Exercices Hors-Série — Polynômes et algèbre

Lycée Jean Bart – PCSI – Année 2013-2014
Exercices Hors-Série — Polynômes et algèbre linéaire
Les exercices ci-dessous sont extraits de devoirs donnés en PCSI. Ils portent sur les polynômes et l’algèbre
linéaire, c’est-à-dire (pour le second chapitre) les espaces vectoriels et les applications linéaires. Pour l’interrogation
écrite de mercredi 2, les applications linéaires ne sont pas au programme (vous n’en connaissez pas encore la
définition) ; vous ne pouvez donc pas encore traiter les questions les concernant, et vous ne pourrez pas comprendre
grand chose au corrigé, jusqu’à lundi prochain. En revanche, elles seront au programme du DS de samedi 12. Dans
ces notes, les questions temporairement hors-programme sont signalées par une `.
Toutefois, dans l’hypothèse où vous seriez pressé de savoir ce qu’est une application linéaire (par exemple si vous
passiez le concours de l’ENAC le 8 avril), j’ai inséré à la suite des énoncés les définitions et propriétés nécessaires
pour pouvoir traiter toutes les questions posées dans ces pages. Nous les verrons en cours la semaine prochaine.
Table des matières
+Enoncés des exercices et problèmes Pages 1 à 5
+Définitions complémentaires (Citius, altius, fortius) Pages 6 et 7
+Corrigés des exercices et problèmes Pages 7 à 12
1 Enoncés des exercices et problèmes
Exercice 1. — (Sous-espaces vectoriels supplémentaires, familles génératrices, applications li-
néaires).
1) On considère les deux parties de E=R3définies de la façon suivante :
F=(x, y, z)∈R3|x−y= 0et G=Vect 
1
0
1
a) Par la méthode de votre choix, prouver que Fest sous-espace vectoriel de E.
b) `Montrer que Fet Gsont supplémentaires dans E.
2) Dans R5, on considère la partie
H=(x1, x2, x3, x4, x5)∈R5|x1+x2+x3+x4+x5= 0
On admet que Hest un sous-espace vectoriel de R5. Déterminer une famille génératrice de H.
3) `On considère l’application :
ϕ:R2//R2
(x, y)//(x+y, x −y)
On admet que ϕest un endomorphisme de R2. Démontrer que ϕest un automorphisme de R2.

2PCSI — Exercices Hors-Série — 29 mars 2014
4) `On considère l’application :
ψ:R2[X]//R
P//Z1
0
P(t)−P0(t)dt
a) `Démontrer que l’application ψest linéaire.
b) `Déterminer une famille génératrice du noyau de ψ.
c) `L’application ψest-elle injective ? Surjective ?
Exercice 2. — (Polynômes).
Les questions 1 à 5 de cet exercice sont indépendantes.
1) Déterminer la décomposition en polynômes irréductibles dans C[X]puis dans R[X]des polynômes suivants :
P1= 1 + X+X2+X3;P2=X3−5;P3=X4+ 2X2+ 1
2) Déterminer tous les polynômes Pde K[X](Kétant un corps quelconque) solutions de l’équation :
(E)X2013 P2=X2014
3) Soit nun entier naturel non-nul. Déterminer les racines dans C, ainsi que leurs ordres de multiplicité, du
polynôme :
P=1 + X+X24X3−1n
Préciser la valeur de P(n−1) (1).
4) Soit nun entier naturel non-nul. Déterminer le reste dans la division euclidienne de Xnpar X2−1.
5) (Polynômes de Bernstein).∗Soit nun entier naturel non-nul. Pour tout entier icompris entre 0et n, on
définit le i-ème polynôme de Bernstein et on note Bile polynôme suivant :
Bi(t) = n
iti(1 −t)n−i
On note encore Bila fonction associée au polynôme Bi. On fixe [0; 1] comme ensemble de définition commun
aux fonctions Bi.
a) Expliciter les polynômes de Bernstein dans les cas n= 2 et n= 3.
b) Justifier brièvement que pour tout entier icompris entre 0et n, et pour tout réel x∈[0; 1],Bi(x)>0.
c) Montrer que pour tout réel x∈[0; 1],
n
X
i=0
Bi(x)=1.
∗. Exercice 36 de la feuille d’exercices sur les polynômes.

1 Enoncés PCSI — Exercices Hors-Série — 29 mars 2014 3
Problème 1. — (Problème d’Algèbre †— Applications linéaires, équations différentielles).
Dans cet exercice, on note Ele R-espace vectoriel C∞(R,R)des fonctions indéfiniment dérivables sur Rà valeurs
réelles.
äPartie A - Une application linéaire très classique
On considère l’application :
∆ : E//E
f//f0
qui à toute fonction de classe C∞sur Rassocie sa dérivée. On admet que ∆est un endomorphisme de E.‡
1) `Déterminer le noyau de ∆. L’application ∆est-elle injective ?
2) Montrer que l’application ∆est surjective.
äPartie B - Etude d’un sev de E
On considère les trois fonctions définies sur Rsuivantes :
g1:x∈R7−→ ex;g2:x∈R7−→ e−x
2sin x√3
2!et g3:x∈R7−→ e−x
2cos x√3
2!
Il est clair que les fonctions g1,g2et g3sont de classe C∞sur R, c’est-à-dire que ce sont des éléments de E. On
peut donc considérer le sous-espace vectoriel de Esuivant :
F=Vect (g1, g2, g3)
1) Démontrer que ∆ (g1)∈F,∆ (g2)∈Fet ∆ (g3)∈F.
2) A l’aide de la question précédente, démontrer que Fest stable par ∆, c’est-à-dire établir que ∆ (F)⊂F.
3) Montrer que ∆ (F) = F.
†. Extrait des Mines d’Albi, Alès, Douai, Nantes, 2003. La partie concernant les équations différentielles n’a pas été retranscrite
dans ces pages.
‡. Cela provient du fait que la dérivation est linéaire, et que la dérivée d’une fonction de classe C∞est encore une fonction de classe
C∞.

4PCSI — Exercices Hors-Série — 29 mars 2014
Problème 2. — (Polynômes interpolateurs, algèbre linéaire dans R[X]).§
Tout au long de ce problème :
ãndésigne un entier naturel non-nul ;
ãR[X]est le R-espace vectoriel des polynômes à coefficients réels ;
ãRn[X]est le R-espace vectoriel des polynômes de degré inférieur ou égal à n;
ãlorsque ce sera nécessaire, on pourra identifier un polynôme Pet la fonction polynomiale associée, que l’on
notera encore P.
äPartie A - étude d’un cas particulier
On suppose dans cette question que n= 2.
1) Donner, sans justification, trois polynômes P0,P1et P2de degré 2et à coefficients réels tels que : le polynôme
P0a pour racines 1et 2; le polynôme P1a pour racines 0et 2; et le polynôme P2a pour racines 0et 1.
2) A l’aide de la question précédente, déterminer trois polynômes L0,L1et L2de degré 2à coefficients réels tels
que :
L0(0) = 1
L0(1) = 0
L0(2) = 0
;
L1(0) = 0
L1(1) = 1
L1(2) = 0
;
L2(0) = 0
L2(1) = 0
L2(2) = 1
Remarque importante : toutes les questions qui suivent dans cette partie peuvent être traitées même si vous
n’êtes pas parvenu à expliciter les polynômes L0,L1et L2.
3) `On considère l’application ϕ2définie de la façon suivante :
ϕ2:R2[X]//R3
P//(P(0) , P (1) , P (2))
4) `Montrer que l’application ϕ2est linéaire.
5) Injectivité de ϕ2et conséquences.
a) `Montrer que l’application ϕ2est injective.
b) `Etablir que : ∀P∈R2[X], ϕ2(P) = ϕ2(P(0) L0+P(1) L1+P(2) L2)
c) `Déduire de ce qui précède que F={L0, L1, L2}est une famille génératrice de R2[X].
d) `Exemple d’application : exprimer le polynôme P= 3X−2comme combinaison linéaire de L0,L1et L2.
6) Surjectivité de ϕ2.
a) Calculer ϕ2(L0),ϕ2(L1)et ϕ2(L2).
b) `Etablir que ϕ2est surjective.
7) `Il découle des questions 5-a) et 6-b) que ϕ2est un isomorphisme de R2[X]dans R3. Expliciter sa réciproque
ϕ−1
2.
§. Inspiré de Concours National Commun aux Grandes Ecoles d’Ingénieurs, Maroc 2009 et de Mines de Douai 1995, entre autres.

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äPartie B - cas général
On revient au cas général, et on suppose donc à présent que nest un entier naturel non-nul quelconque.
On considère α0,α1,. . . , αn(n+ 1) réels distincts, et on pose :
U(X) =
n
Y
i=0
(X−αi)c’est-à-dire ¶:U(X)=(X−α0) (X−α1)···(X−αn)
Pour tout entier naturel pnon-nul, on définit l’application :
ϕp:Rp[X]//Rn+1
P//(P(α0), P (α1), . . . , P (αn))
On admet que l’application ϕpest linéaire.
1) Montrer que si p6n, alors l’application ϕpest injective.
2) `Montrer que si p>n+ 1, alors : ker ϕp={P∈Rp[X]| ∃ Q∈Rp−n−1[X], P =QU}.
3) Dans la suite de cette partie, on suppose que p=n.
On note F=(Li)i=0,...,nla famille des polynômes de Lagrange associés aux réels α0,. . . , αn. Ces polynômes
sont définis comme suit :
∀k∈N,06k6n, Li(X) =
n
Y
j=0, j6=i
X−αj
αi−αj
Et ils vérifient la condition :
(∗)Pour tout entier ientre 0et n:Li(αi)=1et Li(αj)=0si i6=j
On définit l’application linéaire k:
ψn:Rn+1 //Rn[X]
(µ0, µ1, . . . , µn)//
n
X
i=0
µiLi
a) Montrer que ϕn◦ψn=idRn+1 .
b) Montrer que ψn◦ϕn=idRn[X].
c) `Que pouvez-vous déduire des questions précédentes concernant les applications linéaires ϕnet ψn?
¶. Plus explicitement mais moins rigoureusement.
k. De nouveau, la linéarité est admise et n’a pas à être démontrée.