Algèbre Examen du 24 juin 2015, durée 2h

Université de Rouen
L2 Math/Info
Année 2014-2015
Algèbre
Examen du 24 juin 2015, durée 2h
L’USAGE DE TOUT DISPOSITIF ÉLECTRONIQUE AUTRE QUE LA MONTRE EST INTERDIT.
IL EN EST DE MÊME DE TOUT DOCUMENT.
Une rédaction claire et concise sera appréciée. Toute affirmation devra être justifiée.
Exercice 1. Soient σ1et σ2les permutations suivantes :
σ1=µ123456789
496138257¶,σ2=µ123456789 394127586¶
(a) Décomposer σ1,σ2et σ3=σ1◦σ2en produit de cycles à supports disjoints. Calculer
alors leurs signatures.
(b) Calculer σ2017
2ainsi que (σ1◦σ2)−1.
(c) Montrer par l’absurde qu’il n’existe pas de permutation σtelle que σ2=σ1. Pour cela
soit σune permutation telle que σ2=σ1.
-i- Soient i=σ(1) et j=σ(4). Que valent σ(i) et σ(j) ?
-ii- Peut-on avoir i,j∈{2,3,5,6,7,8,9} ? [justifier]
-iii- Conclure.
(d) Trouver au moins une permutation σtelle que σ2=σ2. Pour cela on pourra remarquer
–et démontrer– que si sest un cycle de longueur 2p+1 (avec p≥2) alors sp+1◦sp+1=s.
Exercice 2. On rappelle que l’ensemble des matrices carrées de taille 2, noté M2(R) est un
anneau unitaire non commutatif pour la somme et le produit usuels : (M2(R),+,·).
Pour a∈Qon définit l’ensemble Kpar K=nµx ay
y x ¶; (x,y)∈Q2o.Kest donc un sous-
ensemble de M2(R), dont les éléments sont les matrices particulières s’écrivant sous la forme
µx ay
y x ¶avec xet ydans Q.
(a) Montrer que Kest un sous anneau de (Mn(R),+,·). Kest-il commutatif ?
(b) On prend a=25
16 . Trouver un élément non nul Ade Ktel que det(A)=0. En déduire
que Kn’est pas un corps.
(c) On prend a=7 et on rappelle que p7∉Q. Montrer que Kest un corps.
–Question bonus– Montrer que Kest un corps si et seulement si pa∉Q.
Exercice 3. Décomposer en éléments simples dans C[X] la fraction rationnelle
F=6X3−14X2+6X+6
(X−2)2(X2+2) .
En déduire sa décomposition en éléments simples dans R[X].
Exercice 4. Factoriser dans C[X] puis dans R[X] les polynômes suivants
X5−1, (X2+2)2+4.
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