Mécanique – Chapitre 3 : Énergie d`un point matériel Exercices d

Exercices d’application (feuille P13)
Lycée Hoche – BCSPT1A – A. Guillerand
Mécanique – Chapitre 3 : Énergie d’un point matériel Page 1
Mécanique – Chapitre 3 : Énergie d’un point matériel
Exercices d’application
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Mouvement de glissement sans frottement
On considère un objet ponctuel de masse  glissant
sans frottement à l’intérieur d’une portion circulaire (cf.
figure 1)
Figure 1
À l’aide du théorème de l’énergie cinétique, déterminer la
vitesse minimale  qu’il faut communiquer à la masse en
 pour qu’elle puisse atteindre .
2
Mouvement de glissement avec frottement
On considère une masse  glissant avec frottement sur un
plan incliné d’angle  (cf. figure 2). Le coefficient de
frottement dynamique noté  vérifie la condition
suivante :  .
Figure 2
À l’aide du théorème de l’énergie cinétique, déterminer la
vitesse minimale  qu’il faut communiquer à la masse en
 pour qu’elle puisse atteindre .
3
Pendule simple
Un pendule est constitué d’un objet de masse  au bout
d’un fil de longueur . Il est lâché sans vitesse initiale
depuis un angle  mesuré à partir de la verticale.
Déterminer la vitesse de la masse lorsque le fil est incliné
d’un angle  quelconque. Est-il nécessaire de faire
l’approximation des petits angles pour déterminer cette
vitesse ? Donner son expression pour   .
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Calcul d’une énergie potentielle
On démontre que, pour tout point  de masse , situé à
l’intérieur de la Terre, à la distance  du centre  de la
Terre, l’attraction terrestre est une force agissant sur ce
point, dirigée vers le centre de la Terre et de valeur :
 : rayon de la Terre,   , 
Données numériques :   ,  
On considère (figure suivante) un tunnel rectiligne ,
d’axe  ne passant pas par  et traversant la Terre. On
note  la distance  du tunnel au centre de la Terre.
Figure 3
Un véhicule, assimilé à un point matériel  (masse ),
glisse sans frottement dans le tunnel. Ce véhicule part du
point  de la surface terrestre, sans vitesse initiale.
On définit  l’énergie potentielle de gravitation.
1. Quelle est l’expression de  sachant que 
 au point  ? (On prendra l’origine des  au
point )
2. Quelle est sa vitesse maximale  au cours de son
mouvement ? Calculer  sachant que   
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Chute libre
On lance un objet de masse  à la vitesse  à   , on
choisit l’origine du repère  au niveau de la position de
départ de l’objet. Le vecteur unitaire  est orienté
verticalement vers le haut.
À l’aide du théorème de l’énergie mécanique, déterminer
la norme de vitesse en fonction de l’altitude .

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Distance d’arrêt
Un objet de masse  lâchée en , sans vitesse initiale,
glisse sans frottement sur un plan incliné puis avec
frottement sur un plan horizontal (cf. figure 4). Le
coefficient de frottement dynamique noté  vérifie la
condition suivante :  .
Figure 4
À l’aide du théorème de l’énergie mécanique, calculer
la distance d’arrêt   .
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Ressort vertical et pendule simple
1. Ressort vertical
Un objet ponctuel de masse , lié à un ressort vertical de
constante de raideur  et de longueur à vide , est lâché
sans vitesse initiale, le ressort étant étiré initialement :
longueur .
A l’aide du théorème de l’énergie mécanique, déterminer
l’équation différentielle du mouvement. (On ne résoudra
pas l’équation).
2. Pendule simple
Un pendule est constitué d’un objet de masse  au bout
d’un fil de longueur . Il est lâché sans vitesse initiale
depuis un angle  mesuré à partir de la verticale.
A l’aide du théorème de l’énergie mécanique, déterminer
l’équation différentielle du mouvement. (On ne résoudra
pas l’équation).
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Graphe d’énergie potentielle et régions
accessibles
Soit le graphe de l’énergie potentielle de la figure 5.
Figure 5 : graphe de l’énergie potentielle
1. En déduire l’allure du graphe donnant la variation de
la force  en fonction de .
2. Quelle est la position d’équilibre ? Est-elle stable ?
Quelles sont les régions accessibles si     et
si   ?