4 Dérivée de fonctions transcendantes

4 D´ eriv´ ee de fonctions transcendantes
4.1 Fonctions trigonom´ etriques
1. ´ Evaluer, sans calculatrice.
a) sin 8π
3
b) cos `−5π
2´
c) tan 3π
4
d) cot `−11π
6´
e) sec 4π
3
f) csc `−π
4´
g) sin `π
3+π 4´
h) cos π
12
2. ` A l’aide des identit´ es trigonom´ etriques pour sin(α+β)
et cos(α+β)trouver les identit´ es pour
a) sin(α−β)
b) cos(α−β)
c) sin(2θ)
d) cos(2θ)
3. D´ emontrer les identit´ es trigonom´ etriques suivantes.
a) sin2θ=1−cos 2θ
2
b) cos2θ=1 + cos 2θ
2
c) sin 3θ= 3 sin θ−4 sin3θ
d) cos4θ−sin4θ= cos 2θ
e) tan θ
2=sin θ 1 + cos θ
4. Trouver (sin u)0et (cos u)0si la variable udonne
l’angle en degr´ e.
5. D´ emontrer que (cos x)0=−sin x.
a) En utilisant la d´ efinition de la d´ eriv´ ee.
b) En utilisant l’identit´ ecos x=p1−sin2x.
c) En utilisant les identit´ es :
sin x= cos `π
2−x´et cos x= sin `π 2−x´
6. D´ emontrer les formules de d´ erivation suivantes :
a) (cot x)0=−csc2xb) (csc x)0=−csc xcot x
7. Calculer la d´ eriv´ ee des fonctions suivantes.
a) y=x3sin x
b) y= cos 3x−3 cos x
c) y= sec2x
d) y= cot 3xcsc 3x
e) y= tan „x2
x+ 1 «
f) y=esin 3x
8. Trouver dy
dx.
a) xsin x+ycos y= 0
b) sin4xy +xy = 0
c) sec y3+y2= 3x4
d) xtan (ey) + ln y= 3
9. ´ Etudier la croissance et la concavit´ e des fonctions
suivantes et tracer leur graphique.
a) f(x) = x
2+ sin x, o`
ux∈[0,2π]
b) f(x) = sin x+ cos x, o` ux∈[0,2π]
10. Calculer la d´ eriv´ ee des fonctions suivantes.
a) y= cos e−x
b) y= sin3x+ 3sin x
c) y= ln (sec x+ tan x)
d) y=1 + csc x2
1−cot x2
e) y= cos `tan x2´
f) y=ex3sec22x
g) y=etan x−sin xcos x
h) y= cot x−1
x−4
4.2 Fonctions trigonom´ etriques inverses
11. Sans calculatrice, ´ evaluer les nombres suivants en
radians.
a) arcsin 1
2
b) arccos „−1
2«
c) arctan (−1)
d) arcsec 2
e) arccot √3
f) arcsin (sin 5)
g) tan (arctan 3)
h) lim
x→∞ arctan x
12. R´ esoudre les ´ equation suivantes.
a) sin x+ 1 = cos xb) 2 sin `x2−1´=√2
13. Calculer la d´ eriv´ ee des fonctions suivantes.
a) y= arcsin `x3−3x´
b) y= (x−arctan 2x)5
c) y= arccsc x2
d) y=xarccos 2x
e) y= arcsin √x
f) y=2
arccot x
1

14. Trouver dy
dx.
a) arctan y
x=y2b) arccos y= arcsin x
c) earctan y= sin (ln x)
15. Trouver les valeurs de xpour lesquelles la fonction
f(x) = arcsin 3xadmet une droite tangente
perpendiculaire ` a la droite y= 3 −x/5.
16. Calculer la d´ eriv´ ee des fonctions suivantes.
a) y=xarctan x
b) y= arccos 2x
1−x2
c) y= arccot `e3 sec x´
d) y= arcsec `x2+ 1´
e) y=arcsin x2
ln x
4.3 Fonctions exponentielles et
logarithmiques
17. ´ Evaluer, sans calculatrice, les nombres suivants
sachant que log32≈0,63.
a) log10 1000
b) log100 10
c) log3
1
9
d) log354
18. R´ esoudre les ´ equations suivantes.
a) log2x= 5
b) 3x= 100
c) 5·3x= 2x+1
d) 2 log4x−log4x−1 = 1
19. Calculer la d´ eriv´ ee des fonctions suivantes.
a) y= 3x+ 3−x+x3+ 3x
b) y= 82x+x2
c) y=x3
ex
d) y=x·8x
20. Calculer la d´ eriv´ ee des fonctions suivantes.
a) y= log5`x3+ 1´
b) y=ln x
x
c) y=x4ln5x
d) y=plog3x
21. Trouver dy
dx.
a) ex+y=y2+ 1 b) xln y−3xy2= 0
22. Soit la fonction f(x) = e−x2
a) Faire l’´ etude compl` ete de croissance, concavit´ e et
asymptotes de cette fonction puis tracer son graphique.
b) Trouver les dimensions du rectangle d’aire maximale
que l’on peut inscrire entre l’axe des xet la courbe de
f.
23. Soit f(x) = xk−kx, o` ukest une constante positive.
Trouver la valeur de kpour laquelle f0(1) = 0.
24. Calculer la d´ eriv´ ee des fonctions suivantes.
a) y=e√x+√ex
b) y=ex2
x−5
c) y= 235x
d) y= ln xlog x
e) y=ln x4
x4
f) y=`x+ ln2x´5
4.4 Applications
25. Soit la fonction f(x) = x+ ln x2+ 1
a) Montrer que fest toujours croissante.
b) ´ Etudier sa concavit´ e et donner ses points d’inflexion.
26. Trouver les extremums absolus des fonctions donn´ ees
sur l’intervalle [0,2π].
a) f(x) = cos22xb) f(x) = 5 sin x+ 12 cos x
27. Un virus se propage de telle sorte que le nombre
de personnes atteintes du virus tsemaines apr` es son
apparition est donn´ e par N(t) = 5000
2+8e−3t
4
.
a) Initialement, combien de personnes sont porteuses du
virus ?
b) Combien de personnes seront atteintes 4 semaines
apr` es son apparition ?
c) Dans combien comptera-t-on 1300 victimes ?
2

d) ` A long terme, combien de personnes contracteront ce
virus ?
e) Quel est le taux de propagation du virus apr` es 2
semaines ?
f) Quel est ce taux ` a long terme ?
g) ` A quel moment le virus se propage-t-il le plus
rapidement ?
28. On lance un projectile avec un canon selon une
vitesse initiale de v0m/s. Si on n´ eglige la r´ esistance
de l’air, la port´ ee (la distance horizontale parcourue
par le projectile) est donn´ ee par la fonction
R(θ) = v2
0sin 2θ
g
o` ug= 9,8m/s2et θest l’angle d’inclinaison du
canon. Selon quel angle doit-on placer le canon pour
avoir une port´ ee maximale ?
29. Les cˆ ot´ es congrus d’un triangle isoc` ele mesurent
5 cm. Trouver l’angle θentre ces deux cˆ ot´ es qui
maximise l’aire du triangle.
30. ` A quelle distance de la ligne des buts un ailier gauche
de hockey sur table doit-il lancer pour maximiser
ses chances de marquer si le but mesure 5 cm de
largeur et que le joueur est restreint ` a un rail situ´ e
`
a 8 cm du poteau le plus pr` es ? On suppose que le
joueur maximise ses chances de marquer si l’angle
d’ouverture vers le but est maximal.
31. On fabrique une auge ` a partir d’une feuille de m´ etal
de 120 cm de largeur. De chaque cˆ ot´ e, on replie une
bande de 40 cm selon un angle θ. Quel doit ˆ etre
cet angle pour que l’auge puisse contenir un volume
maximal ?
32. Trouver l’´ equation de la droite tangente ` a la courbe
de f(x) = ln (sin x)au point π
4, f(π 4).
33. Un cam´ eraman est post´ e` a 5 m d’une route rectiligne
et doit filmer une voiture qui passera sur cette route
`
a vitesse constante de 10 m/s. ` A quelle vitesse
angulaire (en rad/s) la cam´ era doit-elle pivoter
exactement une seconde apr` es que la voiture soit
pass´ ee devant elle ?
34. Une ´ etune men´ ee aupr` es d’athl` etes olympiques r´ ev` ele
que la capacit´ e pulmonaire de ces derniers ob´ eit ` a la
fonction
C(x) = 0,8 ln x−1,8
0,009x
o` uxest l’ˆ age de l’athl` ete. ` A que ˆ age un athl` ete a-t-il
une capacit´ e pulmonaire maximale ?
35. ` A l’aide du test de la d´ eriv´ ee seconde, trouver les
extremums relatifs de f(x) = arctan x+x2
2−x.
36. Soit f(x) = √x−4et la droite Djoignant l’origine et
un point quelconque sur la courbe de f. Quelle valeur
de xminimise l’angle entre la droite Det l’axe des x?
37. On doit suspendre une lampe au dessus du centre
d’une table carr´ ee de 2 m par 2 m. L’intensit´ e de
la lumi` ere ` a un point Pde la table est directement
proportionnel au sinus de l’angle que forme le rayon
lumineux avec la table, et inversement proportionnel
`
a la distance entre Pet la lampe. ` A quelle hauteur
3

la lampe doit-elle ˆ etre suspendue pour que l’intensit´ e
lumineuse soit maximale aux quatre coins de la
table ?
38. Trouver les extremums relatifs des fonctions
suivantes.
a) y= ln2`2x2−x´. b) y= sin2x+ 2 cos x.
39. Quelle est la longueur maximale du tuyau de
diam` etre n´ egligeable qui peut tourner le coin de ce
corridor si on n´ eglige la hauteur du corridor ?
4.5 Exercices r´ ecapitulatifs
40. Calculer la d´ eriv´ ee des fonctions suivantes.
a) y= log3√x
b) y=qln √x
c) y= 4s„1
3«x
d) y= (ex+ 2x)5
e) y=ex
ex−x
f) y= tan2ex3
g) y= log (cos 3x−cos32x)
h) y= sin (2x+ cos x)
i) y= ln `csc `3x4−2ex´´
j) y= cot √x+√sec x2
k) y=x2
tan 3
√x
l) y=psec (sin x2)
m) y= ln (arctan ex)
n) y= arccot 1
x
o) y= arcsin ln x
x
41. Vous avez remarqu´ e au num´ ero (38 n) que
arccot 1
x0= (arctan x)0. Montrer, `
a l’aide d’un
triangle rectangle, que arccot 1
x= arctan x.
42. Trouver dy
dx.
a) exln y=ytan x
b) cos `x2y2´= ln x
c) arcsin ey=x√y
43. Soit la fonction
f(x) =
ex−x+ksi x < 0
−x3si 0 ≤x < 1
ln x
xsi x≥1
a) Quelle doit ˆ etre la valeur de kpour que fsoit continue
en x= 0 ?
b) Pour cette valeur de k,fest-elle d´ erivable en x= 0 ?
c) fest-elle continue en x= 1 ?
d) fest-elle d´ erivable en x= 1 ?
44. Utiliser les propri´ et´ es des logarithmes pour d´ eriver
f(x) = ln sin52xsec43x
√x2+ 5
45. Utiliser la d´ eriv´ ee logarithmique pour d´ eriver les
fonctions suivantes.
a) y=xsin xb) y= (sin x)arctan x
46. Soit f(x) = 3e4x. Trouver une expression pour
f(n)(x)(la ned´ eriv´ ee de f).
47. Faire l’´ etude compl` ete de la fonction f(x) = xexet
tracer son graphique.
48. On veut atteindre un mur fragile en appuyant une
´
echelle sur un muret de 2 m de haut situ´ e` a1mdu
mur. D´ eterminer l’angle θqui minimise la longueur
de l’´ echelle ` a utiliser.
4

49. On veut placer une cam´ era de surveillance sur le mur
de 10 m` etres. ` A quel endroit doit-on la placer pour
maximiser son champ de vision ?
5