mini Manuel de Mécanique des solides

1.1 DÉFINITIONS
Espace
L’espace dans lequel nous allons travailler est celui qui nous entoure,
modélisé grâce à la géométrie par un espace affine réel euclidien de
dimension trois. Il sera noté E. Dans cet espace se trouvent des points qui
peuvent constituer des droites ou des plans. Repérer des déplacements
est possible mais conduit à la notion de vecteur qui appartient à un
espace vectoriel noté Ede dimension trois lui aussi. Le point A qui se
sera déplacé pour se trouver en un point B de Econduit donc au vecteur
déplacement noté U=AB.
1
CHAPITRE
Cinématique
du solide
indéformable
1.1 Définitions
1.2 Trièdres, bases, repères
1.3 Calcul des vecteurs vitesse et accélération
1.4 Vitesse et accélération des points d’un solide
1.5 Composition des mouvements
1.6 Mouvement plan sur plan
PLAN
➤ Mettre en place les outils de dérivation vectorielle.
➤ Définir la cinématique d’un solide indéformable.
➤ Utiliser la cinématique graphique.
OBJECTIFS

Remarque : dans ce document, les vecteurs sont notés en italique gras
suivant la norme internationale, par exemple x, afin d’alléger
l’écriture sachant que l’on trouve aussi comme notation xou −→
xdans les
ouvrages. Il n’y aura aucune confusion possible car nous ne manipule-
rons dans cet ouvrage que des scalaires x, des vecteurs xou des torseurs
constitués de vecteurs. Les solides seront identifiés par Sioù i désigne le
numéro du solide. Les repères seront notés R ou Riavec i le numéro du
repère. Enfin, les points seront notés A, B, etc. en lettre normale droite.
La notation des torseurs sera explicitée à chaque fois que cela sera
nécessaire.
L’espace En’a aucune raison d’être orienté. Il l’est par commodité et
c’est la règle du « petit bonhomme d’Ampère » ou du « tire-bouchon »
qui peut fournir une solution. Une distance entre deux points de Eexiste
et est notée dist(A, B) ce qui conduit à définir dans Eun produit scalaire
U·Uet une norme donnée par √U·U.
La notion d’espace est délicate. En effet, un tel objet (un petit dra-
peau – perçu comme un point – en haut d’un mât de bateau) se trouve à
un instant donné à la fois au sommet du mât et à xcentaines de mètres
de la côte. On peut donc considérer qu’au même point de l’espace Ese
superposent trois points : le drapeau, le sommet du mat et le point de
l’espace physique. Comme cette situation change pour des instants
variables tet tnous pouvons écrire que l’espace Eest associé (ou instan-
tané) à tou tet il est noté Et. Cela devrait nous conduire à distinguer
dans une expression du type la vitesse du point M est parallèle à OM, le
point M dont on suit le mouvement et le point M de l’espace à l’instant
tconsidéré qui permet de repérer la direction de la vitesse. Nous aban-
donnerons évidemment l’idée de le préciser par souci de simplification.
Notion de référentiel d’espace
Cette notion est tout à fait intuitive. Prenons un solide – la Terre par
exemple – et supposons que l’espace est tout entier entraîné avec ce
solide particulier. Nous associons donc un espace affine réel de dimen-
sion trois. La différence entre cet espace et les précédents Etest que
celui-ci est durable mais relatif au solide considéré, alors que Etest
intrinsèque mais associé à l’instant t. Nous dirons que Efourni un réfé-
rentiel (ou repère) d’espace noté R. Le lecteur intéressé peut se reporter
au livre de P. Rougée [1].
2Chapitre 1 • Cinématique du solide indéformable

1.2 TRIÈDRES, BASES, REPÈRES
Nous appellerons trièdre l’ensemble noté T = (O, x,y,z) défini par trois
axes concourants en O de vecteurs unitaires x,yet znon coplanaires. Ce
trièdre, supposé fixe (au sens où sa forme ne change pas), constitue un
solide indéformable immatériel qui constitue un repère d’espace. Le plus
souvent repère d’espace R et trièdre T sont associés (ou se définissent
mutuellement). Il ne faut pas pour autant les confondre (ce qui revient à
s’imposer de définir un vecteur par ses seules composantes dans T asso-
cié à R). On verra que ce n’est que très rarement la meilleure solution.
On notera donc dans tout ce document, repère R, le référentiel d’espace
constitué du point O et des axes Ox,O
yet Ozassociés à la base consti-
tuée des trois vecteurs unitaires de base (x,y,z). On notera R (O, x,y,z)
ce repère. Lorsque ce repère sera associé à un solide particulier Si,le
repère sera noté Riet s’entendra comme constitué de Ri=(Oi,xi,yi,zi)
sauf cas particulier qui sera indiqué.
Repérage d’un point
On repère la position d’un point M dans Epar ses coordonnées (fi-
gure 1.3). En fait, c’est le choix du repère d’espace (O,x,y,z)qui per-
met de définir ses coordonnées. Comme il y a une infinité de choix pos-
sibles, il y a également une infinité de coordonnées pour un même point
M à une position donnée. Si on choisit (O,x,y,z)orthonormé direct,
alors les coordonnées de M s’obtiennent par projection orthogonale de
OM sur les vecteurs de la base. Dans cette équation, x·ydésigne le pro-
duit scalaire des deux vecteurs.
xM=OM ·xyM=OM ·yzM=OM ·z.
1.2 • Trièdres, bases, repères 3
Figure 1-3 Vecteur position pour un repérage cartésien.
x
y
z
xM
yM
zM
O
OM