TRIGONOMÉTRIE Rappels de Seconde et 1S I. Définition du cercle trigonométrique Le plan est muni d'un repère orthonormé (O, ⃗ i , ⃗ j ) et orienté dans le sens direct. Le cercle trigonométrique est le cercle de centre O et de rayon 1. Sens direct : sens contraire des aiguilles d'une montre. II. Enroulement de la droite des réels sur le cercle trigonométrique On se place dans un repère orthonormé (O, C est le cercle trigonométrique et (AC) tangente à C en A et orientée de sorte que un repère de la droite (AC). ⃗ i , est (A, ⃗ j ). la droite ⃗ j ) soit Lorsqu'on enroule le droite (AC) autour de C, à tout point N d'abscisse x de la droite (AC), on associe un unique point M du cercle. La longueur de l'arc AM est égale à la longueur AN. Le périmètre du cercle trigonométrique C est 2π . Au réel d'abscisse 2π , on fait correspondre un angle de 360° (un tour complet après enroulement). Par proportionnalité, on obtient les correspondances suivantes : Abscisse de N sur (AC) −2 π −π −π 2 −π 3 −π 4 0 π 4 π 3 π 2 -360° -180° -90° -60° -45° 0° 45° 60° 90° π 2π 180° 360° Angle ̂ AOM en degré Voir l'animation : https://www.geogebra.org/m/RR3XHQGr Cette animation permet de voir l'enroulement d'un réel d'abscisse x sur le cercle trigonométrique. Décochez les cases sinus et cosinus (sources d'embrouilles) À plusieurs points de la droite orientée (AC) on peut faire correspondre un même point du cercle. Sur l'exemple ci-contre, les points N et P d'abscisses respectives 3π 5π et − correspondent au même point M du cercle C . 4 4 Réciproquement... Propriété : à tout point M du cercle trigonométrique est associé une infinité de réels. Soit x l'un de ces réels, les autres sont les réels x+2 k π ou k est un entier relatif. π Par exemple, les points d'abscisses respectives 4 et 9π correspondent au même point S du cercle C . 4 III. Le radian, une nouvelle unité de mesure d'angle Soient deux points A et B d'u cercle trigonométrique C. Un angle de 1 radian est un angle au centre interceptant sur un arc de longueur 1. On considère que la mesure de l'angle géométrique ̂ AOB a pour mesure la longueur de l'arc AB. Cette nouvelle unité de mesure est le radian. On le note rad. Par proportionnalité, on obtient les correspondances suivantes : Mesure en degré 0 30 45 60 90 180 360 Mesure en radian 0 π 6 π 4 π 3 π 2 π 2π x x× π ( 180 ) IV. Angles orientés de deux vecteurs et mesure principale Le plan est muni d'un repère orthonormé (O, ⃗ i , ⃗ j ) et orienté dans le sens direct. u et ⃗ v sont deux vecteurs non nuls. ⃗ A et B sont deux points tels que ⃗ u et ⃗ v . OA = ⃗ OB = ⃗ Soient A' et B' les intersections de [OA) et [OB) avec le cercle trigonométrique C . Si A' est l'image du réel x et B' est l'image du réel y, alors y−x est une mesure en radian de l'angle orienté (⃗ u ;⃗ v ). Chacun des nombres ( y− x )+2 k π ou k est un entier relatif est une mesure de l'angle orienté ( ⃗ u ;⃗ v ). Parmi toutes les mesures de l'angle orienté( ⃗ u ;⃗ v ) de deux vecteurs non nuls, il en existe une et une seule dans l'intervalle ]−π; π ] On l'appelle la mesure principale de l'angle orienté ( ⃗ u ;⃗ v ). Rappels utiles : ici Démonstrations utilisant la relation de Chasles. V. sinus et cosinus d'un nombre réel Le plan est muni d'un repère orthonormé (O, ⃗ i , ⃗ j ) et orienté dans le sens direct. C est le cercle trigonométrique Pour tout nombre réel x, considérons le point N de la droite orientée d’abscisse x. À ce point N, on fait correspondre le point M sur le cercle trigonométrique. H est le projeté orthogonal de M sur l’axe des abscisses K est le projeté orthogonal de M sur l’axe des ordonnées. On appelle cosinus du réel x et on note cos x l'abscisse du point M. On appelle sinus du réel x et on note sin x l'ordonnée du point M. Lignes trigonométriques remarquables... à connaître par cœur ! VI. Formulaire de trigonométrie Pour tout x réel et tout entier k , on a : • 2 2 ( cos x ) + ( sin x ) =1 x⩽1 {−1⩽cos −1⩽sin x⩽1 k π)=cos x {cossin (( x+2 x+2 k π)=sin x Moyen mnémotechnique(qui vaut ce qu'il vaut) pour retenir les formules d'addition Le sinus est sympathique, le cosinus est c... Cosinus est c..., donc : il ne veut pas aller voir les sinus, il ne veut pas les laisser passer devant. il change les signes. D'ou : cos ( a+b )=cos ( a ) cos ( b )−sin ( a ) sin ( b ) et cos ( a−b )=cos ( a ) cos ( b )+sin ( a ) sin ( b ) Par contre, le sinus est sympathique, donc : il va à la rencontre des cosinus, il ne va pas toucher au signe. D'ou : sin ( a+b )=sin ( a ) cos ( b )+sin ( b ) cos ( a ) et sin ( a−b )=sin ( a ) cos ( b )−sin ( b ) cos ( a ) VII. Équation du type cos x=cos a ou sin x =sin a a étant connu Équation cos x=cosa ; l'inconnue est x , a est un réel. sin x=sin a ; l'inconnue est x , a est un réel. Représentation graphique Interprétation Solutions Deux points, et deux seulement, ont la Deux points, et deux seulement, ont la même abscisse cos a même ordonnée sin a L'équation cos x=cosa équivaut à : x=a+2 k π x=−a+2 k π { L'équation sin x=sin a équivaut à : x=a+2 k π x=π−a+2 k π { Connaître les lignes remarquables sera d'un grand secours. Exemple : résoudre dans ℝ l'équation sin ( 3x )= 12 D'après le cercle trigonométrique ou la connaissance des lignes trigonométriques π 1 5π remarquables, on sait que le sinus vaut pour 6 ou modulo 2π . 2 6 x 1 x π x 5π sin = = [ 2 π ] ou = [2 π] ⇔ 3 2 3 6 3 6 π 5π [2 π] ⇔ x= 2 [ 2 π ] ou x= 2 π 5π +2 k π ou k ∈ℤ . L'équation a pour solutions 2 +2 k π et 2 ( ) Exercices Exercice 1 : Donner la mesure principale des angles suivants Exercice n°2 (sans calculatrice) A ; −75π 2 185π 6 Voir correction ; B 17 π 3 a aussi pour mesure 2π 3 Les angles de mesures π 2π principales et ont 3 3 le même cosinus et des sinus opposés L'angle de mesure 7π 2 − C π 3 2009 π 3 des cosinus opposés et le même sinus des cosinus opposés et des sinus opposés Les angles de mesures le même cosinus des cosinus π π et des sinus opposés et le même principales et − ont : opposés sinus 4 4 des cosinus opposés et des sinus opposés La valeur exacte de 5π sin est : 6 −√ 3 2 1 2 √2 La valeur exacte de 50π sin est : 6 1 2 √2 √3 3π ] tel que Soit x ∈[ π ; 2 2 1 sin x = alors 4 cos x ≤ 0 2 2 cos x = 2 3 4 cos x = −√ 15 4 3 cos α= √ 2 1 et sin α= 2 −√ 3 2 −1 et sin α= 2 −1 2 − 3 et sin α= √ 2 3π 5 6π 5 5π 3 Les solutions dans ]- ; ] de −1 l'équation sin x= sont : 2 −π 7π 6 et 6 − π et π 6 6 π 11 π 6 et 6 Les solutions dans ]- ; ] de 2 l'équation cos x= √ sont : 2 π 7π 4 et 4 −π π 4 et 4 π 3π 4 et 4 7π 4 3π 4 −π 4 −5 π Si = , alors : 6 La mesure en radians d'un angle de 108° est égale à Soit ( ⃗u ; ⃗v ) un angle orienté tel que 31π ( u⃗ ; ⃗v ) = . 4 Sa mesure principale est égale à cos α= cos α= Voir correction 3π −2 ] et sin x = Exercice 3 : On sait que x ∈ [ π ; 2 2 5 Déterminer cos x. Voir correction √ Exercice n°4 : Soit x un réel de [-π ; 0] tel que cos x= ( 2+ √ 6 1. Montrer que ( sin ( x ) ) = √ 2 4 ) 2−√ 6 . 4 2 puis en déduire la valeur de sin x . ( 2a. En utilisant une formule d'addition montrer que cos x+ 2b. En déduire la valeur de x . ) π 1 = . 4 2 Voir correction Réponses π Exercice 1 : − 2 Exercice 2 1B 2B π 2 3A 4A 5π 6 5C 6A-C 7B 8A 9A 10B 11C Exercice 3 : on utilise ( cos x )2 + ( sin x )2 =1 1. sin x=− 2 21 2 et ( cos x )2 + ( sin x ) 2 =1 donc ( cos x ) = 5 25 3π 21 ] donc cos x⩽0 . On en déduit que cos x= √ x ∈ [π ; 2 2 5 √ Soit x un réel de [-π ; 0] tel que cos x= Exercice 4 1. ( cos x )2 + ( sin x )2 =1 ⇔ ( (sin x )2 =1−cos x )2 cos x= √ 2−√ 6 . 4 8+2 √ 12 2−√ 6 et ( sin x )2 =1− ( cos x )2 donc sin 2 x=…= 4 16 ( 2+ 6 et après avoir développé √ √ 4 2 ) x est un réel de [-π ; 0] donc sin x⩽0 d'ou sin ( x )=− ( 2a. cos x+ ) π =cos x×cos π −sin x×sin π 4 4 4 ( ) ( 2+ √ 6 on a prouvé que ( sin ( x ) ) = √ 2 ( ) = √ 2+√ 6 4 ) 2 4 √ 2 ( cos x−sin x ) =…= √ 2 × 2 √ 2 = 1 2 2 4 2 π π π π π π 1 = ⇔ cos x+ =cos π ⇔ x+ 4 = 3 [ 2 π ] ou x+ 4 =− 3 [ 2 π ] 4 3 4 2 7π [2 π] x est un réel de [-π ; 0] donc négatif, x=− 12 ( 2b. cos x+ ) ( ) ( )