Produits tensoriels

Universit´e des Sciences et Technologies de Lille
Master 2, “Math´ematiques pures” (2004-05)
Cat´egories mod`eles et alg`ebre homologique
Probl`emes, Feuille 2
§2. Le produit tensoriel
1. Probl`eme : propri´et´es fondamentales du produit tensoriel
Soit Run anneau. On rappelle que le produit tensoriel de deux R-modules Met Nest le
R-module M⊗RNmuni d’une application R-bilin´eaire :M×N→M⊗RNet caract´eris´e par la
propri´et´e universelle suivante : pour toute application R-bilin´eaire φ:M×N→T, `a valeurs dans
un R-module T, il existe une unique application R-lin´eaire φ:M⊗RN→Ttelle que φ=φ·.
De fa¸con ´equivalente, il existe une unique application R-lin´eaire φ:M⊗RN→Ttelle que le
diagramme
M×N//
φ
##
G
G
G
G
G
G
G
G
GM⊗RN
φ
zzvvvvv
T
commute. Si l’anneau de base Rest fix´e, alors on pourra l’omettre dans la notation du produit
tensoriel. On rappelle que l’image d’un couple (x, y)∈M×Npar le morphisme universelle
:M×N→M⊗Nse note x⊗y∈M⊗N.
On rappelle que le produit tensoriel d´efinit un bifoncteur − ⊗ − :RMod ×RMod →RMod.
Explicitement, l’application f⊗g:M⊗N→M0⊗N0induite par des morphismes de R-
modules f:M→M0et g:N→N0applique un ´el´ement x⊗y∈M⊗Nsur le tenseur
f(x)⊗g(y)∈M0⊗N0.
On voudrait d´eduire des propri´et´es fondamentales du produit tensoriel de sa d´efinition ab-
straite.
1.1) On suppose que Met Nsont des R-modules libres. On note (ei)i∈Iet (fj)j∈Jdes bases
respectives de Met de N. Prouver que M⊗RNest librement engendr´e par les tenseurs (fi⊗R
fj)(i,j)∈I×J.
1.2) On suppose plus g´en´eralement que Mest une somme directe de R-modules M=Li∈IMi.
Montrer que l’on a un isomorphisme naturel Li∈I(Mi⊗RN)→Li∈IMi⊗RNet prouver que
ce morphisme naturel est un isomorphisme.
1.3) On se donne une suite exacte courte de R-modules
M2
f2//M1
f2//M0//0.
Prouver que la suite
M2⊗RNf2⊗R1N
//M1⊗RNf1⊗R1N //M0⊗RN//0
est exacte.
1.4) On suppose que M, respectivement N, est engendr´e par des ´el´ements (ei)i∈I, respectivement
(fj)j∈J, avec les relations (Piakiei= 0)k∈K, respectivement (Pjblj fj= 0)l∈L. Expliciter une
pr´esentation par g´en´erateurs et relations de M⊗RN.
BF, Courriel: [email protected]
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2. Probl`eme : extension de structure
Soit φ:R→Sun morphisme d’anneaux. Tout S-module Nest muni d’une action de Rpar
restriction et poss`ede ainsi une structure de R-module.
Soit Mun R-module. On consid`ere le produit tensoriel S⊗RM. Observer que S⊗RM
poss`ede une structure de S-module naturelle, que l’on a une application R-lin´eaire naturelle η:
M→S⊗RM, et que ce module est caract´eris´e par la propri´et´e universelle suivante : pour toute
application R-lin´eaire φ:M→N`a valeurs dans un S-module N, il existe une et une seule
application S-lin´eaire φ:S⊗RM→Ntelle que φ=φ·η.
Dans les probl`emes qui suivent, on utilise cette propri´et´e universelle pour d´eterminer des
produits tensoriels de la forme S⊗RM.
3. Probl`eme : produits tensoriels, quotients et localisation
On se donne un anneau commutatif Ret un R-module M.
3.1) Soit Iun id´eal de R. On rappelle que M/IM d’´esigne le quotient de Mpar le sous-module
engendr´e par les ´el´ements de la forme αx, avec α∈I,x∈M. Prouver la relation R/I ⊗RM=
M/IM.
3.2) Soit S ⊂ Run syst`eme multiplicatif. On rappelle que M[S−1] d’´esigne le R[S−1]-module
engendr´e par les fractions x/s,x∈M,s∈ S, avec la relation x/s ≡y/t quand il existe u∈ S tel
que u(xt −ys) = 0 dans M. Prouver la relation R[S−1]⊗RM=M[S−1].
3.3) Utiliser les r´esultats pr´ec´edents pour d´eterminer les produits tensoriels Q⊗ZQ,Z[u−1]⊗Z
Z[v−1], Z(p)⊗ZZ(q),Q⊗ZZ/nZ,Z[u−1]⊗ZZ/pZ,Z(p)⊗ZZ/qZ,Z/pZ⊗ZZ/qZ, les lettres p, q
d´esignant des nombres premiers (´eventuellement ´egaux), les lettres u, v d´esignant des entiers non-
nuls.
3.4) Si Mest un Z-module de type fini et dont tout les ´el´ements sont de torsion, alors que peut-on
conclure quant au produit tensoriel Q⊗ZM?
3.5) Soit M=Qn∈NZ/n. Prouver que le tenseur 1⊗(¯ 1)n∈Nd´efinit un ´el´ement non-nul de Q⊗ZM.
4. Quiz
Soit f:M→M0un morphisme de R-modules. L’application induite f⊗R1N:M⊗RN→
M0⊗RNest-elle injective en g´en´eral?
5. Probl`eme : produits tensoriels et produits cart´esiens
On suppose que Mest un produit cart´esien infini de R-modules M=Qi∈IMi. Montrer que
l’on a un morphisme naturel Qi∈IMi⊗RN→Qi∈I(Mi⊗RN). Prouver que ce morphisme
naturel n’est ni injectif ni surjectif en g´en´eral, mais que c’est un isomorphisme si Nest un R-module
de type fini.
R´ ef´ erences :
1. N. Bourbaki, ´ El´ements de math´ematiques. Alg`ebre, chapitres I-III, Masson, 1970. Chapitre
II.
2. N. Jacobson, Basic algebra II, seconde ´edition, W. H. Freeman and Company, 1980. Chapitre
3.
6. Probl`eme : ´equivalences de Morita
On travaille sur une anneau de base commutatif fix´e R. On se donne une R-alg`ebre Aasso-
ciative mais pas n´ecessairement commutative.
Soit Mun A-module `a droite. Soit Nun A-module `a gauche. On note M⊗ANle co´egaliseur
des applications d0, d1:M⊗RA⊗RN→M⊗RNtelles que d0(x⊗a⊗y) = xa⊗yet d0(x⊗a⊗y) =
x⊗ay. Ainsi, si on note :M⊗RN→M⊗ANl’application quotient, alors M⊗ANest caract´eris´e
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par la propri´et´e universelle suivante : pour toute application R-lin´eaire φ:M⊗RN→T`a valeurs
dans un R-module Ttelle que φ(xa, y) = φ(x, ay), pour tout x∈M,a∈A,y∈N, il existe une
unique application R-lin´eaire φ:M⊗AN→Ttelle que φ=φ·. De fa¸con ´equivalente, il existe
une unique application R-lin´eaire φ:M⊗AN→Ttelle que le diagramme
M⊗RN//
φ
$$
H
H
H
H
H
H
H
H
HM⊗AN
φ
zzvvvvv
T
commute.
6.1) Soit Rune alg`ebre associative. On note Mnm(R) le R-bimodule constitu´e des matrices `a n
lignes et mcolonnes `a coefficients dans R. Montrer que l’on a un morphisme naturel
Mqn(R)⊗Mnn (R)Mnp(R)' −−→ Mqp(R)
induit par le produit des matrices et prouver que ce morphisme est un isomorphisme.
6.2) Si Aest une alg`ebre, alors on note AMod et Mod Ales cat´egories de modules `a gauche et `a
droite, respectivement, associ´ees `a A.
Prouver que les cat´egories de modules `a gauche AMod et BMod associ´ees `a des alg`ebres de
matrices A=Mmm(R) et B=Mnn(R) sont ´equivalentes. Prouver de mˆeme que les cat´egories de
modules `a droite Mod Aet Mod Bsont ´equivalentes. Indication : On construira des ´equivalences
inverses φ:AMod →BMod et ψ:BMod →AMod en utilisant le r´esultat de la question
pr´ec´edente.
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