Devoir probabilités et étude de fonction vendredi 14/02/2014

Devoir probabilités et étude de fonction vendredi 14/02/2014
Exercice 1 (4,5 points):
Un jeu de hasard est formé d'un dispositif lançant de façon aléatoire une fléchette dans une cible ayant la forme
suivante :
B B B B B B B B B N N N V V R R V V N N N B B B B B B B B B
La fléchette atteint toujours une lettre et une seule. Les trente lettres ont toutes la même probabilité d'être atteinte.
•Si la fléchette atteint une lettre R, le joueur gagne 8 euros.
•Si la fléchette atteint une lettre V, le joueur gagne 5 euros.
•Si la fléchette atteint une lettre N, le joueur ne gagne rien et ne perd rien.
•Si la fléchette atteint une lettre B, le joueur perd a euros.
On note X la variable aléatoire représentant le gain algébrique du joueur
1. Donner la loi de probabilité de X.
2. Calculer le réel a pour que le jeu soit équitable.
3. Donner une valeur approchée de
σ
(
X
)
à 0,01 près.
Exercice 2 (5,5 points):
Une chaîne de restauration rapide effectue une analyse du temps mis par un client pour prendre sa commande. Elle
aboutit au classement des clients en trois catégories :
•R : le client rapide, le temps de commande est de 10 s.
•C : le client classique, le temps de commande est de 15s.
•H : le client hésitant, le temps de commande est de 30s.
On suppose que les clients se répartissent de la façon suivante :
75% de classiques, 10% de rapides et 15% d'hésitants.
Deux clients se présentent successivement à la caisse.
1. Faire un arbre pondéré correspondant à la situation.
2. Quelle est la probabilité que les deux clients soient rapides.
3. On appelle D la variable aléatoire correspondant au temps total de commande pour deux clients.
a. Déterminer la loi de probabilité de D.
b. Déterminer l'espérance de D. Interpréter le résultat.
Exercice 3 (5 points) :
Soit
h
la fonction définie sur
ℝ
\{2} par
h
(
x
)
=− 2x
x−2
on appelle (H) sa courbe représentative.
1. Montrer que
h'
(
x
)
=4
(
x−2
)
2
2. Déterminer l'équation
(
T3
)
de la tangente à (H) au point d'abscisse 3.
3. Calculer les coordonnées du point A de la courbe dont la tangente est parallèle à
(
T3
)
4. Soit
m
un nombre réel quelconque et
(
Dm
)
la droite d'équation
y=mx
.
Discuter en fonction de
m
, du nombre de points de (H) pour lesquels la tangente est parallèle à la droite
(
Dm
)
Exercice 4 (5 points) :
On inscrit un cône dans une sphère de centre O, de hauteur
[
SO'
]
et de rayon R=5.
On souhaite connaître la position de O' de sorte à ce que le volume du cône soit
maximal.
Dans l'exercice le point O' est situé « en dessous » du point O.
On pose
x=OO'
et on définit la fonction
V : x→V
(
x
)
où
V
(
x
)
est le volume du
cône.
1. Donner l'ensemble de définition de la fonction V.
2. Calculer
O'A
3. Montrer que
V ( x ) =π
3
(
−x3−5x2+25 x+125
)
4. Déterminer la position de O' de sorte que le volume soit maximal.
Rappel : Volume du cône =
AireBase×hauteur
3

Correction :
Exercice 1 :
1. Les trente lettres ont toutes la même probabilité d'être atteinte. On a la loi de probabilité suivante :
xi- a0 5 8
P(X= xi )
3
5
1
5
2
15
1
15
2. E(X)
=− 9
15 a+2 15 ×5+1 15 ×8
=
=− 9
15 a+18 15
E(X) = 0
⇔
−9
15 a+18 15
= 0
⇔
a = 2. Le jeu est équitable pour a = 2.
Exercice 2 :
1. Il s'agit d'une répétition de deux expériences aléatoires identiques et indépendantes.
2. La probabilité que les deux clients soient rapides est égale à : 0,12 = 0,01.
3. a. La loi de probabilité de D est la suivante :
xi20 25 30 40 45 60
P(D= xi ) 0,01 2x0,1x0,75 = 0,15 0,752 = 0,5625 2x0,1x0,15 = 0,03 2x0,15x0,75 = 0,225 0,152 = 0,0225
b. E(D) = 0,01x20 + 0,15x25 + 0,5625x30 + 0,03x40 + 0,225x45 + 0,0225x60 = 33,5.
Pour un grand nombre de clients, on peut espérer un temps moyen de commande pour deux clients de 33,5s.
Exercice 3
1.
h
est une une fonction quotient du type
u
v
de deux fonctions définies et dérivables sur
ℝ
\{2} tel
que v ne s'annule pas sur cet intervalle.
h
Est alors définie et dérivable sur
ℝ
\{2} avec
h'
(
x
)
=− 2×
(
x−2
)
−2x
( x−2 )
2
soit
h'
(
x
)
=− −4
( x−2 )
2
donc
h'
(
x
)
=4
( x−2 )
2
.
2. L'équation de la tangente
(
T3
)
à la courbe au point d'abscisse 3 est
y=h'
(
3
) (
x−3
)
+h
(
3
)
.
On a
h'
(
3
)
=4
et
h
(
3
)
=−6
, donc l'équation de
(
T3
)
est
y=4
(
x−3
)
−6
soit
y=4x−18
3. Soit le point A de coordonnées
(
a;h
(
a
))
, La tangente à la courbe au point A est parallèle à
(
T3
)
si et
seulement si
h'
(
a
)
=4
.
On résout alors l'équation
4
( a−2 )
2=4⇔
(
a−2
)
2=1⇔
(
a−2
)
2−1=0⇔
(
a−3
) (
a−1
)
=0
. Il y a donc deux
seules solutions à l'équation 3 et 1, l'abscisse du point A est donc 1, le point A a pour coordonnées
A
(
1; 2
)
.
4. De la même manière
M
(
a;h
(
a
))
est un point de la courbe dont la tangente passant par ce point est
parallèle à
(
Dm
)
d'équation
y=mx
, cela est vrai si et seulement si
f'
(
a
)
=m
.
R
C
H
R
C
H
R
C
H
R
C
H
0,10
0,75
0,15
0,10
0,10
0,10
0,15
0,15
0,15
0,750,75
0,75
0,75

On résout alors l'équation
4
( a−2 )
2=m
. On peut déjà dire que m est nécessairement strictement
positif.
L'équation est équivalente à
4=m
(
a−2
)
2⇔4=m
(
a2−4a+4
)
⇔ma2−4ma+4m−4=0
.
C'est une équation du second degré qui admet des solutions si et seulement si le discriminant
Δ>0
.
On calcule
Δ=
(
−4m
)
2−4m
(
4m−4
)
soit
Δ=16m2−16 m2+16m
soit
Δ=16m
.
Ainsi si
m⩽0
il n'y a aucune solution soit aucun point H possible (m>0).
Si
m>0
il y a exactement deux solutions soit deux points possibles.
Exercice 4
1.
DV=
]
0 ;5
[
2. Le triangle OO'A est rectangle en O', d'après le théorème de Pythagore,
O'A2=OA2−OO'2
soit
O'A2=25=x2
donc
O'A=
√
25−x2
.
3. On calcule alors le volume du cône
V
(
x
)
=π×
(
25−x2
)
×
(
5+x
)
3
soit
V
(
x
)
=π
3×
(
25−x2
) (
5+x
)
en
développant on trouve que
V
(
x
)
=π
3
(
−x3−5x2+25 x+125
)
.
4. Pour déterminer la valeur pour laquelle le volume est maximal on étudie les variations de V sur
]
0; 5
[
V'
(
x
)
=π
3
(
−3x2−10 x+25
)
, le signe de
V'
(
x
)
est celui du trinôme
−3x2−10 x+25
.
Δ=400
il y a deux racines
x1=10−20
−6
soit
x1=5
3
et
x2=−5
, seule
x1
est dans l'intervalle
d'étude. On en déduit le tableau de variations suivant :
x0
5
3
5
signe de
f '
+
−
V
(
5
3
)
f
Le volume est donc maximal pour
x=5
3
et vaut
V
(
5
3
)
≈155,14