TD6: Principe d`incertitude, opérateur de translation, et molécule d

Ecole Normale Supérieure de Lyon
Université de Lyon
Licence de Physique, Parcours Sciences de la Matière, A. A. 2011-2012
Première exploration du monde quantique
TD6: Principe d’incertitude, opérateur de translation, et
molécule d’ammoniac
1
Le principe d’incertitude position-impulsion et ses conséquences
L’inégalité d’Heisenberg liant les incertitudes sur la position et sur l’impulsion pour tout
état quantique,
~
∆x∆p ≥
(1)
2
induit typiquement à faire la considération suivante: si une particule est confinée sur une
échelle de longueur caractéristique ∆x, elle aura nécessairement une énergie cinétique finie,
associée à une “agitation quantique” qui persiste même dans l’état fondamental, et qu’on
appelle le “mouvement de point zéro”. On estime cette énergie cinétique comme
E0 ≈
(∆p)2
2m
(2)
avec ∆p ≈ ~/(∆x). On verra dans la suite des cours et des TDs que cette estimation est
quantitativement correcte. Ici on en explore certaines conséquences.
1.1
On considére une particule à une dimension, piégée dans un potentiel extérieur parabolique,
V (x) = (1/2)mω 2 x2 . Calculer l’incertitude ∆x qui minimise son énergie totale (le résultat
donne une longueur caractéristique, qu’on appelle la longueur de l’oscillateur harmonique).
1.2
Une des plus étonnantes conséquences de cette inégalité est la stabilité de la matière. En
effet, l’un des problèmes du début du XX siècle était qu’un électron en rotation autour
de son noyau (image classique de l’époque) devait perdre de l’énergie par rayonnement
(Bremsstrahlung) et donc s’écrouler très rapidement sur celui-ci.
En considérant l’énergie totale de l’électron
E=
p2
q2
−
2me
4π0 r
(3)
en déduire son énergie minimum, ainsi que la position correspondante, puis faites l’application
numérique dans le cas de l’atome d’hydrogène : est-ce-que ça vous rappelle quelque chose
(mettre l’énergie en eV et la position en Å, si ça peut vous aider)? Et d’où vient la stabilité
de la matière ?
1
2
Commutateur position-impulsion généralisé
En utilisant la propriété du commutateur
[ÂB̂, Ĉ] = Â [B̂, Ĉ] + [Â, Ĉ] B̂
(4)
calculer [x̂n , p̂] (Suggestion: par récurrence). Montrer donc que, pour toute fonction f (x̂)
[f (x̂), p̂] = i~ f 0 (x̂) .
3
(5)
Opérateur de translation des fonctions
Démontrer que
d
f (x − ∆x) = e−∆x dx f (x) .
4
(6)
Polarisabilité de la molécule d’ammoniac
Dans la molécule d’ammoniac NH3 les hydrogènes forment un triangle équilatéral, et l’azote
occupe une position au dessus ou en dessous du centre du triangle. Si la molécule a une
faible énergie d’excitation, on peut modéliser l’espace d’Hilbert associé aux mouvements de
vibration comme restreint à deux seuls états, “up” |U i et “down” |Di, comme montré en
figure. Même si une barrière d’énergie separe les deux états, l’atome d’azote peut “tunneler”
entre U et D, comme on apprendra dans la suite du cours et des TDs. Le Hamiltonien du
système peut être donc decrit dans la forme suivante (à justifier):
Ĥ0 = −η (|U ihD| + |DihU |) + E0 (|U ihU | + |DihD|)
(7)
N
d�
H
H
d�
|U �
H
|D�
Figure 1: Deux états de la molécule d’ammoniac NH3 - la flèche indique le moment dipolaire
associé.
4.1
Diagonaliser le Hamiltonien et calculer ses vecteurs propres. Ecrire le Hamiltonien en terme
de matrices de Pauli et de l’identité. Est-ce que ce Hamiltonien vous est familier? Quelle
serait l’évolution du système si au temps t = 0 on prépare la molécule dans l’état |U i?
4.2
On considère l’opérateur moment de dipole électrique:
dˆ = d0 (|DihD| − |U ihU |)
ˆ = 0 pour les deux états propres de Ĥ0 .
Montrer que hdi
2
(8)
4.3
Si on applique un champ électrique E à la molécule, son Hamiltonien se transforme en
Ĥ = Ĥ0 − E dˆ .
(9)
Diagonaliser le Hamiltonien et calculer les valeurs propres. (Suggestion: exprimer le nouveau Hamiltonien via des matrices de Pauli). Tracer les énergies des deux états propres en
fonctions de E. Pourquoi est-ce que, à votre avis, on parle d’un “croisement de niveaux
évité”?
4.4
Montrer que, pour un état |ψi quelconque
ˆψ =−
hdi
∂hĤiψ
.
∂E
(10)
En déduire le moment de dipole associé aux deux états propres.
Dans la limite des faibles champs d0 E η, calculer la polarisabilité de la molécule, χ =
ˆ
(∂hdi/∂E)
E=0 pour les deux états propres. Discuter sa dépendence en η.
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