Exercices : groupes (I)

Exercices : groupes (I)
D. Harari
Agr´egation
1. Soit Gle groupe ab´elien Z/2Z×Z/2Z, muni de la loi +, qu’on peut
aussi voir comme un espace vectoriel sur le corps Z/2Z.
a) Montrer que si f:G→Gest un morphisme de groupes, alors fest
aussi un morphisme de Z/2Z-espaces vectoriels.
b) En d´eduire que le groupe Aut Gdes automorphismes du groupe Gest
isomorphe `a GL2(Z/2Z) (il est donc non commutatif, bien que Gle soit).
2. Soit Gun groupe. Les applications suivantes de Gdans Gsont-elles
toujours des morphismes ?
a) x7→ ax, o`u a∈Gest fix´e.
b) x7→ xnpour n∈N∗.
c) x7→ x−1.
3. a) Montrer que l’intersection d’une famille quelconque de sous-groupes
d’un groupe Gest aussi un sous-groupe.
b) Soient Aet Bdeux sous-groupes d’un groupe G. Montrer que A∪B
n’est pas un sous-groupe, sauf si on a A⊂Bou B⊂A.
4. Soit Kun corps. Soit Aune partie de Mn(K) telle que Asoit un groupe
pour la multiplication des matrices. Aest-elle toujours un sous-groupe de
GLn(K) ?
5. Soit (A, +) un groupe ab´elien.
a) Soit n > 0. Montrer que l’ensemble A[n] := {x∈A, nx = 0}est un
sous-groupe de A, appel´e sous-groupe de n-torsion de A.
b) Montrer que Ators := Sn>0A[n] est un sous-groupe de A, appel´e sous-
groupe de torsion de A.
c) Quel est le cardinal de Ators lorsque A=R? Lorsque A=K, o`u K
est un corps commutatif quelconque ?
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6. Montrer que le groupe additif Qn’est pas engendr´e par une partie
finie.
7. Soit Gun groupe. Soit Hun sous-groupe de G. Montrer que aH 7→
Ha−1est une bijection de l’ensemble G/H des classes `a gauche sur l’ensemble
H\Gdes classes `a droite. Le cardinal de ces ensembles, s’il est fini, se note
[G:H] et s’appelle l’indice de Hdans G(c’est aussi l’ordre du groupe G/H
si Hest distingu´e dans G).
8. Soit Gun groupe.
a) Montrer que si Hest distingu´e dans G. alors on a f(H) = Hpour tout
automorphisme int´erieur fde G.
b) Montrer qu’une intersection de sous-groupes distingu´es est encore un
sous-groupe distingu´e.
c) On prend G=S4. On fixe une double transposition τde G. Soit Hle
sous-groupe de Gconstitu´e de l’identit´e et des doubles transpositions. Soit
Kle sous-groupe {id, τ}de G. Montrer que K⊳H,H⊳G, mais Kn’est
pas distingu´e dans G.
d) Soient Hun sous-groupe de Get Kun sous-groupe caract´eristique de
H. Montrer que si Hest distingu´e (resp. caract´eristique) dans G, alors Kest
distingu´e (resp. caract´eristique) dans G.
9. Soient Het Ndeux groupes. On dit qu’un groupe Eest une extension
de Hpar Ns’il existe un morphisme surjectif E→Hdont le noyau est
isomorphe `a N(voir aussi l’exercice 3 de la feuille II). Montrer que les groupes
Z/2Z×Z/2Zet Z/4Zsont tous deux des extensions de Z/2Zpar Z/2Z.
10. Soit n≥3. Montrer que le centre de Snest r´eduit `a l’identit´e (Utiliser
la formule στσ−1= (σ(a), σ(b)) pour σ∈ Snet τ= (a, b) transposition).
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