UNIVERSITÉ DE NICE SOPHIA ANTIPOLIS Faculté des Sciences Département de Mathématiques 2014/2015 Préparation à l’agrégation T. D. Arithmétique Exercice 1. a) Soit p un nombre premier impair et r ∈ N, r > 0. Soit x un entier non multiple de p et soit t un élément de Z/pr Z tel que t2 ≡ x[pr ]. Montrer qu’il existe un unique élément t0 ∈ Z/pr+1 Z tel que t0 ≡ t[pr ] et t02 ≡ x[pr+1 ]. b) Soit toujours p un nombre premier et soit pr , r > 1 une puissance de p. Soit x un entier non multiple de p. Montrer que x est un carré modulo pr si et seulement si x est un carré modulo p. c) Déterminer les éléments de Z/125Z dont le carré est égal à −1. d) Montrer qu’un entier impair x est un carré modulo 2r (r ≥ 3) si et seulement si x ≡ 1[8]. Exercice 2. (Petit théorème de Fermat, nombres pseudo-premiers et nombres de Carmichael). [Gourdon p.35], [Demazure] a) [Petit théorème de Fermat] Montrer que pour p un nombre premier et a un nombre premier à p ap−1 ≡ 1 [p] Soit un nombre entier a ≥ 2. Un nombre entier n est dit pseudo-premier en base a si n n’est pas premier et s’il vérifie an−1 ≡ 1[n] . b) Soit p un nombre premier impair qui ne divise pas a(a2 − 1). Montrer que n := (a2p − 1)/(a2 − 1) est un nombre pseudo-premier en base a. c) En déduire que pour tout a ≥ 2, il existe une infinité de nombres pseudo-premiers en base a. Un nombre de Carmichael est un entier n ≥ 2, qui n’est pas un nombre premier et qui vérifie an−1 ≡ 1[n], pour tout entier a premier avec n. (Ce qui revient à dire que n est un nombre pseudo-premier en base a, pour tout entier a premier avec n). d) Soit n = p1 · · · pk , avec les pi premiers et distincts. Montrer que si pi − 1|n − 1, pour tout 1 ≤ i ≤ k, alors n est un nombre de Carmichael. e) Réciproquement, montrer que tout nombre de Carmichael est de la forme n = p1 · · · pk où les pi sont premiers et distincts où pi − 1|n − 1,pour tout 1 ≤ i ≤ k. f) Montrer qu’un nombre de Carmichael a au moins 3 facteurs premiers. g) Montrer qu’un nombre de Carmichael est impair. h) Donner le plus petit nombre de Carmichael. i) Soit n = pqr un nombre de Carmichael à 3 facteurs premiers p < q < r. Si p est fixé, montrer que q et r sont bornés. j) Montrer l’enoncé suivant. Soit n un entier impair tel que a(n−1)/2 ≡ ±1[n] pour tout a premier à n. S’il existe un tel a que a(n−1)/2 ≡ −1[n] alors n est premier. 1 Exercice 3. (Cryptographie : le système RSA, Rivest-Shamir-Adelman 1978). [Gourdon p.34 et Hindry p.39-40] , [Demazure] Soient p et q deux nombres premiers distincts ; on pose n = pq. Soient c et d deux entiers tels que cd ≡ 1[ϕ(n)]. a) (1) Montrer que tcd ≡ t[n]. Supposons que n et c soient connus (clef publique). Tout le monde peut alors coder un message t ∈ Z en appliquant la fonction t → tc ∈ Z/nZ. b) Expliquer comment on décode ce message. c) Expliquer en quoi ce système de cryptage est particuliérement difficile à attaquer. d) Peut-on coder sans risque tous les messages t ∈ Z ? Exercice 4. (Repartition des nombres premiers). [Francinou-Gianella p.89 et Gourdon p.13 et p.48-49] On note pn le n-ième nombre premier et π(x) le nombre de nombres premiers inférieurs ou égaux à x. n a) Montrer que pn+1 ≤ p1 ...pn + 1 et que pn < 22 . b) En deduire que, pour x assez grand, on a ln ln x ≤ π(x) ≤ x. Cet encadrement est très grossier. Le theorème des nombres premiers [Hadamard et de la Vallée Poussin, 1896] affirme que π(x) ≈ lnxx . c) Montrer quil existe une infinité de nombres premiers de la forme 6k − 1. d) Soit p > 3 un nombre premier. Montrer que −3 est un carré dans Fp si et seulement si p ≡ 1[6]. [On pourra utiliser la loi de réciprocité quadratique.] e) En déduire qu’il existe une infinité de nombres premiers de la forme 6k + 1. f) Soit p > 5 un nombre premier. Montrer que 5 est un carré dans Fp si et seulement si p ≡ ±1[10]. [On pourra utiliser la loi de réciprocité quadratique.] g) En déduire qu’il existe une infinité de nombres premiers de la forme 10k − 1. h) Montrer qu’il existe une infinité de nombres premiers de la forme 4k + 3. i) Soit p un nombre premier impair divisant a2 + b2 , où a ∧ b = 1. (a) Montrer que p ≡ 1[4]. (b) En déduire qu’il existe une infinité de nombres premiers de la forme 8k + 5. Tous ces exemples se généralisent dans le théorème de Dirichlet [1838] : Pour toute paire n ∧ m = 1 de nombres entiers premiers entre eux, il existe infinité de nombres premiers de la forme n + km, où k est un entier positif. 2