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UNIVERSIT´ E DE NICE SOPHIA ANTIPOLIS 2014/2015
Facult´e des Sciences Pr´eparation `a l’agr´egation
D´epartement de Math´ematiques T. D. Arithm´etique
Exercice 1.
a) Soit pun nombre premier impair et r∈N,r > 0. Soit xun entier non multiple de pet soit tun
´el´ement de Z/prZtel que t2≡x[pr]. Montrer qu’il existe un unique ´el´ement t0∈Z/pr+1Ztel que
t0≡t[pr] et t02≡x[pr+1].
b) Soit toujours pun nombre premier et soit pr,r > 1 une puissance de p. Soit xun entier non multiple
de p. Montrer que xest un carr´e modulo prsi et seulement si xest un carr´e modulo p.
c) D´eterminer les ´el´ements de Z/125Zdont le carr´e est ´egal `a −1.
d) Montrer qu’un entier impair xest un carr´e modulo 2r(r≥3) si et seulement si x≡1[8].
Exercice 2.
(Petit th´eor`eme de Fermat, nombres pseudo-premiers et nombres de Carmichael). [Gourdon p.35], [De-
mazure]
a) [Petit th´eor`eme de Fermat] Montrer que pour pun nombre premier et aun nombre premier `a p
ap−1≡1 [p]
Soit un nombre entier a≥2. Un nombre entier nest dit pseudo-premier en base asi nn’est pas premier
et s’il v´erifie an−1≡1[n] .
b) Soit pun nombre premier impair qui ne divise pas a(a2−1). Montrer que n:= (a2p−1)/(a2−1)
est un nombre pseudo-premier en base a.
c) En d´eduire que pour tout a≥2, il existe une infinit´e de nombres pseudo-premiers en base a.
Un nombre de Carmichael est un entier n≥2, qui n’est pas un nombre premier et qui v´erifie an−1≡1[n],
pour tout entier apremier avec n. (Ce qui revient `a dire que nest un nombre pseudo-premier en base a,
pour tout entier apremier avec n).
d) Soit n=p1· · · pk, avec les pipremiers et distincts. Montrer que si pi−1|n−1, pour tout 1 ≤i≤k,
alors nest un nombre de Carmichael.
e) R´eciproquement, montrer que tout nombre de Carmichael est de la forme n=p1· · · pko`u les pi
sont premiers et distincts o`u pi−1|n−1,pour tout 1 ≤i≤k.
f) Montrer qu’un nombre de Carmichael a au moins 3 facteurs premiers.
g) Montrer qu’un nombre de Carmichael est impair.
h) Donner le plus petit nombre de Carmichael.
i) Soit n=pqr un nombre de Carmichael `a 3 facteurs premiers p < q < r. Si pest fix´e, montrer que
qet rsont born´es.
j) Montrer l’enonc´e suivant.
Soit nun entier impair tel que a(n−1)/2≡ ±1[n]pour tout apremier `a n. S’il existe un tel aque
a(n−1)/2≡ −1[n]alors nest premier.
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Exercice 3.
(Cryptographie : le syst`eme RSA, Rivest-Shamir-Adelman 1978). [Gourdon p.34 et Hindry p.39-40] ,
[Demazure]
Soient pet qdeux nombres premiers distincts ; on pose n=pq. Soient cet ddeux entiers tels que
cd ≡1[ϕ(n)].
a) (1) Montrer que tcd ≡t[n].
Supposons que net csoient connus (clef publique). Tout le monde peut alors coder un message t∈Zen
appliquant la fonction t→tc∈Z/nZ.
b) Expliquer comment on d´ecode ce message.
c) Expliquer en quoi ce syst`eme de cryptage est particuli´erement difficile `a attaquer.
d) Peut-on coder sans risque tous les messages t∈Z?
Exercice 4. (Repartition des nombres premiers). [Francinou-Gianella p.89 et Gourdon p.13 et p.48-49]
On note pnle n-i`eme nombre premier et π(x) le nombre de nombres premiers inf´erieurs ou ´egaux `a x.
a) Montrer que pn+1 ≤p1...pn+ 1 et que pn<22n.
b) En deduire que, pour xassez grand, on a ln ln x≤π(x)≤x.
Cet encadrement est tr`es grossier. Le theor`eme des nombres premiers [Hadamard et de la Vall´ee
Poussin, 1896] affirme que π(x)≈x
ln x.
c) Montrer quil existe une infinit´e de nombres premiers de la forme 6k−1.
d) Soit p > 3 un nombre premier. Montrer que −3 est un carr´e dans Fpsi et seulement si p≡1[6].
[On pourra utiliser la loi de r´eciprocit´e quadratique.]
e) En d´eduire qu’il existe une infinit´e de nombres premiers de la forme 6k+ 1.
f) Soit p > 5 un nombre premier. Montrer que 5 est un carr´e dans Fpsi et seulement si p≡ ±1[10].
[On pourra utiliser la loi de r´eciprocit´e quadratique.]
g) En d´eduire qu’il existe une infinit´e de nombres premiers de la forme 10k−1.
h) Montrer qu’il existe une infinit´e de nombres premiers de la forme 4k+ 3.
i) Soit pun nombre premier impair divisant a2+b2, o`u a∧b= 1.
(a) Montrer que p≡1[4].
(b) En d´eduire qu’il existe une infinit´e de nombres premiers de la forme 8k+ 5.
Tous ces exemples se g´en´eralisent dans le th´eor`eme de Dirichlet [1838] : Pour toute paire n∧m= 1 de
nombres entiers premiers entre eux, il existe infinit´e de nombres premiers de la forme n+km, o`u kest
un entier positif.
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