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IIIe Cycle romand de Math´ ematiques
Th´ eorie des Nombres et G´ eom´ etrie
Prof. E. Bayer Fluckiger
S´eance 1 30.10.02
Exercice 1 (Th´eor`eme de Fermat pour n= 4 avec descente infinie)
On appelle triangle pythagorique un triplet d’entiers (a, b, c) tel que a2+b2=c2. Notons que
l’hypoth´enuse cd’un triangle pythagorique est enti`ere et que son aire est ab/2.
Proposition 1 Si (a, b, c)est un triangle pythagorique, il existe pet q∈Ztels que {a, b}=
{p2−q2,2pq}et c=p2+q2.
Preuve.
(a) Prouver que aou best pair [on pourra consid´erer des congruences modulo 4].
Si c= 0, p=q= 0, alors a=b= 0 donc p=q= 0 conviennent. Si c6= 0, a/c et b/c sont les
coordonn´ees d’un point du cercle x2+y2= 1.
(b) Montrer que tous les points de ce cercle s’´ecrivent (t2
−1
t2+1 ,2t t2+1 ) pour t∈R[on pourra
consid´erer l’intersection de la droite passant par (1,0) et par (0, t) avec le cercle, ou utiliser
certaines formules de trigonom´etrie] et que les points `a coordonn´ees rationnelles sont ceux
pour lesquels t∈Q.
(c) Conclure.
Th´eor`eme 2 (Fermat) L’aire d’un triangle pythagorique ne peut pas ˆetre un carr´e.
Preuve. On raisonne par l’absurde : supposons que ab/2 = pq(p+q)(p−q) soit un carr´e.
(a) Montrer que l’on peut supposer que aet bsont premiers entre eux, et qu’alors il existe
x, y, u, v ∈Zpremiers deux `a deux, avec uet vimpairs, tels que :
p=x2, q =y2, p +q=u2, p −q=v2;
(b) en d´eduire que {u+v, u −v}={2r2,4s2}, o`u ret ssont deux entiers [on montrera au
passage que (u+v, u −v) = 2],
(c) puis que (r2,2s2, x) est un triangle pythagorique d’aire carr´ee et d’hypoth´enuse strictement
inf´erieure `a celle de (a, b, c).
(d) Conclure par “descente infinie”.
Corollaire 3 L’´equation x4+y4=z4n’a pas de solution enti`ere non triviale (i.e. avec xyz 6= 0).
Preuve.
(a) Montrer que l’on peut supposer x, y, z premiers deux `a deux et xpair,
(b) puis qu’il existe deux entiers aet bpremiers entre eux tels que {z2−y2, z2+y2}={8a4,2b4}.
(c) Prouver que 4a4+b4=z2et en d´eduire une contradiction. 1
1R´ef. : Hellegouarch Y., Invitation aux math´ematiques de Fermat-Wiles, Enseignement des Math´ematiques, Masson,
Paris (1997).

Exercice 2 (Loi de r´eprocit´e quadratique)
(a) Soient pun nombre premier impair et a∈Z. On d´efinit a
p= 1 si aest un carr´e non nul
mod p,a
p=−1 si an’est pas un carr´e mod pet a p= 0 si a= 0 ou p|a.
(i) Montrer que : a
p!≡a(p−1)/2mod p .
(ii) D´eduire que pour b∈Zon a : ab
p!= a p! b p!.
(iii) En utilisant (i) prouver que
−1
p!= (−1)(p−1)/2=(1 si p≡1 mod 4
−1 si p≡3 mod 4
(b) D´emontrer que pour un nombre premier impair pon a
2
p!= (−1)(p2
−1)/8=(1 si p≡ ±1 mod 8
−1 si p≡ ±5 mod 8
[Prends y=α+α−1o`u αest une racine primitive 8i`eme de 1 dans une clˆoture alg´ebrique
de Fp. V´erifier que y2= 2 et utiliser (a).]
(c) Soient p, q deux nombres premiers impairs, p6=q, et wune racine primitive qi`eme de 1 dans
une clˆoture alg´ebrique de Fp. On d´efinit la “somme de Gauss”
y=
q−1
X
x=0 x
q!wx.
(i) D´emontrer que (−1)(q−1)/2y2=Pq−1
u=0 Cuwuavec Cu=Pq−1 t=1 1−ut−1
q.
(ii) D´eduire que y2= (−1)(q−1)/2q.
[Note : le nombre des carr´es non nuls = le nombre des non-carr´es mod q.]
(iii) D´emontrer que yp−1=p
q.
(iv) Prouver que
p
q!= (−1)(p−1)/2(−1)(q−1)/2 q p!.
[Utiliser (iii),(ii) et (a).]
(d) Calculer 17
41 ,1999 65537 .2
Exercice 3
On veut prouver :
Proposition 4 Soit pun nombre premier, pZ[i]est maximal si et seulement si p≡3 mod 4.
(a) Montrer que pZ[i] est maximal si et seulement si Z[i]/pZ[i] est un corps ;
(b) montrer que Z[i] et Z[X]/(X2+ 1) sont isomorphes en tant que Z-alg`ebres ;
(c) en utilisant 2(a,iii), d´eterminer la structure de Fp[X]/(X2+ 1) et conclure [on pourra
utiliser le fait que si Aest un anneau commutatif et Iet Jdeux id´eaux de A, alors
(A/I)/πI(J) = A/(I+J), o`u πIest la surjection A→A/I]. 3
2R´ef. : Serre J.P., Cours d’arithm´etique, Presses Universitaires de France, Paris (1977).
3R´ef. : Samuel P., Th´eorie alg´ebrique des nombres, Hermann, Paris (1967), Chapitre V, paragraphe 4.