LCMA5.12 Alg`ebre Printemps 2010 Feuille d`exercices n˚5

LCMA5.12 Alg`ebre Printemps 2010
Feuille d’exercices n˚ 5 : Groupes commutatifs
5.1 Pour tout entier n∈N∗, on d´efinit ϕ(n) comme l’ordre du groupe multiplicatif (Z/nZ)∗. La
fonction ϕest appel´ee indicateur d’Euler, et pour tout n∈N∗, on a :
ϕ(n) = Card {k∈N|1≤k≤net pgcd(k, n) = 1}.
a) Montrer que si n, m ∈N⋆sont premiers entre eux, alors on a (Z/nmZ)∗≃(Z/nZ)∗×(Z/mZ)∗;
en d´eduire que ϕ(nm) = ϕ(n)ϕ(m).
b) Montrer que pour tout ppremier et tout α∈N⋆, on a ϕ(p) = p−1 et ϕ(pα) = pα−1(p−1).
c) Calculer ϕ(n) pour n≥2 en fonction des diviseurs premiers de n. Quelle est la parit´e de ϕ(n) ?
d) Soit Gun groupe multiplicatif cyclique d’ordre n: il existe a∈Gtel que G=hai; on note e
l’´el´ement neutre de G.
i) Montrer que Gposs`ede exactement ϕ(n) g´en´erateurs.
ii) Soit dun diviseur positif de n: il existe k∈Ntel que n=dk. On pose H={x∈G / xd=e}
et K={y∈G| ∃x∈G, y =xk}. Montrer que H=K, que Kest le sous-groupe de Gengendr´e par
aket que c’est l’unique sous-groupe d’ordre dde G.
iii) En d´eduire que Gposs`ede exactement ϕ(d) ´el´ements d’ordre d.
iv) On pose Ed={x∈G|ord(x) = d}: montrer que la famille des Edlorsque dd´ecrit l’ensemble
des diviseurs positifs de nest une partition de G.
e) Montrer que n=Pd|nϕ(d).
5.2 Pour les groupes Gsuivants, calculer la d´ecomposition de Gen somme directe de composantes pri-
maires et en somme directe de groupes cycliques primaires ; calculer le type de Gpuis la d´ecomposition
G≃H1× · · · × Hro`u Hiest cyclique et |Hi+1|divise |Hi|:
G= (Z/12Z)×(Z/90Z), G= (Z/84Z)×(Z/90Z), G = (Z/40Z)×(Z/42Z)×(Z/120Z).
5.3 D´eterminer tous les groupes commutatifs d’ordre 3240 `a isomorphisme pr`es.
5.4 Parmi les groupes suivants, tous commutatifs d’ordre 180, d´eterminer lesquels sont isomorphes
entre eux : (on utilisera que (Z/pZ)∗est cyclique quand pest premier.)
a) Z/180Z, b) (Z/12Z)×(Z/15Z), c) (Z/2Z)×(Z/90Z), d) (Z/3Z)2×(Z/20Z),
e) (Z/4Z)×(Z/45Z), f) (Z/15Z)×(Z/6Z)×(Z/2Z), g) (Z/2Z)2×(Z/9Z)×(Z/5Z),
h) (Z/181Z)∗, i) (Z/2Z)×(Z/9Z)×(Z/10Z), j) (Z/19Z)∗×(Z/11Z)∗,
k) (Z/4Z)×(Z/3Z)2×(Z/5Z), l) (Z/209Z)∗.
5.5 Soient G,H,Ktrois groupes commutatifs finis ; montrer que si G×H≃G×K, alors H≃K.

5.6 Soit Gun groupe commutatif fini tel que, pour tous sous-groupes Het Kde G, on a H⊂Kou
K⊂H; montrer que Gest un p−groupe cyclique pour un certain nombre premier p.
5.7 Soit nun entier n≥2 ; montrer que les trois conditions suivantes sont ´equivalentes :
i) tout groupe commutatif d’ordre nest cyclique ;
ii) l’entier nn’a pas de facteur carr´e autre que 1 ;
iii) l’entier nest produit de nombres premiers distincts deux `a deux.
5.8 Montrer que dans tout groupe commutatif d’ordre 40, il y a au moins un ´el´ement d’ordre 10.
Existe-t-il un groupe commutatif d’ordre 40 pour lequel l’ordre de tout ´el´ement divise 10 ?
5.9 Soit pun nombre premier. Combien y a-t-il de sous-groupes d’ordre pdans Z/pZ? Dans (Z/pZ)2?
Dans (Z/pZ)3? Dans Z/prZpour r≥2 ?
5.10 a) Soit pun nombre premier et m∈N; trouver le nombre de solutions de l’´equation pmx=0
dans Z/pnZo`u n∈N∗puis dans
r
Y
i=1
(Z/pniZ).
b) Soit Gun groupe commutatif fini et soit nun diviseur de |G|; montrer que le nombre d’´el´ements
xde Gv´erifiant nx = 0 est un multiple de n.
c) D´eterminer le nombre de solutions de l’´equation 9x=0 successivement dans les groupes Z/81Z,
(Z/9Z)2et (Z/3Z)×(Z/27Z).
5.11 On consid`ere U={z∈C/|z|= 1},Unl’ensemble des complexes racines ni`emes de l’unit´e (pour
n∈N∗) et e U=[
n∈N∗
Un. Si Gest un groupe commutatif, on notera G′l’ensemble des homomorphismes
de groupes de Gdans U.
a) Montrer que Uest un sous-groupe multiplicatif de C∗, puis que pour tout n∈N∗,Unest un
sous-groupe de U.
b) Montrer que pour tout n∈N∗,Un≃Z/nZ.
c) Montrer que e Uest un sous-groupe de U.
d) Montrer que U≃R/Zet e U≃Q/Z.
e) Montrer que pour tout groupe commutatif G,G′est un groupe pour la loi multiplicative d´efinie
par : ∀f, g ∈G′,∀x∈G(fg)(x) = f(x)g(x).
f) Montrer que si Gest cyclique d’ordre m, alors G′l’est aussi. (on pourra montrer que G′≃Um)
g) Montrer que si Get Hsont des groupes commutatifs, alors (G×H)′≃G′×H′.
h) Montrer que si Gest un groupe commutatif fini, alors G≃G′.