mini Manuel de Mécanique des solides

CHAPITRE
1
Cinématique
du solide
indéformable
1.1 Définitions
PLAN
1.2 Trièdres, bases, repères
1.3 Calcul des vecteurs vitesse et accélération
1.4 Vitesse et accélération des points d’un solide
1.5 Composition des mouvements
OBJECTIFS
1.6 Mouvement plan sur plan
➤ Mettre en place les outils de dérivation vectorielle.
➤ Définir la cinématique d’un solide indéformable.
➤ Utiliser la cinématique graphique.
1.1 DÉFINITIONS
Espace
L’espace dans lequel nous allons travailler est celui qui nous entoure,
modélisé grâce à la géométrie par un espace affine réel euclidien de
dimension trois. Il sera noté E . Dans cet espace se trouvent des points qui
peuvent constituer des droites ou des plans. Repérer des déplacements
est possible mais conduit à la notion de vecteur qui appartient à un
espace vectoriel noté E de dimension trois lui aussi. Le point A qui se
sera déplacé pour se trouver en un point B de E conduit donc au vecteur
déplacement noté U = AB.
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Chapitre 1 • Cinématique du solide indéformable
Remarque : dans ce document, les vecteurs sont notés en italique gras
suivant la norme internationale, par exemple x, afin d’alléger
→
x dans les
l’écriture sachant que l’on trouve aussi comme notation x ou −
ouvrages. Il n’y aura aucune confusion possible car nous ne manipulerons dans cet ouvrage que des scalaires x, des vecteurs x ou des torseurs
constitués de vecteurs. Les solides seront identifiés par Si où i désigne le
numéro du solide. Les repères seront notés R ou Ri avec i le numéro du
repère. Enfin, les points seront notés A, B, etc. en lettre normale droite.
La notation des torseurs sera explicitée à chaque fois que cela sera
nécessaire.
L’espace E n’a aucune raison d’être orienté. Il l’est par commodité et
c’est la règle du « petit bonhomme d’Ampère » ou du « tire-bouchon »
qui peut fournir une solution. Une distance entre deux points de E existe
et est notée dist(A, B) ce qui conduit à définir dans E un produit scalaire
√
U · U et une norme donnée par U · U .
La notion d’espace est délicate. En effet, un tel objet (un petit drapeau – perçu comme un point – en haut d’un mât de bateau) se trouve à
un instant donné à la fois au sommet du mât et à x centaines de mètres
de la côte. On peut donc considérer qu’au même point de l’espace E se
superposent trois points : le drapeau, le sommet du mat et le point de
l’espace physique. Comme cette situation change pour des instants
variables t et t nous pouvons écrire que l’espace E est associé (ou instantané) à t ou t et il est noté Et . Cela devrait nous conduire à distinguer
dans une expression du type la vitesse du point M est parallèle à OM, le
point M dont on suit le mouvement et le point M de l’espace à l’instant
t considéré qui permet de repérer la direction de la vitesse. Nous abandonnerons évidemment l’idée de le préciser par souci de simplification.
Notion de référentiel d’espace
Cette notion est tout à fait intuitive. Prenons un solide – la Terre par
exemple – et supposons que l’espace est tout entier entraîné avec ce
solide particulier. Nous associons donc un espace affine réel de dimension trois. La différence entre cet espace et les précédents Et est que
celui-ci est durable mais relatif au solide considéré, alors que Et est
intrinsèque mais associé à l’instant t. Nous dirons que E fourni un référentiel (ou repère) d’espace noté R. Le lecteur intéressé peut se reporter
au livre de P. Rougée [1].
1.2 • Trièdres, bases, repères
1.2
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TRIÈDRES, BASES, REPÈRES
Nous appellerons trièdre l’ensemble noté T = (O, x, y, z) défini par trois
axes concourants en O de vecteurs unitaires x, y et z non coplanaires. Ce
trièdre, supposé fixe (au sens où sa forme ne change pas), constitue un
solide indéformable immatériel qui constitue un repère d’espace. Le plus
souvent repère d’espace R et trièdre T sont associés (ou se définissent
mutuellement). Il ne faut pas pour autant les confondre (ce qui revient à
s’imposer de définir un vecteur par ses seules composantes dans T associé à R). On verra que ce n’est que très rarement la meilleure solution.
On notera donc dans tout ce document, repère R, le référentiel d’espace
constitué du point O et des axes Ox, Oy et Oz associés à la base constituée des trois vecteurs unitaires de base (x, y, z). On notera R (O, x, y, z)
ce repère. Lorsque ce repère sera associé à un solide particulier Si , le
repère sera noté Ri et s’entendra comme constitué de Ri = (Oi , xi , yi , zi )
sauf cas particulier qui sera indiqué.
Repérage d’un point
On repère la position d’un point M dans E par ses coordonnées (figure 1.3). En fait, c’est le choix du repère d’espace (O, x, y, z) qui permet de définir ses coordonnées. Comme il y a une infinité de choix possibles, il y a également une infinité de coordonnées pour un même point
M à une position donnée. Si on choisit (O,x,y,z) orthonormé direct,
alors les coordonnées de M s’obtiennent par projection orthogonale de
OM sur les vecteurs de la base. Dans cette équation, x · y désigne le produit scalaire des deux vecteurs.
xM = OM · x
yM = OM · y z M = OM · z.
z
zM
OM
O
yM
y
xM
x
Figure 1-3 Vecteur position pour un repérage cartésien.