1°/ Pour tout a de G, a2 = e équivaut à a = a–1. Si a et b sont deux

III Soit G un groupe fini distinct de {e} tel que : ∀a
∈
G : a
2
= e.
1°/ Montrer que G est commutatif.
2°/ Montrer que le cardinal de G est pair (utiliser le théorème de Lagrange).
3°/ Montrer que G est isomorphe à (
z /2 z )
p
(et donc |G| = 2
p
).
1°/ Pour tout a de G, a2 = e équivaut à a = a–1. Si a et b sont deux éléments de G on a a.b = (a.b)–1 = b–1.a–
1 = b.a, donc le groupe G est commutatif.
2°/ Soit a un élément de G distinct de e. Le sous-groupe engendré par a est {e, a} (exercice 8 du chapitre), qui
est de cardinal 2 donc 2 divise n = Card G (théorème de Lagrange : exercice 17 du chapitre).
3°/ Construisons par récurrence une suite S = (a1, a2, …, ap) de la façon suivante : soit a1
∈
G – {e}; si <a1> =
G, alors S = (a1), sinon soit a2
∈
G – <a1>; si <a1, a2> = G alors S = (a1, a2); sinon on considère a3
∈
G –
<a1, a2>; etc… Le groupe G étant fini le processus s'arrête au bout d'un nombre fini d'opérations et on obtient
une suite finie (a1, a2, …, ap) vérifiant <a1,… , ak> ≠ G si k
∈
{0, …, p – 1} et <a1,… , ap> = G.
Considérons alors l'application f de (z/2z)p définie par
1
11
(,..., ) .....
p
x
x
pp
f
xxaa= . Il est clair que f est bien
définie (car
x
y= ssi x = y + 2k avec k
∈
z, donc
(
)
2
2
.
x
yk y k y
ii i i
aa aa a
+
=
== pour 1
≤
i ≤ p) et c'est un
morphisme surjectif de groupes (car G est commutatif et <a1,… , ap> = G).
Soit d'autre part
1
( ,..., )
p
x
x
∈
Ker f avec xi = 0 ou 1. On a
1
1
.....
p
x
xp
aa = e. Si (x1, … , xp) ≠ (0, … , 0) soit k
= Max{i / 1
≤ i ≤ p, et xi = 1}. On a alors
11
11
..... .....
k
x
xx
kk
aaaae
=
=, soit ak
∈
<a1, … , ak–1> (si k > 1) ou a1 = e
(si k = 1), ce qui est impossible par définition de S. Par conséquent (x1, … , xp) = (0, … , 0) et f est injective.
f est donc un isomorphisme de groupes.