Syst`emes dynamiques (L3) 2016-2017 Integration des équations

Syst`emes dynamiques (L3) 2016-2017
Integration des ´equations du mouvement et
oscillations de petite amplitude
1 Portrait de phase du pendule
On consid`ere un pendule planaire de masse m, de longueur l, soumis `a l’acc´el´eration de la gravit´e g.
1. Ecrire le Langrangien.
2. En d´eduire une grandeur conserv´ee E.
3. Trouver la relation qui relie la vitesse angulaire ˙ θ`a l’angle du pendule θ.
4. Dessiner le portrait de phase : ˙ θen fonction de θ.
2 Equations du mouvement pour une particule dans un champ
central
On consid`ere une particule (localis´ee dans un plan, `a une distance rdu centre, avec un angle θ) soumise
`a une force centrale −αˆr/r2. Trouver la courbe param´etr´ee θ=f(r) suivant les valeurs de l’´energie et du
moment angulaire.
3 Probl`eme de Kepler
On consid`ere un champ d’attraction central d´ecrit par un potentiel U=−α/r qui impose une force sur une
particule de masse m.
1. Montrer que la particule se d´eplace sur un plan.
2. Trouver la relation qui relie la vitesse angulaire ˙ θ`a l’angle θ:p/r = 1 + ecos θ.
3. Dessiner les quatre types de trajectoires possibles en fonction de la valeur de e.
4 Oscillations de petites amplitude – le ressort
On consid`ere un objet de masse mqui se d´eplace sur une droite. Cette masse est
reli´e avec un ressort de constante de raideur k`a un point fix´e, ´eloign´e d’une distance
lde la droite. Calculer la fr´equence des oscillations pour de petites amplitudes.
5 Mol´ecule tri-atomique
D´eterminer les fr´equences et modes propres des petites oscillations d’une mol´ecule lin´eaire, tri-atomique et
sym´etrique A-B-A. On suppose que l’´energie potentielle de la mol´ecule ne d´epende que des distances A-B et
B-A et de l’angle ABA. On commence pour considered un mouvement 1D et les modes d’oscillations pour
cette configuration. Apr`es, on consid`ere que l’´energie potential est d´etermin´ee par l’angle entre A-B et B-A
(en imaginant que la distance A-B est ´equivalent `a la distance B-A).
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