PROBABILITES CONDITIONNELLES I. Rappels sur les probabilités

PROBABILITES CONDITIONNELLES
I. Rappels sur les probabilités
1. probabilité d'un événements
Une expérience aléatoire a plusieurs issues dont la réalisation dépend du hasard.
Un événement est une issue ou un ensemble d'issues.
Propriétés :
* Une probabilité est un nombre compris entre 0 (événement impossible) et 1 (événement certain)
* la somme des probabilités des différentes issues de l'expérience aléatoire égale 1
vocabulaire:
* A un événement : on note A l'événement contraire de A = non A et on a : p  A =1 – p A *
2. probabilités dans une situation d'équiprobabilité
lorsque tous les cas sont équiprobables , alors pour un événement A on a:
p  A=
nombre de cas favorables à A nombre d ' éléments de A
=
nombre de cas possibles
nombre total d ' éléments
=
Dans cette situation, le calcul de probabilités se ramène à un problème de dénombrement : il faut
compter “le nombre de cas favorables” et “le nombre de cas possibles”
II. . PROBABILIT2 CONJOINTE ; PROBABILIT2 CONDITIONNELLE
1. diagramme de Venn
On a la formule : p(A ∪ B) = p(A) + p(B) – p(A ∩ B)
2. ne pas confondre
A et B sont deux événements
* probabilité conjointe:
p  A∩ B=
nombre de cas favorables à A et à B nombre d ' éléments de A∩ B
=
nombre de cas possibles
nombre total d ' éléments
c'est la probabilité qu'un élément soit dans A et dans B
* probabilité conditionnelle:
p A B=
nombre de cas favorables à B , dans A nombre d ' éléments de A∩ B
=
nombre de cas possibles , dans A
nombre total d ' éléments de A
c'est la probabilité de B, sachant A
c'est la probabilité qu'un élément appartenant à A soit dans B
attention : ne pas confondre p(A ∩ B) et pA(B)
p(A ∩ B) est la proportion d’éléments de A ∩ B par rapport à l’ensemble total
p A B=
p  A∩ B
p  A
est la proportion d’éléments de A ∩ B par rapport au sous-ensemble A
II. . SITUATION DE DOUBLE PARTITION
1. différentes présentations
tableau à double entrée:
A
A
diagramme de Venn:
total
B
B
p(B)
p( A ∩B)
p(A∩B)
p(A∩ B ) p( A ∩ B ) p( B )
total p(A)
p( A )
1
arbres:
B
p  A ∩ B= p  A× p A B 
B
 = p  A× p A  B

p A ∩B
B
p 
A ∩ B= p  
A × p A B 
B
 = p  

p 
A∩B
A × p A  B
A
A
A
p  A ∩ B= p  B× p B  A
A
p 
A ∩ B= p  B× p B  
A
A
 = p  B
 × p B  A
p A ∩B
A
 = p  B
 × p B  
p 
A∩B
A
B
B
2. formules correspondantes
Important : les probabilités conjointes situées au bout des branches des deux arbres sont égales :
p(B∩A) = p(A∩B)
On constate les formules suivantes:
B )
* formule des probabilités totales: p  A= p  A ∩B p A∩ 
* formules liant les probabilités conditionnelles et les probabilités conjointes :
p A B=
p  A∩ B
p  A
p  A ∩ B= p  A× p A B = p B× p B  A
* formule des événements contraires:
p  A p  
A =1
p A B p A  B =1
⇔ p A  B =1− p A B 