1/3 TD Physique n°13 : Forces conservatives – énergie potentielle

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TD Physique n°13 : Forces conservatives – énergie potentielle
* Exercice 1 : Etude du mouvement d’un satellite
On étudie le mouvement d’un satellite autour de la Terre. La Terre est supposée sphérique, de centre O et de rayon R T. Le référentiel
terrestre est supposé galiléen. Le satellite, assimilé à un point matériel de masse m, décrit une trajectoire circulaire et uniforme de
centre O et de rayon r. On négligera dans un premier temps toute force de frottement.
𝑅
2
L’accélération de la pesanteur, à la distance r du centre de la Terre, est 𝑔 (𝑟) = 𝑔0 × ( 𝑇)
𝑟
a. Rappeler l’expression des vecteurs vitesse et accélération pour un mouvement circulaire uniforme dans une base adaptée.
1.
b. Déterminer l’expression de la vitesse du satellite sur son orbite à l’altitude h.
c. En déduire la période T de révolution du satellite. La calculer. On donne : g 0 = 10 m/s2. ; RT = 6400 km et h = 850 km.
2. Déterminer, pour le satellite, en fonction de m, r, RT et g0 :
a. l’énergie cinétique Ec.
c. l’énergie mécanique E.
b. l’énergie potentielle Ep(r). On prendra Ep() = 0
3. Dans la haute atmosphère, le satellite est soumis, en plus de l’attraction terrestre, à une force de frottement.
a. Montrer que, lors d’une variation d’altitude, le travail des forces de frottement est égal à la variation d’énergie mécanique.
b. Calculer ce travail pour une perte d’altitude de 200 m, si m = 500 kg.
** Exercice 2 : Etude du mouvement d’un enfant sur un toboggan
Un enfant glisse le long d’un toboggan de plage. Pour l’exercice, l’enfant
sera assimilé à un point matériel G et on négligera tout type de frottement
ainsi que toutes les actions dues à l’air. L’enfant sort du toboggan sous un
angle  avec l’horizontale.
D
h
y
Données : Masse de l’enfant : m = 35 kg ; Intensité de la pesanteur : g =
10 m.s-2 ; Dénivellation h = 5,0 m ; Hauteur H = 0,50 m ; Angle  = 30°.
Déterminer la valeur de l’abscisse xP du point d’impact P de l’enfant dans
l’eau.
O
x
H
P
** Exercice 3 : Etude du mouvement d’un enfant sur un igloo
Un enfant de masse m = 30 kg se laisse glisser, sans frottement, depuis le haut d’un
igloo hémisphérique de rayon R = 2,5 m. Sa position sur l’igloo est repérée par un
angle  . L’enfant quitte le sommet de l’igloo avec une vitesse négligeable.
On donne : g = 9,8 m.s—2.
1.
Exprimer la vitesse v de l’enfant, lorsqu’il est en contact avec l’igloo, en
fonction de g, R et  .
2.
a. Etablir l’expression des vecteurs accélération et vitesse d’un point
matériel M pour un mouvement circulaire.
b. Exprimer alors la force exercée par l’igloo sur l’enfant en fonction de m, g, R,  et v.
3.
Pour quel angle  0 l’enfant quitte-t-il la surface de l’igloo ? Quelle est alors sa vitesse v0 ? Réalisez les applications
numériques.
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* Exercice 3 : Etude des positions d’équilibre d’un système
On s’intéresse au dispositif dans lequel un ressort de raideur k, de longueur au repos ℓ0 , et de masse négligeable, est relié par l’une
des extrémités au point fixe I(0,a) et l’autre extrémité à un anneau, assimilé à un point matériel M de masse m, coulissant sans frottement
sur un axe Ox horizontal (voir Figure 1 ci-dessous).
Fig.2
Fig.1
1.
Que dire de l’énergie mécanique du point matériel M au cours de son déplacement ?
2.
Rappeler l’expression de l’énergie potentielle élastique. Montrer alors que l’énergie potentielle du système s’écrit :
1
1
𝐸𝑝 = 𝑘𝑥 2 − 𝑘ℓ0 (𝑎2 + 𝑥 2 )2 + 𝑐𝑠𝑡𝑒
2
3.
Déterminer la ou les positions d’équilibre du point matériel M. Montrer que le comportement du système est différent pour
𝑎 < ℓ0 et pour 𝑎 > ℓ0 .
4.
Identifier alors les profils d’énergie potentielle sur la Figure 2 ci-dessus, au cas décrits à la question précédente. Caractériser
la nature stable ou instable des positions d’équilibre identifiées.
* Exercice 4 : Etude des oscillations amorties d’une masse suspendue à un ressort vertical
1.
On considère une sphère de rayon r, entièrement plongée (ce sera le cas dans tout l’exercice) dans un liquide de masse
volumique  et de viscosité dynamique  . Cette sphère de masse m est suspendue à l’extrémité d’un ressort de raideur k et
de longueur à vide 0 . Le champ de pesanteur 𝑔⃗ est supposé uniforme. On prendra l’axe des z orienté vers le bas.
a. Faire un bilan des forces s’exerçant sur la sphère à l’équilibre.
b. Déterminer la longueur
2.
eq
du ressort à l’équilibre.
La sphère n’est plus à l’équilibre.
a. Faire un bilan des forces s’exerçant sur la sphère. On indique que la force de frottement fluide s’écrit : ⃗⃗⃗⃗
𝑓𝑣 = −6𝜋𝜂𝑟𝑣⃗
b. Etablir l’équation différentielle du mouvement en fonction de z (t )  (t ) 
3.
eq
.
Lorsque la sphère est lâchée sans vitesse initiale après avoir été écartée de sa position d’équilibre, on observe des oscillations
amorties du dispositif.
a. Etablir l’expression de la pseudo-période T des oscillations en fonction de la période propre T0 et, de  , r et m.
b. En déduire l’expression de la viscosité  en fonction de T, T0, r et m.
c.
Comment pourrait-on déterminer expérimentalement  ?
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* Exercice 5 : Etude d’un pendule pesant amorti

Un pendule pesant est constitué par une boule d’acier de masse m = 470
g, suspendue par un fil souple tel que la distance entre le point d’attache
et le centre de la boule soit L.

L’air freine ce pendule avec la force f  v où v est le vecteur vitesse
de la boule.
L’inclinaison du pendule est repérée par son angle  avec la verticale.
On observe des oscillations amorties d’amplitude suffisamment faible
pour les assimiler à des petites oscillations.

1.
Etablir l’équation différentielle du second ordre vérifiée par 
2.
A quelle condition obtient-on un régime pseudo-périodique ?
Comment s’exprime alors  (t) ?

𝜃(𝑡)
On rappelle que le décrément logarithmique s’écrit 𝛿 = 𝑙𝑛 (𝜃(𝑡+𝑇)).
3.

Exprimer 𝛿 en fonction de la pseudo-période T et du coefficient d’amortissement 𝜆.
4.
On donne ci-dessous les variations de avec le temps. Calculer, à partir des valeurs expérimentales :
a) la pseudo-période.
b) le décrément logarithmique.
1
c) la constante de temps 𝜏 = 𝜆. On donnera la signification de 𝜏.
d) la constante .