i particule sur un cerceau avec frottements visqueux

PCSI
03/04
M4 : OSCILLATEUR HARMONIQUE
OSCILLATEUR AMORTI
I PARTICULE SUR UN CERCEAU AVEC FROTTEMENTS VISQUEUX.
Une particule assimilée à un point matériel M de masse m se déplace sur la rainure intérieure
d’un cerceau immobile de centre O, de rayon R et d’axe horizontal Oz. Elle est soumise à une
force de frottement visqueux f  b.m.v , où v est la vitesse de M par rapport au cerceau, et b
> 0, et à aucune autre force de frottement de la part du cerceau.
= ( (ux ,OM)
 est supposé petit.


g
A t = 0, on abandonne la particule en
 0 sans vitesse initiale.
R
O

y
u

M(m)


x
ur
1) Ecrire l’équation différentielle
en .
2) a) Quelle valeur Rc faut-il
donner à R pour que la
particule atteigne l’équilibre
le plus rapidement possible ?
b) Donner la loi horaire (t)
dans ce cas.

II FACTEUR DE QUALITE.
On considère un oscillateur harmonique très faiblement amorti.
1) Exprimer le facteur de qualité Q en fonction du décrément logarithmique .
2) On observe qu'après n oscillations de pseudo-période T voisine de To, l'amplitude du
mouvement n'est plus que le dixième de l'amplitude initiale. Exprimer le facteur de qualité Q
en fonction de n.
III MESURE D’UN COEFFICIENT DE VISCOSITE.
Une sphère de rayon r et animée d'une vitesse v, plongée dans
un liquide de coefficient de viscosité , est soumise à une force
de frottement qui, lorsque la vitesse est faible (régime
laminaire), a pour expression :
f = - 6 r. v (formule de Stokes).
Une telle sphère, de masse m est suspendue à un ressort de
raideur k. La période d'oscillation dans l'air (où le frottement est
négligeable) est To et la pseudo-période dans un liquide
visqueux est T; donner l'expression de  en fonction des
caractéristiques de la sphère, de To et T. Relier le décrément logarithmique  aux
caractéristiques de la sphère,  et T.
IV PETITES OSCILLATIONS AU VOISINAGE D’UNE POSITION D’EQUILIBRE
On considère un élastique E de raideur k, de longueur à vide lo ,et une particule M de masse
m.
1) M est accroché à E placé verticalement. Déterminer l’allongement a de E à l’équilibre,
ainsi que la pulsation o des oscillations verticales de M autour de sa position
d’équilibre.
2) On réalise un quart de cercle de circonférence de centre O et de rayon a (valeur du 1))
E, accroché en A, passe en B dans un petit anneau. AB = lo
M coulisse sans frottement sur le cercle
a
O
B
lo

A

g

M(m)
Etablir l’équation différentielle du mouvement de M. Calculer la valeur de  pour laquelle
M est en équilibre. Etudier les petites oscillations de M au voisinage de cette position
d’équilibre, et calculer leur pulsation o.
V MODELE DE MOLECULE DIATOMIQUE

La molécule AB est modélisée ainsi :
A et B sont deux points matériels distants de r = AB, la valeur d’équilibre de r valant
ro = 3.1010 . A et B portent respectivement les charge q = .e et –q = -.e avec  = 0,6.
La masse de A est m = 10-26 kg, celle de B est très supérieure de sorte qu’on peut
considérer que B est immobile.

1 q2
L’énergie potentielle d’interaction est U(r)  n 
, avec n = 10 et  >0,
r
4. .o r
caractéristique de la molécule.
1)
2)
3)
4)
Tracer l’allure de U(r)

Donner l’explication de chaque
terme de U(r)
Exprimer  en fonction de n,q, ro, o.
Exprimer l’énergie de dissociation Ed de la molécule en fonction de n,q, ro, o..
Donner sa valeur numérique en eV/molécule et en kJ/mole.
5) Pour de petits déplacements autour de ro, montrer que la force de liaison peut être
représentée par un ressort , dont on donnera la raideur k en fonction de n,q, ro, o.
Donner la valeur numérique de k.
6) Calculer la pulsation propre o des petites oscillations autour de ro ainsi que la
longueur d’onde o de l’onde électromagnétique associée .Dans quel domaine du
spectre se situe o ?
VI ASSOCIATION DE RESSORTS
On considère deux ressorts de même longueur à vide 1o et de raideurs différentes kl et k2.
1. Les ressorts sont placés verticalement en parallèle.
L'extrémité supérieure est fixe et l'autre porte une
masselotte de masse m. Trouver l'expression de la
pulsation de l'oscillateur ainsi formé. Conclure.
2. Même question lorsque les ressorts sont placés en
série. Conclure.