Correction (ou réponses rapides) de la feuille TD 5 : probabilités

Université de Nice-Sophia Antipolis -L2 MASS - Probabilités
Correction (ou réponses rapides) de la feuille TD 5 : probabilités continues
Attention, la correction peut contenir des erreurs de calcul. Ecrivez-moi si vous ne com-
prenez pas.
Exercice 1 :
Calculer la fonction de répartition d’une variable aléatoire Xde loi uniforme sur ]0,1[. Quelle
est la probabilité que Xsoit dans l’intervalle ]1/4,3/4[, dans l’intervalle [1/2,3], dans l’intervalle
]−5,1/3] ?
FX(x) = 0 si x < 0
FX(x) = xsi 0≤x < 1
FX(x) = 1 si x≥1
P(X∈]1/4,3/4[) = 1/2 ; P(X∈]1/2,3[) = 1/2 ; P(X∈]−5,1/3[) = 1/3
Exercice 2 :
Calculer la fonction de répartition de la loi exponentielle de paramètre λ > 0.
C’est du cours !
F(x) = 0 si x < 0, F (x)=1−e−λx si x≥0.
Exercice 3 :
Etant donnée une variable aléatoire Xde loi uniforme sur ]0,1[, donner la loi de la variable
λX +µpour λet µdeux réels.
Méthode. On écrira, pour a < b,
P{a≤λX +µ≤b},
comme l’intégrale entre aet bd’une fonction de densité. On utilisera pour cela le changement
de variable y=λx +µ.
On pose Y=λX +µ(Yest une variable aléatoire). On suppose λ > 0(sinon il faut juste
faire attention aux bornes des intégrales). Par définition de la densité de Y, notée fY, on a
P(Y∈[a, b]) = Zb
a
fY(y)dy
Par ailleurs :
P(Y∈[a, b]) = P(λX +µ∈[a, b])
=P(X∈[(a−µ)/λ, (b−µ)/λ]
=Z(b−µ)/λ
(a−µ)/λ
fX(x)dx
=Zb
a
fX((y−µ)/λ)dy/λ
1

On a utilisé un changement de variable dans la dernière égalité. Cette égalité est vraie pour
tous aet b. En comparant avec la définition de fY, on voit donc que
fY(y) = fX((y−µ)/λ)/λ
Donc fY(y) = 0 si y < µ,fY(y) = 0 si y > µ +λ,fY(y) = 1/λ sinon. Yest donc une v.a. de
loi uniforme sur l’intervalle [µ, µ +λ].
Exercice 4
Etant donnée une variable aléatoire Xde loi exponentielle de paramètre 1, donner la loi de
λ−1X, pour λréel strictement positif.
Méthode. On écrira, pour a < b,
P{a≤λ−1X≤b},
comme l’intégrale entre aet bd’une fonction de densité. On utilisera pour cela le changement
de variable y=λ−1x.
Même méthode. On pose Y=X/λ.
P(Y∈[a, b]) = P(X/λ ∈[a, b])
=P(X∈[λa, λb]
=Zλb
λa
fX(x)dx
=Zb
a
fX(λy)dy ×λ
Comme à l’exercice précédent, on en déduit
fY(y) = fX(λy)λ
Donc fY(y)=0si y < 0, et fY(y) = λe−λy si y≥0. Donc Yest une v.a. de loi exponentielle
de paramètre λ.
Exercice 5
Etant donnée une variable aléatoire Xde loi gaussienne centrée réduite, i.e. de loi de densité
x∈R7→ 1
√2πexp−x2
2.
donner la loi de m+σX, pour mréel et σréel strictement positif.
Méthode. On écrira, pour a < b,
P{a≤m+σX ≤b},
comme l’intégrale entre aet bd’une fonction de densité. On utilisera pour cela le changement
de variable y=m+σx.
C’est encore le même principe; on trouve que Y=m+σX est une v.a. de loi N(m, σ2).
Exercice 6
Une machine-outil débite des plaques carrées dont le côté, mesuré en centimètres, est une v.a.
2

Xde loi U([9,11]).
a. Donner la densité de probabilité de la variable aléatoire Sreprésentant la surface d’un carré.
On a S=X2. Toujours la même méthode pour calculer la densité de S. Bien sûr, Sne prend
que des valeurs positives. Soient donc aet bpositifs; on a :
P(S∈[a, b]) = P(X2∈[a, b])
=P(X∈[√a, √b]
=Z√b
√a
fX(x)dx
=Zb
a
fX(√y)dy/(2√y)
On en déduit que fY(y) = 1/(4√y)si y∈[92,112], et 0sinon.
b. En utilisant le a., calculer la probabilité qu’un carré ait une surface au moins égale à
110 centimètre carrés.
P(S≥110) = Z112
110
dy
4√y= [√y/2]112
110 = 5.5−√110/2'0.256
c. Calculer directement à partir de la loi de X, la même probabilité qu’au b. et vérifier en
comparant les résultats.
P(S≥110) = P(X2≥110) = P(X≥√110) = 1
2(11 −√110) '0.256
Exercice 7
Soit Xune v.a. de loi U([0,1]). Pour a > 0, on définit Y=−ln(X)/a. Déterminer la loi de Y.
Pour changer des exercices 3, 4, 5 et 6, on utilise une méthode un peu différente. On note FX
la fonction de répartition de X, et FYcelle de Y. Remarquons d’abord que puisque Xprend
ses valeurs entre 0et 1,Yprend ses valeurs entre 0et +∞. Donc FY(y)=0si y≤0.
On a X=e−aY , donc, pour y > 0(en prenant garde que la fonction y7→ e−ay est décroissante) :
P(Y≤y) = P(e−aY ≥e−ay)
=P(X≥e−ay)
= 1 −FX(e−ay)
e−ay est compris entre 0et 1; en utilisant l’expression de la fonction de répartition d’une v.a.
uniforme sur [0,1], on a FX(e−ay) = e−ay. Donc FY(y)=1−e−ay, pour y > 0. On reconnaît
la fonction de répartition d’une loi exponentielle, et on conclut que Yest de loi E(a).
Exercice 8
Calculer l’espérance et la variance de la loi uniforme sur le segment [a, b],a < b, i.e. la loi de
densité
x∈R7→ 1
b−a1[a,b](x).
Cours.
Exercice 9
Calculer l’espérance et la variance de la loi exponentielle de paramètre λ > 0.
Cours.
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Exercice 10
Soit Xune variable aléatoire de loi gaussienne centrée réduite. Calculer E[exp(X)].
On utilise le cours
E[exp(X)] = ZfX(x)exdx
=1
√2πZ+∞
−∞
e−x2/2+xdx
=1
√2πZ+∞
−∞
e−(x−1)2/2+1/2dx
=e1/21
√2πZ+∞
−∞
e−y2/2dy
=e1/2
On a utilisé le changement de variable y=x−1.
Exercice 11 :
On lance un dé équilibré 3000 fois. On s’intéresse à la v.a. Nqui compte le nombre de résultats
supérieurs ou égaux à 5.
a. En utilisant la loi des grands nombres, de quel nombre N/3000 devrait être proche ?
On pose Xi= 1 si le lancer de dé idonne 5 ou 6, et Xi= 0 sinon. Chaque Xisuit une loi
B(1/3), et les Xisont indépendants. De plus, N= (X1+. . .+X3000. La loi des grands nombres
dit que (X1+. . . +Xn)/n tend vers E(Xi) = 1/3quand ntend vers l’infini. Donc N/3000 doit
être proche de 1/3.
b. Quel est l’écart-type de N?
Nest la somme de 3000 v.a. indépendantes et de même loi, de variance 1/3(1 −1/3) = 2/9.
La variance de Nest donc 3000 ×2/9 = 2000/3
c. En utilisant le TCL : quelle est la probabilité que Nsoit plus grand que 1030 ? Compris
entre 950 et 1050 ?
Nest la somme de 3000 v.a. indépendantes et de même loi. Le TCL dit que la loi de
√n[(X1+. . . +Xn)/n −1/3]/p2/9tend vers une loi N(0,1) quand ntend vers l’infini. 3000
est suffisamment grand pour que l’on puisse approximer la loi de (√3000(N/3000 −1/3)/p2/9
par une loi N(0,1). Alors
P(N≥1030) = P(√3000(N/3000 −1/3)/p2/9≥√3000(1030/3000 −1/3)/p2/9)
'P(Z≥1.16)
'0.123
où Zest une v.a. de loi normale centrée réduite. On a utilisé une table de la loi normale pour
la dernière ligne.
Exercice 12 :
Je prends un bus 240 fois dans l’année. On peut considérer que les temps d’attente sont des
variables aléatoires indépendantes et de même loi. Je sais que le temps moyen d’attente est de
5 minutes. Je sais de plus que le temps d’attente d’un bus suit une loi exponentielle.
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Quelle est le paramètre cette loi exponentielle ? Puis-je évaluer la probabilité que mon
temps d’attente total sur une année soit inférieur à 19h ?
Une loi exponentielle de paramètre λa une espérance 1/λ. Le temps d’attente (exprimé en
minutes) suit donc une loi E(1/5). Le temps total d’attente sur un an est X= (T1+. . . +T240).
Les Tisont des v.a. de même loi, d’espérance 5et de variance 52. On peut supposer que les Ti
sont indépendantes. 240 est assez grand pour qu’on puisse utiliser l’approximation fournie par
le TCL. On écrit donc que (X−240 ×5/(√240 ×5) suit approximativement une loi normale
centrée réduite. Donc
P(X≤19 ×60) = P((X−240 ×5)/(√240 ×5) ≤(19 ×60 −240 ×5)/(√240 ×5))
'P((X−240 ×5)/(√240 ×5) ≤ −0.775)
'P(Z≤ −0.775)
où Zest une v.a. de loi normale centrée réduite. On a utilisé l’approximation donnée par le
TCL pour la dernière ligne. La proba cherchée est environ 0.22 (en utilisant une table de la loi
normale).
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