08- Cours cinématique, calcul vitesse

Sciences Industrielles de l’Ingénieur Chapitre 8 « cinématique »
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Compétences attendues :
Au terme de ce cours et des exercices qui l’accompagnent vous devez connaître :
 La dérivation vectorielle et la notation à utiliser.
 Différentes méthodes de calcul des vecteurs vitesses.
 Les résultats propres aux mouvements de translation et de rotation.
 La méthode de calcul d’un vecteur accélération.
 Ce qu’est une fermeture géométrique.
1)- CINEMATIQUE DU POINT
1-1) Point mobile M par rapport à un repère R :
Soit le point M défini par ses trois coordonnées
(cartésiennes par exemple) dans un repère
On définit le vecteur position OM :
1-2) Trajectoire du point M : lieu de l’espace décrit par M au cours du temps t.
1-3) Vitesse du point M par rapport à un repère R :
 il s’agit d’une vitesse instantanée et qui peut évoluer dans le temps.
 le point O doit être un point fixe dans R.
1-4) Accélération du point M par rapport à un repère R :
 il s’agit d’une accélération instantanée.
 le point O doit être un point fixe dans R.
2)- DERIVATION VECTORIELLE
2-1) Dérivation d’un vecteur mobile par rapport à un repère R :
Soit le repère
Soit le vecteur U de composantes :
CINEMATIQUE
(
)
zyxR
r
r
r
,,,0
(
)
zyxR
r
r
r
,,,0
R
tz
ty
tx
U =)( )(
)(
Dérivation du vecteur position
Dérivation du vecteur
vitesse

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1
)(
)(
)(
)()()(
111
R
tz
ty
tx
ztzytyxtxU =×+×+×= r
rr
[
]
111
)()()( ztzytyxtx
r
&
r
&
r
&
×
+
×
+
×
1
zz
r
r
=
2-2) Changement de repère de dérivation d’un vecteur mobile :
Soient deux repères et
Soit le vecteur U écrit dans R
1
:
Plaçons-nous dans le cas particulier où la position du repère
R
1
par rapport au repère R est définie par le seul angle α
αα
α :
rotation autour de l’axe
Calculons la dérivée de chaque vecteur unitaire du repère R
1
:
On en déduit :
En utilisant les angles d’Euler (pour orienter R
1
par rapport à R) et en généralisant le calcul précédent
on obtient :
(
)
zyxOR
r
r
r
,,,
(
)
1111
,,, zyxOR
r
r
r
=
R
U
dt
d
/
× ×+ ×+
RRR
dt tzd
tz
dt tyd
ty
dt txd
tx
/
1
/
1
/
1
)(
)(
)(
)(
)(
)(
r
r
r
=
1
x
r
=
1
y
r
=
1
z
r
=
R
x
dt
d
/
1
r
=
R
y
dt
d
/
1
r
=
R
z
dt
d
/
1
r
(
)
(
)
(
)
1
1
1
1
1
1
)()()( zztzyztyxztxV
r
r
&
r
r
&
r
r
&∧×+∧×+∧×=
ααα
[
]
1111
)()()( ztzytyxtxz
r
r
r
r
&
×
+
×
+
×
∧
=
α
UzV ∧=
r
&
α
(
)
UzuzV ∧++=
1
r
&
r
&
r
&
ϕθψ
( )
UzuzU
dt
d
U
dt
d
RR
∧+++ =
1
//
1
r
&
r
&
r
&
ϕθψ
V
R
R
/
1
Ω

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Définition : on appelle vecteur rotation de R
1
par rapport à R le vecteur Ω
ΩΩ
Ω :
Ce vecteur rotation caractérise à tout instant l’orientation du repère R
1
par rapport à R c’est-à-dire
qu’il précise :
 l’axe instantané autour duquel tourne R
1
par rapport à R
 la valeur de la vitesse angulaire instantanée en rad/s (sa norme)
 le sens de la rotation (son signe) :
Nota : ce vecteur rotation est indépendant d’un quelconque point d’application.
On obtient ainsi la formule de changement de repère de dérivation (ou formule de Bour) :
3)- CINEMATIQUE DU SOLIDE
3-1) Solide indéformable : en cinématique on fait l’hypothèse que les solides sont
indéformables :
 la distance entre deux points de ce solide reste constante au cours du temps.
 la position d’un point quelconque M reste constante dans un repère affecté à ce solide.
 on confond en général le repère affecté au solide et le solide lui-même.
3-2) Points géométriques et matériels : un même point peut appartenir à plusieurs solides et
donc avoir des vitesses différentes.
Exemple : soit un cylindre C (repère R
1
) qui roule sur un plan
fixe P (repère R).
On appelle I le point de contact entre C et P.
En I on a en fait trois points « différents » :
• le point I matériel appartenant au cylindre en
mouvement.
• le point I matériel appartenant au plan fixe.
• le point I géométrique qui traduit le contact
cylindre/plan.
Nota : ces trois points sont confondus seulement à l’instant t.
On notera les différentes vitesses de la façon suivante :
3-3) Vitesse d’un point appartenant à un solide : pour un point matériel quelconque M on a :
 il s’agit d’une vitesse instantanée et qui peut évoluer dans le temps.
 le point O doit être un point fixe dans R.
Form
ule de Bour
Dérivation du vecteur positi
on

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zO
r
3-4) Changement de point pour les vecteurs vitesses : un solide indéformable est un ensemble
de points matériels dont on peut calculer, pour chacun, la vitesse en appliquant la dérivation vectorielle.
Toutefois la cinématique d’un solide en mouvement possède des particularités qui permettent une
étude simplifiée du mouvement global sans avoir à étudier chaque point individuellement.
Cherchons la relation entre les vitesses de deux points A et B d'un même solide S en mouvement par
rapport à un repère R.
Formule de Bour :
Par ailleurs :
On en déduit :
3-5) Cas de la translation : pour un mouvement de translation du solide S/R on a :
Nota : cas de la translation circulaire.
3-6) Cas de la rotation autour d’un axe fixe :
R
1
est le repère associé au solide S.
Supposons une simple rotation autour de l’axe fixe
Pour une vitesse angulaire ω
ωω
ω donnée, la vitesse d’un point est proportionnelle à l’éloignement du
centre de rotation.
=
R
AB
dt
d
/
ABAB
dt
d
RR
R
∧Ω+
/
/
1
1
OBOAOBAOAB +−=+=
=
R
AB
dt
d
/
Tous les points ont la même vitesse à un instant donné.
""
ω
RV
=
Formule de changement de point

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RR
dt AOd dt
OOd
/
1
/
1
+ =
Un triangle traduit graphiquement la proportionnalité
de la vitesse du point avec le rayon (pour une vitesse
angulaire donnée).
3-7) Composition des vecteurs vitesses :
Soient deux solides S
1
(repère R
1
) et S
2
(repère
R
2
) en mouvement l'un par rapport à l'autre et en
mouvement par rapport au repère R.
Nota : cette formule se généralise en faisant une relation de Chasles sur les indices.
3-8) Composition des vecteurs rotation : utilisons trois fois la formule de Bour :
=
∈RSA
V
/
2
R
dt
OAd
/
Formule de composition des vecteurs vitesses
UU
dt
d
U
dt
d
RR
RR
∧Ω+ =
21
12
/
//
UU
dt
d
U
dt
d
RR
RR
∧Ω+ =
1
1
/
//
UU
dt
d
U
dt
d
RR
RR
∧Ω+ =
/
//
2
2
1
2
3
1 2 3
+ +