Devoir probabilités et étude de fonction vendredi 14/02/2014

Devoir probabilités et étude de fonction vendredi 14/02/2014
Exercice 1 (4,5 points):
Un jeu de hasard est formé d'un dispositif lançant de façon aléatoire une fléchette dans une cible ayant la forme
suivante :
B
B
B
B
B
B
B
B
B
N
N
N
V
V
R
R
V
V
N
N
N
B
B
B
B
B
B
B
B
B
La fléchette atteint toujours une lettre et une seule. Les trente lettres ont toutes la même probabilité d'être atteinte.
• Si la fléchette atteint une lettre R, le joueur gagne 8 euros.
• Si la fléchette atteint une lettre V, le joueur gagne 5 euros.
• Si la fléchette atteint une lettre N, le joueur ne gagne rien et ne perd rien.
• Si la fléchette atteint une lettre B, le joueur perd a euros.
On note X la variable aléatoire représentant le gain algébrique du joueur
1. Donner la loi de probabilité de X.
2. Calculer le réel a pour que le jeu soit équitable.
3. Donner une valeur approchée de σ ( X ) à 0,01 près.
Exercice 2 (5,5 points):
Une chaîne de restauration rapide effectue une analyse du temps mis par un client pour prendre sa commande. Elle
aboutit au classement des clients en trois catégories :
• R : le client rapide, le temps de commande est de 10 s.
• C : le client classique, le temps de commande est de 15s.
• H : le client hésitant, le temps de commande est de 30s.
On suppose que les clients se répartissent de la façon suivante :
75% de classiques, 10% de rapides et 15% d'hésitants.
Deux clients se présentent successivement à la caisse.
1. Faire un arbre pondéré correspondant à la situation.
2. Quelle est la probabilité que les deux clients soient rapides.
3. On appelle D la variable aléatoire correspondant au temps total de commande pour deux clients.
a. Déterminer la loi de probabilité de D.
b. Déterminer l'espérance de D. Interpréter le résultat.
Exercice 3 (5 points) :
Soit h la fonction définie sur ℝ \{2} par h ( x )=−
1. Montrer que h' ( x )=
2x
on appelle (H) sa courbe représentative.
x −2
4
( x−2 )2
2. Déterminer l'équation ( T 3 ) de la tangente à (H) au point d'abscisse 3.
3. Calculer les coordonnées du point A de la courbe dont la tangente est parallèle à ( T 3 )
4. Soit m un nombre réel quelconque et ( Dm ) la droite d'équation y =mx .
Discuter en fonction de m , du nombre de points de (H) pour lesquels la tangente est parallèle à la droite
( Dm )
Exercice 4 (5 points) :
On inscrit un cône dans une sphère de centre O, de hauteur [ SO' ] et de rayon R=5.
On souhaite connaître la position de O' de sorte à ce que le volume du cône soit
maximal.
Dans l'exercice le point O' est situé « en dessous » du point O.
On pose x=OO' et on définit la fonction V : x → V ( x ) où V ( x ) est le volume du
cône.
1. Donner l'ensemble de définition de la fonction V.
2. Calculer O' A
π
3
2
3. Montrer que V ( x )= 3 ( −x −5 x +25 x+125 )
4. Déterminer la position de O' de sorte que le volume soit maximal.
Rappel : Volume du cône =
Aire Base× hauteur
3
Correction :
Exercice 1 :
1. Les trente lettres ont toutes la même probabilité d'être atteinte. On a la loi de probabilité suivante :
xi
-a
0
5
8
P(X= xi )
3
5
1
5
2
15
1
15
9
2
1
9
18
a+ ×5+ ×8 = =−
a+
15
15
15
15
15
9
18
a+
E(X) = 0 ⇔ −
= 0 ⇔ a = 2. Le jeu est équitable pour a = 2.
15
15
2. E(X) =−
Exercice 2 :
1. Il s'agit d'une répétition de deux expériences aléatoires identiques et indépendantes.
R
0,10
0,75
R
0,10
0,75
0,15
H
0,10
R
C
0,75
0,15
0,15
C
H
R
0,10
H
C
0,75
0,15
C
H
2. La probabilité que les deux clients soient rapides est égale à : 0,12 = 0,01.
3. a. La loi de probabilité de D est la suivante :
xi
20
25
30
40
P(D= xi )
45
60
2
0,01
2
2x0,1x0,75 = 0,15 0,75 = 0,5625 2x0,1x0,15 = 0,03 2x0,15x0,75 = 0,225 0,15 = 0,0225
b. E(D) = 0,01x20 + 0,15x25 + 0,5625x30 + 0,03x40 + 0,225x45 + 0,0225x60 = 33,5.
Pour un grand nombre de clients, on peut espérer un temps moyen de commande pour deux clients de 33,5s.
Exercice 3
1.
h est une une fonction quotient du type
u
de deux fonctions définies et dérivables sur ℝ \{2} tel
v
que v ne s'annule pas sur cet intervalle.
h Est alors définie et dérivable sur ℝ \{2} avec h' ( x )=−
h' ( x )=
4
( x −2)
2
2×( x−2) −2 x
2
( x−2)
soit h' ( x )=−
−4
2
( x− 2)
donc
.
2. L'équation de la tangente ( T 3 ) à la courbe au point d'abscisse 3 est y =h' ( 3) ( x −3) +h ( 3) .
On a h' ( 3) =4 et h ( 3) =−6 , donc l'équation de ( T 3 ) est y =4 ( x −3 ) −6 soit y =4 x −18
3. Soit le point A de coordonnées ( a ; h ( a ) ) , La tangente à la courbe au point A est parallèle à ( T 3 ) si et
seulement si h' ( a )=4 .
4
2
2
=4⇔ ( a−2 ) =1⇔ ( a−2) −1=0⇔ ( a−3) ( a−1) =0 . Il y a donc deux
On résout alors l'équation
2
( a−2)
seules solutions à l'équation 3 et 1, l'abscisse du point A est donc 1, le point A a pour coordonnées
A ( 1; 2) .
4. De la même manière M ( a ; h ( a ) ) est un point de la courbe dont la tangente passant par ce point est
parallèle à (D m ) d'équation y =mx , cela est vrai si et seulement si f' ( a )=m .
On résout alors l'équation
4
( a−2)
2
=m . On peut déjà dire que m est nécessairement strictement
positif.
2
L'équation est équivalente à 4=m ( a−2) ⇔4=m ( a2−4 a+4 )⇔ma 2−4 ma+4 m−4=0 .
C'est une équation du second degré qui admet des solutions si et seulement si le discriminant Δ>0 .
2
On calcule Δ=(−4 m ) −4 m ( 4 m−4 ) soit Δ=16 m 2−16 m2+16 m soit Δ=16 m .
Ainsi si m⩽0 il n'y a aucune solution soit aucun point H possible (m>0).
Si m>0 il y a exactement deux solutions soit deux points possibles.
Exercice 4
1. DV =] 0 ; 5[
2. Le triangle OO'A est rectangle en O', d'après le théorème de Pythagore, O' A2 =OA 2 −OO' 2 soit
2
2
O' A =25=x donc O' A= √ 25−x 2 .
2
2
π
π×( 25−x )×( 5+x )
3. On calcule alors le volume du cône V ( x ) =
soit V ( x ) = 3 ×( 25−x ) ( 5+x ) en
3
3
2
π
développant on trouve que V ( x ) = 3 (−x −5 x +25 x +125 ) .
4. Pour déterminer la valeur pour laquelle le volume est maximal on étudie les variations de V sur
] 0; 5 [
2
V' ( x ) = π (−3 x −10 x+25 ) , le signe de V' ( x ) est celui du trinôme −3 x 2 −10 x+25 .
3
10−20
5
soit x 1=
et x 2 =−5 , seule x 1 est dans l'intervalle
Δ=400 il y a deux racines x 1=
−6
3
d'étude. On en déduit le tableau de variations suivant :
x
5
3
0
signe de f '
+
−
5
V
3
()
f
Le volume est donc maximal pour x=
5
5
≈155, 14
et vaut V
3
3
()
5