TD6: Principe d`incertitude, opérateur de translation, et molécule d

Ecole Normale Sup´erieure de Lyon Universit´e de Lyon
Licence de Physique, Parcours Sciences de la Mati`ere, A. A. 2011-2012
Premi`ere exploration du monde quantique
TD6: Principe d’incertitude, op´erateur de translation, et
mol´ecule d’ammoniac
1 Le principe d’incertitude position-impulsion et ses cons´equences
L’in´egalit´e d’Heisenberg liant les incertitudes sur la position et sur l’impulsion pour tout
´etat quantique,
∆x∆p≥~
2(1)
induit typiquement `a faire la consid´eration suivante: si une particule est confin´ee sur une
´echelle de longueur caract´eristique ∆x, elle aura n´ecessairement une ´energie cin´etique finie,
associ´ee `a une “agitation quantique” qui persiste mˆeme dans l’´etat fondamental, et qu’on
appelle le “mouvement de point z´ero”. On estime cette ´energie cin´etique comme
E0≈(∆p)2
2m(2)
avec ∆p≈~/(∆x). On verra dans la suite des cours et des TDs que cette estimation est
quantitativement correcte. Ici on en explore certaines cons´equences.
1.1
On consid´ere une particule `a une dimension, pi´eg´ee dans un potentiel ext´erieur parabolique,
V(x) = (1/2)mω2x2. Calculer l’incertitude ∆xqui minimise son ´energie totale (le r´esultat
donne une longueur caract´eristique, qu’on appelle la longueur de l’oscillateur harmonique).
1.2
Une des plus ´etonnantes cons´equences de cette in´egalit´e est la stabilit´e de la mati`ere. En
effet, l’un des probl`emes du d´ebut du XX si`ecle ´etait qu’un ´electron en rotation autour
de son noyau (image classique de l’´epoque) devait perdre de l’´energie par rayonnement
(Bremsstrahlung) et donc s’´ecrouler tr`es rapidement sur celui-ci.
En consid´erant l’´energie totale de l’´electron
E=p2
2me−q2 4π0r(3)
en d´eduire son ´energie minimum, ainsi que la position correspondante, puis faites l’application
num´erique dans le cas de l’atome d’hydrog`ene : est-ce-que ¸ca vous rappelle quelque chose
(mettre l’´energie en eV et la position en ˚ A, si ¸ca peut vous aider)? Et d’o`u vient la stabilit´e
de la mati`ere ?
1

2 Commutateur position-impulsion g´en´eralis´e
En utilisant la propri´et´e du commutateur
[ˆ Aˆ B, ˆ C] = ˆ A[ˆ B, ˆ C]+[ˆ A, ˆ C]ˆ B(4)
calculer [ˆxn,ˆp] (Suggestion: par r´ecurrence). Montrer donc que, pour toute fonction f(ˆx)
[f(ˆx),ˆp] = i~f0(ˆx).(5)
3 Op´erateur de translation des fonctions
D´emontrer que
f(x−∆x) = e−∆xd
dx f(x).(6)
4 Polarisabilit´e de la mol´ecule d’ammoniac
Dans la mol´ecule d’ammoniac NH3les hydrog`enes forment un triangle ´equilat´eral, et l’azote
occupe une position au dessus ou en dessous du centre du triangle. Si la mol´ecule a une
faible ´energie d’excitation, on peut mod´eliser l’espace d’Hilbert associ´e aux mouvements de
vibration comme restreint `a deux seuls ´etats, “up” |Uiet “down” |Di, comme montr´e en
figure. Mˆeme si une barri`ere d’´energie separe les deux ´etats, l’atome d’azote peut “tunneler”
entre Uet D, comme on apprendra dans la suite du cours et des TDs. Le Hamiltonien du
syst`eme peut ˆetre donc decrit dans la forme suivante (`a justifier):
ˆ
H0=−η(|UihD|+|DihU|) + E0(|UihU|+|DihD|) (7)
|U�
|D�
�
d
�
d
HH
H
N
Figure 1: Deux ´etats de la mol´ecule d’ammoniac NH3- la fl`eche indique le moment dipolaire
associ´e.
4.1
Diagonaliser le Hamiltonien et calculer ses vecteurs propres. Ecrire le Hamiltonien en terme
de matrices de Pauli et de l’identit´e. Est-ce que ce Hamiltonien vous est familier? Quelle
serait l’´evolution du syst`eme si au temps t= 0 on pr´epare la mol´ecule dans l’´etat |Ui?
4.2
On consid`ere l’op´erateur moment de dipole ´electrique:
ˆ
d=d0(|DihD|−|UihU|) (8)
Montrer que hˆ di= 0 pour les deux ´etats propres de ˆ H0.
2

4.3
Si on applique un champ ´electrique E`a la mol´ecule, son Hamiltonien se transforme en
ˆ
H=ˆ H0−Eˆ d . (9)
Diagonaliser le Hamiltonien et calculer les valeurs propres. (Suggestion: exprimer le nou-
veau Hamiltonien via des matrices de Pauli). Tracer les ´energies des deux ´etats propres en
fonctions de E. Pourquoi est-ce que, `a votre avis, on parle d’un “croisement de niveaux
´evit´e”?
4.4
Montrer que, pour un ´etat |ψiquelconque
hˆ diψ=−∂hˆ
Hiψ
∂E .(10)
En d´eduire le moment de dipole associ´e aux deux ´etats propres.
Dans la limite des faibles champs d0Eη, calculer la polarisabilit´e de la mol´ecule, χ=
(∂hˆ di/∂E)E=0 pour les deux ´etats propres. Discuter sa d´ependence en η.
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