Le premier mémoire de Galois

Le premier mémoire de Galois
Ce texte utilise les parties Homographies et Fractions continues : cas particulier du niveau 1, ainsi que Fractions
arithmétiques du niveau 2.
Soit x un irrationnel de ]0,1[ et (a n )
nN
la suite de nombres entiers intervenant dans sa
décomposition en fraction continue arithmétique.
On conviendra de dire x est immédiatement périodique s'il existe un entier p tel que, pour tous
les entiers n non nuls, an=an+p. Lorsque la relation précédente n'est valable que pour les n plus
grands qu'un certain m, on dira seulement que x est périodique.
On admet ici que x est périodique si et seulement si il est racine d'un polynôme P de degré 2 et
à coefficients entiers. On dira alors que x est un irrationnel quadratique et on désignera par x'
l'autre racine (également un irrationnel quadratique) du polynôme. On dira que x' est le
conjugué de x.
Dans son premier mémoire (1828-29), Galois a démontré que x est immédiatement périodique
si et seulement si x  1. Dans ce cas, l'opposé de l'inverse de x' est immédiatement
périodique et son développement s'obtient en renversant celui de x.
Les notations suivantes seront utilisées pour désigner certaines homographies associées au
développement arithmétique périodique de l'irrationnel quadratique x :
1
1
t k ( w)  w  a k ,  k ( w) 
, I( w)  , s( w)   w,
ak  w
w
   1     p ,   p     1 .
1. Montrer que I  s  s  I, I  t k  s  s   k , I   1  s  s    I.
2. Montrer que deux polynômes du second degré à coefficients entiers qui ont une racine
irrationnelle en commun sont proportionnels.
Aw  B
avec C  0.
Cw  D
Montrer que ses points fixes sont les racines d'un polynôme P de degré 2 que l'on
précisera en fonction de A, B, C, D.
3. Soit  une homographie telle que  ( w) 
4. Soit x un nombre irrationnel immédiatement périodique.
a. Montrer que P ( x)  0.
b. Montrer que P et P sont proportionnels, en déduire que x  0 .
c. Montrer que :
1
1
1
0  P ( )  P ( ) et que   0,1.
x
x
x
En déduire que 
1
est immédiatement périodique, préciser son développement.
x
On se propose maintenant de démontrer la réciproque. C'est à dire que, si x est un irrationnel
quadratique dans ]0,1[ tel que x  1 , il est immédiatement périodique.
Soit x un tel nombre, (a n )  la suite de nombres entiers intervenant dans sa décomposition
nN
en fraction arithmétique. Il existe des entiers p et m tels que :
n  m , a n  a n  p .
Notons  le nombre immédiatement périodique dont la décomposition en fraction commence
en am+1. Notons enfin   le nombre irrationnel conjugué de .
5.a. Montrer que x  1     m ( ) , x  1     m ( ).
b. Montrer que x  1 entraîne k  1,, m  1,  k 1     m ( )  1.
En déduire am  E(  ).
c. Montrer que am=am+p. Conclure.
Commentaires
 La périodicité du développement d'un irrationnel quadratique se démontre complètement à
partir de l'Algorithme périodique de Legendre (niveau 2).
 Une autre application du renversement de l'ordre des termes d'une fraction continue est
donnée dans Fractions continues et sommes de deux carrés (niveau 3).
 Les équations du second degré dont une des racines est immédiatement périodique sont
celles de la forme suivante :
Ax 2  2Bx  C  0 avec B  0, AC  0, A  C  2B.
 Cette partie est tirée de [Gal] p 385.
Solution
1.
On peut écrire, pour une infinité de valeurs de w,
1
1
1
I  s ( w)    s  I , I  t k  s( w) 

 s   k ( w).
w
s( w)  a k
w  ak
On en déduit I  t k  s   k  s. De plus,
1
1
z   k ( w)  z 
 w   ak ,
w  ak
z
donc  k
1
 t k  I. On en déduit :
1
1
I   1  s  I   p   1  s  I  (t p  I)  (t p 1  I)  (t1  I)  s
 (I  t p )  (I  t p 1 )  (I  t1 )  (I  s )
 ( s   p  s )  ( s   p 1  s )  ( s   1  s )  ( s  I)  s    I.
2.
Notons A  a0  a1 X  a 2 X 2 , B  b0  b1 X  b2 X 2 , ces deux polynômes. La racine
irrationnelle commune x est alors racine de C  a2 B b2 A . Ce dernier polynôme est à
coefficients entiers et de degré au plus 1, il doit être nul pour admettre une racine
irrationnelle.
3.
Il est évident que P  C X 2  ( D  A) X B.
4.
Remarquons d'abord que, pour une infinité de valeurs de z et pour k  m ,
ak ,, am    k   m (0) , ak ,, a m , z    k   m ( 1 )   k   m  I( z ).
z
a. L'immédiate périodicité de x se traduit par :
1

x  a1 ,, a p ,    1   p ( x)   ( x). On en déduit P ( x)  0.
x

b. Le polynôme P est à coefficients entiers, de degré 2 car il admet une racine
irrationnelle x. Comme P et P ont cette racine en commun, ils sont proportionnels. On en
déduit que x' est également racine de P ( c'est à dire point fixe de ).
Les quatre coefficients d'une matrice de  (obtenue en faisant le produit des matrices
associées aux k) sont, de manière évidente, strictement positifs. L'expression de P, trouvée
en 3., montre que le produit des racines de P est strictement négatif, on en déduit donc que x'
est strictement négatif.
c. De la question 1., on déduit s  I   1    I  s. De plus, si z est un point fixe pour ,
on peut écrire :
1
1
s  I( z )  s  I   1 ( z )    I  s ( z ) ou encore    ( ).
z
z
1
1
Comme x et x' sont les deux points fixes de , ceux de  sont  et  .
x
x
1
1
1
1
De plus, comme   0, la relation    ( ) montre que   1.
x
x
x
x
Cette relation s'interprète aussi comme un développement immédiatement périodique dont les
termes sont ceux de x mais pris dans l'ordre inverse soit :
a p , a p 1 , , a1 , a p , a p 1 ,

1
5.a. Par définition, x  a1 ,, am ,    1   m ( ).


Reprenons les notations de l'énoncé en décalant les indices, posons :
   m1   m p ,   m p   m1 ,  1   m .
On a alors : x   ( ) ,    1 ( x) ,    ( ) , x       1 ( x).
Ainsi, P   1 est le polynôme dont x et x' sont les racines (x et x' sont les deux points fixes de
     1 ).
Si   est l'autre point fixe de , on peut écrire      1 ( ( ))     ( )   ( ). Ceci
montre que  ( ) est l' autre point fixe de      1 , soit  ( )  x.
1
 0 lorsque a  1 et u  1.
au
Considérons les nombres suivants qui sont tous irrationnels :
u 2   2   3   m ( ) , u3   3   m ( ),  , u m   m ( ).
De 1 (u 2 )  x  1 , on déduit u 2  1 , et l'inégalité est stricte car u2 est irrationnel. De
même,  2 (u3 )  u 2  1 donc u3  1 et ainsi de suite jusqu'à um.
De la dernière inégalité, on déduit :
1
 1 donc a m      1, 0 puis a m  E(  ).
am   
b. Il est bien évident que
c. On a montré en 4. que le développement de 
1
s'obtenait en renversant celui de . Le

premier terme de ce développement est donc am+p.
D'après Fractions arithmétiques, ce premier terme s'obtient aussi en considérant la partie
entière de l'inverse soit :
1
)  E(  )  a m .
1


Le développement est donc périodique à partir de m  1, en recommençant le raisonnement,
on prouve qu'il est immédiatement périodique.
a m  p  E(