Tds

Universit´es Aix–Marseille I et III Licence 3 math-info
CMI TD d’alg`ebre et g´eom´etrie
1 Arithm´etique
Exercice 1 : On consid`ere Zmuni de sa structure de groupe.
– Montrer que les sous groupes de Zsont de la forme nZavec nentier
naturel.
– Montrer que les sous-groupes nZsont tous distingu´es.
Exercice 2 : Dresser la table des groupes suivants
Z/4Z,Z/5Z,Z/8Z.
En omettant 0 ces ensembles ont ils une structure de groupe pour la multi-
plication ?
Exercice 3 :
1. Montrer que l’intersection de deux sous-groupes de Zest un sous-groupe
de Z. Caract´eriser le sous-groupe aZ∩bZ. Caract´eriser les sous-groupes
suivants :
2Z∩3Z; 5Z∩13Z; 5Z∩25Z.
2. Montrer que toute intersection de sous-groupes de Zest un sous-groupe
de Z. Caract´eriser les sous-groupes suivants :
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\
n=1
2nZ; 4Z∩6Z∩8Z∩19Z∩35Z.
Exercice 4 :
1. D´eterminer 2Z∪3Z. Est-ce un sous-groupe de Z?
2. D´eterminer : 7Z∪49Z; 5Z∪45Z;S28
n=1 2nZ. Ces ensembles sont-ils des
sous-groupes de Z?
3. Trouver une condition n´ecessaire et suffisante pour qu’une r´eunion de
deux sous-groupes de Zsoit un sous-groupe de Z.
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Exercice 5 : Soient Xet Ydeux parties de R, on d´efinit
X+Y={x+y, avec x ∈X, y ∈Y}.
1. Soient aet bdeux entiers relatifs. Montrer que aZ+bZest un sous-
groupe de Z.
2. Montrer que 2Z+ 3Z=Z.
3. D´eterminer 2Z+ 2Z, 2Z+ 4Z, 2Z+ 5Z.
4. Comment caract´eriser aZ+bZdans le cas g´en´eral ?
2 Groupes, th´eorie g´en´erale
Exercice 6 : Construire, `a isomorphisme pr`es, les groupes `a n´el´ements pour
1≤n≤4.
Exercice 7 : Soient les quatre fonctions de R∗dans R∗
f1(x) = x f2(x) = 1
xf3(x) = −x f4(x) = −1 x
Montre que G={f1, f2, f3, f4}est un groupe pour la loi ◦.
Exercice 8 : Les ensembles suivants, pour les lois consid´er´ees, sont-ils des
groupes ?
1. ] −1,1[ muni de la loi d´efinie par x?y=x+y
1+xy ;
2. {z∈C:|z|= 2}pour la multiplication usuelle ;
3. R+pour la multiplication usuelle ;
4. L’ensemble des fonctions
f:R7→ R
x7→ ax +b
a∈R\ {0}, b ∈R,pour la loi de composition des applications.
Exercice 9 : Soit le groupe G=Z/12Z.
1. D´eterminer le sous-groupe Hde Gengendr´e par 6 et 8 et d´eterminer
son ordre.
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2. Caract´eriser les g´en´erateurs de G.
3. Quel est l’ordre de l’´el´ement 9 ?
Exercice 10 : Soit Gun groupe et Hune partie finie, non vide, de Gstable
pour la loi ., montrer que Hest un sous-groupe de G.
Exercice 11 : Soit Gun groupe fini de cardinal net mun entier premier
avec n. Montrer que, pour tout y´el´ement de G, il existe un unique x´el´ement
de Gtel que xm=y.
[[Utiliser le th´eor`eme de Bezout.]]
Exercice 12 : Soit (G, .) un groupe fini de cardinal n. On suppose que, tout
x´el´ement de G, satisfait l’´egalit´e x2=e.
1. Montrer que Gest un groupe commutatif.
2. Soit A={a1, . . . , ap}une partie g´en´eratrice de G, montrer que :
∀x∈G, ∃(1, . . . , p)∈(Z/2Z)ptels que, x=a1
1. . . a1
p.
3. On suppose, dans les questions suivantes, que Aest une partie g´en´eratrice
de cardinal minimum p. Montrer que l’´ecriture :
x=a1
1. . . a1
p
est unique.
4. Soit Φ l’application d´efinie par :
Φ : G→(Z/2Z)p
x7→ (1, . . . , p).
Montrer que Φ est bien d´efinie et que c’est un isomorphisme de groupes.
En d´eduire que le cardinal de Gest 2p.
Exercice 13 : Soit pun nombre premier fix´e, soit
Up={exp(2iπa
pα), a ∈Z,PGCD(a, p)=1, α ∈N}
1. Montrer que Upest un groupe infini dont tous les ´el´ements sont d’ordre
fini. Trouver l’ordre de exp(2iπa
pα), pour aentier premier avec pet pour
α∈N.
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2. Montrer que tout sous-groupe strict de Upest cyclique.
[[Soit Hun sous-groupe de Up. Montrer tout d’abord que, si x=
exp(2iπa
pα) appartient `a Halors, tout z=exp(2iπb
pβ) avec β≤αap-
partient `a H. ]]
Exercice 14 : Soit Gun groupe et Σ1, . . . Σndes morphismes distincts de
Gdans (C∗,×). Montrer que Σ1,...,Σnsont lin´eairement ind´ependants sur
Cdans l’espace vectoriel des fonctions de G`a valeurs dans C.
[[On pourra faire intervenir une combinaison lin´eaire des (Σi) de cardinal
minimum.]]
3 Morphisme de groupes
Exercice 15 : D´ecrire tous les homomorphismes de groupes de Zdans Z.
D´eterminer ceux qui sont injectifs et ceux qui sont surjectifs.
Exercice 16 : Pour tout couple (a, b) de R2, on pose la matrice Ma,b =
a−b
b a .Soit S={Ma,b : (a, b)∈R2\ {(0,0)}}. Soit l’application f:S →
R, Ma,b 7→ a2+b2.
1. Montrer que Sest un groupe pour la loi usuelle de multiplication des
matrices carr´ees.
2. Montrer que fest un morphisme du groupe (S,×) dans le groupe
multiplicatif R\ {(0,0)}.
Exercice 17 : Soit f:R→C∗l’application qui `a tout x∈Rassocie
eix ∈C∗. Montrer que fest un homomorphisme de groupes. Calculer son
noyau et son image. fest-elle injective ?
Exercice 18 : Traduire en termes d’homomorphisme de groupes les pro-
pri´et´es traditionnelles suivantes :
1. ln(xy) = ln x+ ln y;
2. det(MM0) = det(M) det(M0) ;
3. |zz0|=|z||z0|;
4. (xy)1
2=x1 2y1 2;
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5. ez+z0=ezez0;
6. z+z0=z+z0.
Exercice 19 : Pour tout couple (a, b) de R2, on pose Ma,b =a−b
b a ,S=
{Ma,b : (a, b)∈R2}et S∗=S \ {M0,0}.Soit l’application f:S → C, Ma,b 7→
a+ib.
1. (a) Montrer que Sest un sous-groupe du groupe additif usuel M2(R).
(b) Montrer que S∗est un sous-groupe multiplicatif de GL2(R).
2. Montrer que fest un isomorphisme du groupe (S,+) sur le groupe
additif C.
3. (a) Montrer que fd´efinit un homomorphisme du groupe (S∗,×) sur
le groupe multiplicatif C∗.
(b) D´eterminer le noyau et l’image de cet homomorphisme.
4. Montrer que Ω = {Ma,b : (a, b)∈R2, a2+b2= 1}est un sous-groupe
distingu´e du groupe multiplicatif S∗.
Exercice 20 : Soit Gun groupe. Montrer que l’application x→x−1est un
morphisme si et seulement si Gest commutatif. On suppose Gfini ; soit φ
un morphisme involutif de Gdont le seul point fixe est e, montrer que :
∀z∈G, ∃t∈G, z =t(φ(t))−1.
En d´eduire φpuis que Gest commutatif.
Exercice 21 : Montrer que les groupes (R,+) et (R∗
+,×) sont isomorphes.
Exercice 22 : Soit Gun groupe.
1. Montrer que l’ensemble des automorphismes de Gmuni de la loi de
composition des applications est un groupe. Ce groupe est not´e Aut (G).
2. V´erifier que l’application φ:G→Aut (G) qui associe `a g∈Gl’applica-
tion φg:G→G, x 7→ gxg−1est un morphisme de groupes. D´eterminer
son noyau Z(G),dit centre de G.
3. D´eterminer Aut (Q) et Aut (Z).
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