1°/ Pour tout a de G, a2 = e équivaut à a = a–1. Si a et b sont deux

III Soit G un groupe fini distinct de {e} tel que : ∀a
∈ G : a2 = e.
1°/ Montrer que G est commutatif.
2°/ Montrer que le cardinal de G est pair (utiliser le théorème de Lagrange).
3°/ Montrer que G est isomorphe à (z/2z)p (et donc |G| = 2p).
1°/ Pour tout a de G, a2 = e équivaut à a = a–1. Si a et b sont deux éléments de G on a a.b = (a.b)–1 = b–1.a–
= b.a, donc le groupe G est commutatif.
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2°/ Soit a un élément de G distinct de e. Le sous-groupe engendré par a est {e, a} (exercice 8 du chapitre), qui
est de cardinal 2 donc 2 divise n = Card G (théorème de Lagrange : exercice 17 du chapitre).
3°/ Construisons par récurrence une suite S = (a1, a2, …, ap) de la façon suivante : soit a1 ∈ G – {e}; si <a1> =
G, alors S = (a1), sinon soit a2 ∈ G – <a1>; si <a1, a2> = G alors S = (a1, a2); sinon on considère a3 ∈ G –
<a1, a2>; etc… Le groupe G étant fini le processus s'arrête au bout d'un nombre fini d'opérations et on obtient
une suite finie (a1, a2, …, ap) vérifiant <a1,… , ak> ≠ G si k ∈ {0, …, p – 1} et <a1,… , ap> = G.
Considérons alors l'application f de (z/2z)p définie par f ( x1 , ... , x p ) = a1x1 . ... .a pp . Il est clair que f est bien
x
définie (car x = y ssi x = y + 2k avec k ∈ z, donc aix = aiy + 2 k = aiy . ( a k ) = aiy pour 1 ≤ i ≤ p) et c'est un
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morphisme surjectif de groupes (car G est commutatif et <a1,… , ap> = G).
Soit d'autre part ( x1 , ... , x p ) ∈ Ker f avec xi = 0 ou 1. On a a1x1 . ....a pp = e. Si (x1, … , xp) ≠ (0, … , 0) soit k
x
= Max{i / 1 ≤ i ≤ p, et xi = 1}. On a alors a1x1 . ....akxk = a1x1 . ....ak = e , soit ak ∈ <a1, … , ak–1> (si k > 1) ou a1 = e
(si k = 1), ce qui est impossible par définition de S. Par conséquent (x1, … , xp) = (0, … , 0) et f est injective.
f est donc un isomorphisme de groupes.