mathématiques - Nymphomath.ch

Lycée cantonal Maturité académique 2004
Porrentruy OS : Phys/Appl. des Maths
MATHÉMATIQUES
Problème 1
Etudier, puis représenter (unité 1 cm) la courbe d’équations paramétriques
x(t) = t+1
tet y(t) = (t+ 1)2 t−2.
Représenter également la tangente au point singulier et les points d’intersection avec les
asymptotes.
Problème 2
Dans un repère orthonormé d’origine O, on donne les points A(3; 1; 2), B(7; 3; 4), C(5; 4; 7)
et S(−3; −18; 9). Le plan πest déterminé par les points A, B et C. Un cône circulaire droit
est donné par son sommet S, par le plan πcontenant son cercle de base Γet par le point A
appartenant à ce cercle.
1. Déterminer une équation cartésienne du plan π.
2. Prouver que le centre Ddu cercle Γa pour coordonnées (−7; −2; 1), et calculer le rayon
rde Γ.
3. Calculer l’angle αde demi-ouverture du cône.
4. L’origine Oappartient-elle à la surface du cône?
5. Déterminer une représentation paramétrique de la droite tcontenue dans le plan π, et
tangente au cercle Γau point A.
Problème 3
Soit f:C\ {0} → Cla fonction définie par f(z) = −i−2
z.
1. Déterminer les nombres complexes zqui satisfont l’équation : f(z) = z.
2. Déterminer, puis représenter graphiquement (unité 1 cm) l’image par la fonction fde
l’ensemble R\ {0}.
3. Déterminer, puis représenter graphiquement (unité 1 cm) l’ensemble des nombres com-
plexes ztels que f(z)∈R.
4. Soit El’ensemble des nombres complexes de la forme z= cos(t)+isin(t)avec t∈[0; 2π].
Déterminer la nature géométrique de E. Calculer, puis représenter graphiquement les
images par fdes nombres zcorrespondant aux valeurs t= 0, t =π
2, t =πet t=3π 2.
Prouver que l’image de Epar fest un cercle dont on donnera le centre et le rayon.
Problème 4
Soit fune fonction dérivable et soit Cla courbe d’équation y=f(x). Notons (x;y)les
coordonnées d’un point Pde Cet y0la pente de la tangente à Cau point P.
1. Soit A(xA; 0) (respectivement B(0; yB)) le point d’intersection de la tangente à Cau
point Pavec l’axe Ox (respectivement Oy). On suppose que y06= 0. Prouver que
xA=x−y
y0et que yB=y−xy0.
2. On donne maintenant la courbe d’équation y=e−2x. Esquisser cette courbe pour x≥0
(unité 2 cm). Pour quelle abscisse x > 0du point Pde cette courbe l’aire S(x)du
triangle OAB est-elle maximale? (Odésigne le point de coordonnées (0; 0).)
3. On reprend les notations de la 1ère question. Déterminer la courbe d’équation y=f(x)
pour laquelle yB+xy = 0 et qui passe par le point (1; e2).
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Problème 5
Une cible est constituée de trois disques de même centre Oet de rayons respectifs R, kR et
2Ravec k∈]1; 2[. Ces disques déterminent trois régions : un disque central et deux couronnes.
Ces régions sont coloriées, en partant du centre vers l’extérieur, en rouge (r), bleu (b) et jaune
(j). On suppose que, lorsqu’on lance une fléchette en direction de la cible, la probabilité de
la rater ou d’atteindre un cercle frontière est nulle.
(a) On prend k= 1,5et on admet que, pour cette valeur de k, on a :
P(r) = 1
4, P (b) = 5 16 et P(j) = 7 16.
(a1) Six personnes lancent une fléchette sur la cible. Calculer la probabilité des événe-
ments suivants :
A: exactement 2 fléchettes atteignent la région bleue
B: dans chaque région aboutissent 2 fléchettes
C: exactement 3 fléchettes atteignent la région rouge sachant qu’au moins 5 flé-
chettes ont abouti à l’intérieur du cercle de rayon 1,5R.
(a2) Xavier effectue des séries de 5 lancers.
– Quelle est la probabilité que, lors d’une série, il atteigne la région bleue exac-
tement une fois?
– Xavier effectue 9 séries de 5 lancers. Calculer la probabilité que, dans exacte-
ment 3 séries, Xavier atteigne une seule fois la région bleue.
(a3) Selon les régions atteintes sur la cible, on peut gagner ou perdre de l’argent d’après
la règle suivante : région rouge : gain de 8 francs, région bleue : gain de 4 francs,
région jaune : perte de 5 francs.
Nestor lance successivement 2 fléchettes. Calculer la probabilité que son gain total
soit positif.
(b) On considère k∈]1; 2[ quelconque. On admet que la probabilité d’atteindre une région
vaut:
P(région) = aire de cette région
aire totale de la cible.
Prouver que, pour kcompris entre 1 et 2, P(b) = k2−1
4et P(j) = 4−k2 4.
Calculer la valeur de kpour laquelle le gain moyen est nul, pour la règle définie à la
question (a3), et lorsqu’on lance une fléchette.
Temps à disposition : 4 heures
Note maximale (6) pour 5 problèmes justes
Fascicule “Extrait des tables numériques” et machine à calculer non graphique et non programmable autorisés
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