Caractères d`un demi-groupe commutatif

Séminaire Dubreil.
Algèbre et théorie
des nombres
A LFRED H. C LIFFORD
Caractères d’un demi-groupe commutatif
Séminaire Dubreil. Algèbre et théorie des nombres, tome 15, no 2 (1961-1962), exp. no 21,
p. 1-5
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21-01
Séminaire DUBREIL-PISOT
(Algèbre et Théorie des nombres)
15e année, 196~~~29 n° 21
29 mai 1962
CARACTÈRES
D’UN DEMI-GROUPE COMMUTATIF
par Alfred H. CLIFFORD
S.
et à HEWITT et ZUCKERMAN
([4], [5], [6])
SCHWARZ
à
indépendamment
([2] § 3, ~3 j § 5).
est due
demi-groupe commutatif
La théorie des caractères d’un
"Algebraic
theory of semigroups" (~ ~ ~ ~ § 5. 5) . Suivant HEWITT et ZUCKERMAN, nous employons
la théorie de la décomposition d’un demi-groupe commutatif en ses composantes
archimédiennes (~~1, § 4.3) , que j’ai présentée dans ma première conférence, le
21 mai 1962. Je renvoie le lecteur
pour les démonstrations complètes des
Elle
trouve,
se
peu remaniée et
un
avec
dans
quelques additicns,
théorèmes.
Soit
D
demi-groupe commutatif.
un
(1)
(2)
(
X(a)
X
identiquement zéro si
n~ est pas
La condition
(2)
évite quelques
,
D
petits
D
complexes
dans le corps des nombres
D
de
plication X
Par cara.ctère de
D)
b ~
possède
une
ap-
telle que
élément neutre
de
désigne
ne
pas
ne
élément de
un
élément neutre
avec
.
(1) , elle est
X (u) ~ 1 . Si D
présence
u, alors
=
entendons
,
un
ennuis. En
équivalente à : si D possède un élément neutre
possède pas d’élément neutre, et si le symbole u
D u {u} devient demi-groupe
D ~ l’ensemble D’t
nous
u
si nous
définissons les produits
(V
ua = au = a
(sans changement
biunivoque X
telle que
entre les caractères
Xl
soit la restriction de
X
minuons pas la
généralité
neutre
que
Le
nous
u ,
D ).
x’ à D .
l’hypothèse
Il y
Pour
correspondance
et ceux, X’ ,de D’,
cette raison, nous ne di-
que
D
de
)(
= u
de
D
a une
contient
un
élément
ferons dans la suite.
nous
§ 5.5 de [1] a été écrit de façon que tous les résultats soient valables si
imposons à la notion de caractère )( la condition suivante :
(3)
i X (a) ~ -
.
La condition
dans
ce
faisant
en
u2
D) ~
produits dl éléments
pour les
~
aE
ce
cas,
(3)
est
x(a)
une
est
0
ou
conséquence
ou
0
ou une
1
(V
ae
de la condition
D)
(1)
.
si
D
est
périodique :
racine de l’unité. HEWITT et ZUCKERMAN
appellent "semicharacter" une application x satisfaisant à (1) ,
ment nulle, telle que l’ensemble ~X(a) : a E D} de ses valeurs
(3)
n’est pas nécessaire que la condition
et les résultats suivants
soit satisfaite par
sont pas valables pour
ne
eux
non
identique-
soit borné. Il
les "semicharacters",
le théorème
(par exemple,
6) .
Soit
D
demi-groupe commutatif (avec élément
un
semble des caractères de
dans
~
D~ ,
on
(sans
D
définit le produit
(a)
la condition
ou avec
X~
et alors il est facile de voir que
(3) ) .
D*
et soit
Pour
chaque
l’en-
)( ~
par
D)
X (a) ~(a)
=
u),
neutre
D*
est
,
demi-groupe commutatif
un
avec
élément
neutre.
THEOREME
En
effet,;
Alors
~2
D
6. -
soit
=
~ ,
est
x e
une
D* .
e)(=)(
réunion de groupes.
Nous définissons
et
D* dont
démontrons que D est
=
s .
est l’élément neutre.
e
nous
la réunion d’un
est
isomorphe
au
Traitons d’abord le
demi-treillis des
cas
le
X’
par
Ceci montre que
groupe maximal de
Y~
et
e
)(
(Dans [1],
demi-treillis
idéaux premiers de
est lui-même
D
plus simple :
appartient
Y
D
suivant
de
)((e )
.)
une
réunion de grou-
(théorème 4 de l’exposé n~ 20) D est la réunion d’un
groupes G (a e Y) . Soit e l’élément neutre de
==1
ou
0 alors )((a) =0 pour chaque
0 ~ et si )((e )
ment si
demi-treillis
)(
a ~
=:
disons que
a
)(
est
s’il existe
principal
p . L’élément
(3
est
unique,
p
e
il
Y
tel que
s’appelle
SCHWARZ,
de groupes, où
pes. Alors
Y
au sous-
)((e )
==
1
le sommet de
e
G .
Nous
si et seule-
)( .
THÉORIE
(A)
tion
caractère principal de D , et soit p son sommet. La restricet, pour chaque a E D ,
de X à G est un caractère de
Soit
x’
(B)
7.
un
X
et soit
Soit
X’
D
caractère principal X de
un
caractère
un
ayant
pour
Alors (1)
G
.
et coïncidant
du groupe
sommet p
définit
X’1
avec
sur G .
(C)
Si
minimale, alors chaque caractère
satisfait la condition
Y
de
D
est
principal.
Revenons
où
E
de
D
au cas
général.
Nous
(théorème 9)
verrons
D*
que
isomorphe à E*
chaque caractère
est
réunion de groupes ; de plus, on peut construire
d’une manière simple en partant d’un caractère de E .
est
une
a~ b
x(a) /:. x(b) .
Nous disons que les caractères de D séparent les éléments de
dans D implique l’existence d’un caractère X de D tel que
Rappelons
D
que
est
dit séparatif
â - b2 =
si
b . Voici la raison d’tre de
ce
THEOREME 8. - Le s caractères de
D
séparent
D
par :
a =
si
D
est
(a)
ab
b
E
~
D
D)
si
impliquent
terme.
les éléments de
si et seulement
D
séparatif.
Définissons la relation
a o b
(a ,
b e
Il est facile de voit que
tient
et soit
e
o
o
sur
D)
si
est
pour
chaque X E
D’
congruence. Soit
une
l’application
naturelle de
D
le
sur
D*
.
demi-groupe
quo-
D’ . Il est facile
aussi de voir que la relation
(2)
X (a) - X ~ ~a8)
établit
un
tères de
G
X ~
X~t
D*
de
sur
D)
D’ * .
Il
en
résulte que les
carac-
séparent les éléments de D’ , d’où (théorème 8) D’t est séparatif.
implique (théorème 5 de l’exposé n° 20) que D’t peut ~tre plongé dans
D’
Mais cela
un
isomorphisme
(b
demi-groupe
Y)~
E
qui est la réunion
tels que chaque
G
d’un demi-treillis
Y
de groupes
soit le groupe des quotients
( ab~~ )
d’une
composante archimédienne D1 a de D ~ .
on peut démontrer que
a , b E
Xlf
e st
(a)
=0
un
caractère de
si et seulement si
D t ~ et si
X’ (b)
0 ,
=
que
définit
un
D’*
de
E,
caractère de
E*.
sur
Si
et que
est
l’application ~’ ~ )("
un
isomorphisme
D
est un demi-groupe commutatif avec élément neutre, il
existe un demi-groupe commutatif E avec élément neutre, qui est une réunion de
groupes, et tel que le demi-groupe D de caractères de D soit isomorphe à ceest la composition de
E* , de E . L’isomorphisme ~ ~ ~"
(2) ~ ~ ~’
~b (3) x’ -X" ’
Grâce
au
thèse que
ce
moment,
D* ,
théorème 9, pour donner la structure de
on peut faire l’hypoD est une réunion de groupes, comme dans le théorème 7. Mais jusque
nous ne
préciser
pouvons la
satisfait la condition
minimale,
que dans le
et où par
cas ou
conséquent
Y
le demi-treillis
tous les caractères de
D
principaux. Du théorème 7 résulte que l’ensemble des caractères principaux
D ayant le sommet p est un groupe isomorphe au groupe
de caractères
Alors D~ est la réunion des groupes
groupe
sont
de
du
G~ .
G.
Si
G
dans
H ~
C’est
un
et
H
sont des groupes
homomorphisme
THÉORÈME 10. -Soit
de
D
H*
un
abéliens,
(p~
définit 1~ adjoint
on
G~
de
dans
Y
(p
est
commutatif
avec
(p
un
homomorphisme
de
G
par
G .
demi-groupe
la réunion d’un demi-treillis
et si
de groupes
G
a..
élément neutre, qui est
(a ~ Y) ~
tel que
Y
satisfait
la condition minimale.
Soit
~loi~s
l’homomorphisme
Y
est
un
des caractères de
du
treillis. Soit
D. Alors
(demi)-treillis Y
système d’homomorphismes
dans
Y ),
où
D*
Y~
est
des groupes
de
G~
dans
le "dual" de
isomorphe
G~
au
Gg
donné par le théorème 4.
Y , et soit D*
demi-groupe qui
de caractères des
(p~est: l’adjoint
G~-~G* de( p~.a
(p .
dans
G
et
le
demi-groupe
est la réunion
ayant pour
Y~ ~ c~est-à-dire~
21-05
BIBLIOGRAPHIE
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CLIFFORD (A. H.) and PRESTON (G. B.). - Algebraic theory of semigroups. Vol.
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7).
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HEWITT
Acta
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HEWITT (E.) and
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[4]
SCHWARZ
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[5]
(E.)
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ZUCKERMAN (H. S.). - The l1-algebra of a commutative semiAmer. math. Soc., t. 83, 1956, p. 70-97.
and ZUCKERMAN
Mathematica, t. 93,
(0160tefan). - Teorija kharakterov kommutativnykh polugrupp, Czechoslo-
SCHWARZ
J., t. 4, 1954,
(0160tefan). -
219-247.
Kharaktery kommutativnykh polugrupp kak funkcii klassov,
J., t. 4, 1954, p. 291-295.
SCHWARZ (0160tefan). - 0 nekotoroj svjazi galua v teorii kharakterov polygrupp,
Czechoslovak math. J., t. 4, 1954, p. 296-313.
Czechoslovak math.
[6]
p.