mathématiques - Nymphomath.ch

Lycée cantonal
Porrentruy
Maturité académique 2004
OS : Phys/Appl. des Maths
MATHÉMATIQUES
Problème 1
Etudier, puis représenter (unité 1 cm) la courbe d’équations paramétriques
x(t) = t +
1
t
y(t) =
et
(t + 1)2
.
t−2
Représenter également la tangente au point singulier et les points d’intersection avec les
asymptotes.
Problème 2
Dans un repère orthonormé d’origine O, on donne les points A(3; 1; 2), B(7; 3; 4), C(5; 4; 7)
et S(−3; −18; 9). Le plan π est déterminé par les points A, B et C. Un cône circulaire droit
est donné par son sommet S, par le plan π contenant son cercle de base Γ et par le point A
appartenant à ce cercle.
1. Déterminer une équation cartésienne du plan π.
2. Prouver que le centre D du cercle Γ a pour coordonnées (−7; −2; 1), et calculer le rayon
r de Γ.
3. Calculer l’angle α de demi-ouverture du cône.
4. L’origine O appartient-elle à la surface du cône?
5. Déterminer une représentation paramétrique de la droite t contenue dans le plan π, et
tangente au cercle Γ au point A.
Problème 3
2
Soit f : C \ {0} → C la fonction définie par f (z) = −i − .
z
1. Déterminer les nombres complexes z qui satisfont l’équation : f (z) = z.
2. Déterminer, puis représenter graphiquement (unité 1 cm) l’image par la fonction f de
l’ensemble R \ {0}.
3. Déterminer, puis représenter graphiquement (unité 1 cm) l’ensemble des nombres complexes z tels que f (z) ∈ R.
4. Soit E l’ensemble des nombres complexes de la forme z = cos(t)+i sin(t) avec t ∈ [0; 2π].
Déterminer la nature géométrique de E. Calculer, puis représenter graphiquement les
images par f des nombres z correspondant aux valeurs t = 0, t = π2 , t = π et t = 3π
2 .
Prouver que l’image de E par f est un cercle dont on donnera le centre et le rayon.
Problème 4
Soit f une fonction dérivable et soit C la courbe d’équation y = f (x). Notons (x; y) les
coordonnées d’un point P de C et y 0 la pente de la tangente à C au point P .
1. Soit A(xA ; 0) (respectivement B(0; yB )) le point d’intersection de la tangente à C au
point P avec l’axe Ox (respectivement Oy). On suppose que y 0 6= 0. Prouver que
xA = x −
y
y0
et que yB = y − xy 0 .
2. On donne maintenant la courbe d’équation y = e−2x . Esquisser cette courbe pour x ≥ 0
(unité 2 cm). Pour quelle abscisse x > 0 du point P de cette courbe l’aire S(x) du
triangle OAB est-elle maximale? (O désigne le point de coordonnées (0; 0).)
3. On reprend les notations de la 1ère question. Déterminer la courbe d’équation y = f (x)
pour laquelle yB + xy = 0 et qui passe par le point (1; e2 ).
1
Problème 5
Une cible est constituée de trois disques de même centre O et de rayons respectifs R, kR et
2R avec k ∈]1; 2[. Ces disques déterminent trois régions : un disque central et deux couronnes.
Ces régions sont coloriées, en partant du centre vers l’extérieur, en rouge (r ), bleu (b) et jaune
(j ). On suppose que, lorsqu’on lance une fléchette en direction de la cible, la probabilité de
la rater ou d’atteindre un cercle frontière est nulle.
(a) On prend k = 1,5 et on admet que, pour cette valeur de k, on a :
1
5
P (r) = , P (b) =
4
16
et P (j) =
7
.
16
(a1) Six personnes lancent une fléchette sur la cible. Calculer la probabilité des événements suivants :
A : exactement 2 fléchettes atteignent la région bleue
B : dans chaque région aboutissent 2 fléchettes
C : exactement 3 fléchettes atteignent la région rouge sachant qu’au moins 5 fléchettes ont abouti à l’intérieur du cercle de rayon 1,5R.
(a2) Xavier effectue des séries de 5 lancers.
– Quelle est la probabilité que, lors d’une série, il atteigne la région bleue exactement une fois?
– Xavier effectue 9 séries de 5 lancers. Calculer la probabilité que, dans exactement 3 séries, Xavier atteigne une seule fois la région bleue.
(a3) Selon les régions atteintes sur la cible, on peut gagner ou perdre de l’argent d’après
la règle suivante : région rouge : gain de 8 francs, région bleue : gain de 4 francs,
région jaune : perte de 5 francs.
Nestor lance successivement 2 fléchettes. Calculer la probabilité que son gain total
soit positif.
(b) On considère k ∈]1; 2[ quelconque. On admet que la probabilité d’atteindre une région
vaut:
aire de cette région
P (région) =
.
aire totale de la cible
k2 − 1
4 − k2
Prouver que, pour k compris entre 1 et 2, P (b) =
et P (j) =
.
4
4
Calculer la valeur de k pour laquelle le gain moyen est nul, pour la règle définie à la
question (a3), et lorsqu’on lance une fléchette.
Temps à disposition : 4 heures
Note maximale (6) pour 5 problèmes justes
Fascicule “Extrait des tables numériques” et machine à calculer non graphique et non programmable autorisés
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