Feuille 5 - Institut de Mathématiques de Bordeaux

Année universitaire 2016-2017
Licence 2 de mathématiques
Structures algébriques 1 - Feuille 5
Exercice 1
Soient Gun groupe et gun élément de G. Soit Hun sous-groupe de Gd’indice
fini n. Démontrer qu’il existe k∈ {1,· · · , n}tel que gk∈H.
Exercice 2
Soit Gun groupe. Prouver que l’application G→Gqui à gassocie g2est un
morphisme de groupes si et seulement si Gest abélien.
Exercice 3
On munit l’intervalle I=] −1,+∞[de la loi de groupe ⊗définie par la for-
mule x⊗y=xy +x+y(cf exercice 8 de la feuille 1). Montrer que l’application
f:R→Iqui à xassocie ex−1est un isomorphisme de groupes.
Exercice 4
Soient Gun groupe et Nun sous-groupe de Gd’indice 2.
a. Démontrer que Nest distingué dans G.
b. Soit Hun sous-groupe simple de Gd’ordre ≥3. Prouver que H⊂N.
c. Soit nun entier ≥2. Montrer que si G=Sn, alors N=An;indication :
on pourra utiliser l’exercice 3.2 de la feuille 3.
Exercice 5 : normalisateur
Soient Gun groupe et Hun sous-groupe de G. On note Nl’ensemble des
g∈Gtels que gHg−1=H.
a. Vérifier que Nest un sous-groupe de Gcontenant Het que Hest distingué
dans N.
b. Soit Kun sous-groupe de Gcontenant H. Montrer que K⊂Nsi et seule-
ment si Hest distingué dans K.
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Exercice 6
Soit Gun groupe. Soient Het Kdeux sous-groupes finis distingués de G. On
suppose #Het #Kpremiers entre eux.
a. Soient h∈Het k∈K. Démontrer que hk =kh ;indication : on pourra
commencer par établir que hkh−1k−1∈H∩K.
b. Construire un morphisme injectif de groupes H×K→G.
Exercice 7 : structure de certains p-groupes
Soient pun nombre premier et (A, +) un groupe abélien tel que px = 0 pour
tout x∈A.
a. Prouver que Apeut être muni d’une structure de Z/pZ-espace vectoriel.
b. En déduire que si Aest de plus fini, alors Aest isomorphe à (Z/pZ)npour
un certain entier naturel n.
Exercice 8
Soient Gun groupe et Hun sous-groupe distingué de G. On suppose H
d’ordre 2. Montrer que Hest contenu dans le centre de G.
Exercice 9
a. Soit nun entier ≥1. Déterminer le centre du groupe GLn(R).
b. Soit nun entier ≥4. Démontrer que le centre de Anest trivial ; indication :
on pourra commencer par le cas n= 4.
Exercice 10
Soient mun entier impair ≥3et Gun groupe d’ordre 2m. On choisit un
élément g∈Gd’ordre 2 (cf exercice 14 de la feuille 1).
a. Prouver que l’application σ:G→Gqui à xassocie gx est une permutation
impaire de G.
b. En déduire que le groupe Gn’est pas simple ; indication : on pourra d’abord
construire un morphisme injectif G→ S2m.
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