’ordre de l’élément x
On décompose n=⇧p↵i
i.
1) Montrer que 9x2Gtel que o(x)=p↵i
i
2) Déduire 9y2Gtel que o(y)=n
3) Déduire que le groupe multiplicatif d’un corps fini commutatif est cyclique
Correction 4.3
1)
On sait que 8z2Gnz=0.Soitjunindice.
Par l’absurde supposons que 8z2Gon ait ⇧i6=jp↵i
ip↵j1 jz=0
Alors o(z)|⇧i6=jp↵i
ip↵j1 j8z2Get donc n|⇧i6=jp↵i ip↵j1 jce qui est absurde
Donc il existe z0tel que ⇧i6=jp↵i
ip↵j1 jz06=0.
On pose x=⇧
i6=jp↵i
iz0
Un tel x convient, en effet p↵j
jx=0et p↵j1 jx6=0donc o(x)|p↵j jet o(x)-p↵j1 j
2)
On note xil’élément dont l’ordre est p↵i
iet on pose y=Pxi.
o(y)|net soit j un indice :
⇧i6=jp↵i
ip↵j1 jy=⇧
i6=jp↵i
ip↵j1 jxj6=0
Donc p↵j
j|net donc y est d’ordre n exactement.
3)
Considérons Kun copris fini commutatif et K⇤son groupe multiplicatif. Considérons n le ppcm tel que précédem-
ment et considérons le polynôme Xn1
Ce polynôme admet tout élément du groupe multiplicatif pour racine donc n est plus grand que le cardinal du
groupe multiplicatif.
Or il existe un élément d’ordre n dans le groupe multiplicatif donc n est le cardinal du groupe multiplicatif et celui
ci est cyclique.
2

Exercice 4.11 (Moyen)
Si G est de cardinal pair montrer qu’il existe un élément d’ordre 2.
Correction 4.11
Supposons qu’il n’y en ait pas. alors 8x2Gon a x6=x1donc on peut apparier chaque élément avec son inverse.
En ajoutant le neutre cela donne un nombre impair d’éléments. Contradiction.
Exercice 4.8 (Facile CCP)
Soient G et H des groupes finis
1) Soit x2Gd’ordre n et y2Hd’ordre m
Quel est l’ordre de (x, y)dans le groupe produit ?
2) Donner des conditions sur G et H pour que le groupe G⇥Hsoit cyclique
Correction 4.8
1)
On voit que xo((x,y)) =eGet yo((x,y)) =eHdonc o(x)|o((x, y)) et o(y)|o((x, y))
En particulier ppcm(o(x),o(y)) |o((x, y))
De plus (x, y)ppcm(o(x),o(y)) =(eG,e
H)
On a donc ppcm(o(x),o(y)) = o((x, y))
2)
Si G⇥Hest cyclique, notons (x, y)un générateur alors
xestungénérateurdeGetyungénérateurdeHdoncGetHdoiventêtrecycliques.
De plus il doit exister un élément d’ordre card(G)⇥card(H)donc il faut que le ppcm soit égal au produit ou en
d’autres termes que le pgcd des cardinaux soit 1
Réciproquement ça marche .
Exercice 4.12 (Facile)
Soit G un groupe fini tel que 8x2Gon ait x2=e.
1) Montrer que G est commutatif
2) Soit H un sous groupe de G et x2G\H.MontrerquelegroupeengendréparHetxestdecardinal2card(H)
3) Déduire que le cardinal de G est une puissance de 2
Correction 4.12
1)
Soient x, y 2Galors on a :
e=(xy)2=xyxy donc y1x1=xy mais tout élément est égal à son inverse donc xy =yx
2)
Le groupe engendré par H et x contient tous les éléments de H et les éléments de la forme xh où h2H.doncon
aaumoins2card(H)éléments.
Montrons que H[xH est un sous groupe de G. Cela se vérifie bien en utilisant x2=eet en faisant des disjonctions
de cas
3)
On prend un élément d’ordre 2 2et on fait grossir le sous groupe petit à petit .
2Cf exercice 2.4.11
3